董磊磊，崔之健，孫明龍

（1.西安石油大學(xué)，陜西 西安 710065；2.中國(guó)石油集團(tuán)西部鉆探工程有限公司試油公司，新疆 克拉瑪依 834000）

伴隨著全球經(jīng)濟(jì)和現(xiàn)代化管理工業(yè)的飛速發(fā)展，相應(yīng)而來(lái)的是計(jì)算機(jī)技術(shù)在各行各業(yè)的普及。這大大減少了人力的消耗，且使有些原本比較復(fù)雜的問題求解起來(lái)變得容易。計(jì)算機(jī)技術(shù)的相對(duì)成熟，再結(jié)合一些專業(yè)領(lǐng)域的知識(shí)，一些專業(yè)人士開發(fā)出一些軟件，模擬工程領(lǐng)域和自然領(lǐng)域的各種場(chǎng)景，用來(lái)解決一些實(shí)際問題，其處理問題的過程叫做數(shù)值模擬。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，數(shù)值模擬已經(jīng)可以較為真實(shí)的模擬現(xiàn)場(chǎng)情況。通過模擬結(jié)果進(jìn)而調(diào)整各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，以使設(shè)備在最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)下達(dá)到最佳的工況。數(shù)值模擬把數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)聯(lián)系了起來(lái)，在許多工程領(lǐng)域扮演著不可或缺的角色。在數(shù)值模擬過程中，遇到的都是一些連續(xù)域內(nèi)的非線性偏微分的問題，直接求解十分困難，而離散化的出現(xiàn)使這個(gè)問題簡(jiǎn)單化，變得易于求解。

1 數(shù)值模擬

在早期的工業(yè)領(lǐng)域，許多問題因?yàn)槠鋵?shí)際情況的復(fù)雜性，得到其解析解非常困難。1953年，Bruce G.H和PeacemanD.W對(duì)一維氣相不穩(wěn)定徑向和線形流進(jìn)行了模擬，這是數(shù)值模擬技術(shù)初次面世。起初數(shù)值模擬的解法相對(duì)較少，相關(guān)的計(jì)算機(jī)技術(shù)不夠成熟，所以只能應(yīng)用于模擬一維問題。1954年，兩相流動(dòng)模型應(yīng)運(yùn)而生，West W.J和Garvin W.W針對(duì)油藏中存在的問題，模擬了不穩(wěn)定兩相流的流動(dòng)情況［1］。

數(shù)值模擬，顧名思義就是對(duì)現(xiàn)實(shí)中某些工況數(shù)值的模擬，那么就必須借助電子計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行［2］。既然是模擬，就會(huì)要求提供一些參數(shù)以作為原始數(shù)據(jù)，并且要根據(jù)特定問題選用適當(dāng)?shù)哪M方法。通過對(duì)有限元和有限容積有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，熟悉了數(shù)值模擬相關(guān)理論后，接著進(jìn)行大量數(shù)值模擬計(jì)算，最后的結(jié)果再以圖像顯示的方法展示出來(lái)，可以直觀的解釋某些特定問題［3］。這對(duì)學(xué)者了解發(fā)生某種現(xiàn)象的內(nèi)部原因有很大的幫助。數(shù)值模擬在研究生涯里使用非常廣泛，同時(shí)因?yàn)樗枰玫接?jì)算機(jī)，因此可以叫做計(jì)算機(jī)模擬。

數(shù)值模擬其實(shí)就是用計(jì)算機(jī)做試驗(yàn)，并且可以較為真實(shí)的展現(xiàn)特定介質(zhì)的工況。例如，某一特定尺寸形狀的機(jī)翼在空氣中的繞流情況，建立模型后，通過在計(jì)算機(jī)上模擬計(jì)算，最后將結(jié)果以圖片的形式展示出來(lái)，直觀明了，可以看到流場(chǎng)中的許多細(xì)節(jié)。計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果沒有什么較大區(qū)別，而且簡(jiǎn)化了許多步驟，耗時(shí)較短，有利于模擬較多的不同條件下設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)。最后根據(jù)不同條件下模擬的結(jié)果，對(duì)比選出該設(shè)備在某些特定條件下的最佳工況的相關(guān)參數(shù)。數(shù)值模擬在處理一些幾何形狀復(fù)雜，或包含某些非線性特征的問題時(shí)，數(shù)值模擬可以簡(jiǎn)單地分為以下幾個(gè)步驟：

1）針對(duì)特定工程問題，建立數(shù)學(xué)模型；2）模型建立完成后，就是確定計(jì)算方法；3）編制程序并進(jìn)行計(jì)算；4）通過圖像展示的結(jié)果進(jìn)行分析，得出結(jié)論［4］。

2 離散化

離散化，就是把無(wú)限空間中有限的個(gè)體通過映射放到有限的空間中去，以此來(lái)提高算法的時(shí)空效率［5］，是在有限個(gè)體原始數(shù)據(jù)相對(duì)大小不變的情況下，按比例進(jìn)行縮小后來(lái)建立相應(yīng)的模型。離散化的應(yīng)用在程序設(shè)計(jì)中非常普遍，在諸多可能的情況下，離散化只需考慮要使用到的值。這就大大簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)，同時(shí)也有效地降低了計(jì)算機(jī)處理過程中的時(shí)間復(fù)雜度。離散化可以提高一個(gè)算法的質(zhì)量，而且有可能實(shí)現(xiàn)原本不會(huì)實(shí)現(xiàn)的某些算法。

區(qū)域離散化是將要計(jì)算的空間區(qū)域，劃分成大量互不重疊的子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，以及此節(jié)點(diǎn)代表的一個(gè)控制體積，最后需要確定上述節(jié)點(diǎn)在空間中所處的位置和其代表的控制體積。根據(jù)選用的研究方法不同，控制體積可能是流場(chǎng)中一個(gè)固定的區(qū)域，也可能會(huì)隨流體流動(dòng)位置發(fā)生變化。網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)一般會(huì)被看成是控制體積的代表，因?yàn)槊恳粋€(gè)節(jié)點(diǎn)必然對(duì)應(yīng)一個(gè)控制體積，不會(huì)出現(xiàn)一對(duì)多或多對(duì)一的情況，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表的位置不會(huì)重合［6］。控制體積作為一個(gè)特定的區(qū)域，并不能全部與最開始劃分出來(lái)的子區(qū)域重合，這種情況也不會(huì)影響離散質(zhì)量。

3 離散化方法及特點(diǎn)

3.1 有限差分法

有限差分法，是數(shù)值解法中發(fā)展時(shí)間較長(zhǎng)，相對(duì)來(lái)說較為完善，也最為經(jīng)典的一種離散方法［7］。差分過程是將需要求解的空間區(qū)域劃分為大量的網(wǎng)格，根據(jù)特定的幾何形狀選擇適當(dāng)?shù)膭澐址绞?，這樣有助于簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)化方程的步驟。劃分網(wǎng)格后，用有限個(gè)網(wǎng)格上的節(jié)點(diǎn)代替原來(lái)連續(xù)的求解域［8］，選用適當(dāng)?shù)牟钌绦问?，把原本偏微分方?（控制方程）中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)全部用差商表示出來(lái)，再經(jīng)過一些處理就能得到對(duì)應(yīng)的差分方程。

有限差分法將原來(lái)復(fù)雜的偏微分方程問題直接轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題的求解，不需要構(gòu)造特定的函數(shù)，建模簡(jiǎn)單，編程也相對(duì)容易。適用曲線型和拋物線型相關(guān)問題的求解，橢圓形型問題應(yīng)用較少，對(duì)于邊界條件復(fù)雜的問題也表現(xiàn)出相對(duì)劣勢(shì)［9］。

3.2 有限元法

有限元法，是將空間里一個(gè)連續(xù)的求解域，劃分許多合適大小、形狀的單元，分別在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)，再對(duì)這些插值函數(shù)使用相應(yīng)的極值原理，然后在這些所有的微小單元上都能找到一個(gè)特定的有限元方程，最后用這些有限元方程把初始問題的控制方程所代替。經(jīng)過如此轉(zhuǎn)換后，則所有微小單元極值的和就代表了該系統(tǒng)總體的極值，即將系統(tǒng)劃分為局部單元，分別處理各局部單元后，再進(jìn)行總體合成，于是使原本問題的初始控制方程就變成了含有特定邊界條件的代數(shù)方程組。

有限元法在求解橢圓型問題時(shí)，有較好的適應(yīng)性。相比其它方法，處理問題的過程較慢，對(duì)復(fù)雜問題分析時(shí)，占用內(nèi)存較大，耗費(fèi)的計(jì)算資源也很驚人，在使用時(shí)對(duì)操作者的經(jīng)驗(yàn)要求較高。所以它在商用CFD軟件中應(yīng)用的不多，F(xiàn)IDAP軟件是基于有限元方法建立的，在這個(gè)軟件里較為常用［10］。

3.3 有限體積法

有限體積法，是將計(jì)算區(qū)域劃分為大量的小網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)所處的位置不同，所以其代表的一個(gè)在它周圍的控制體積肯定也不同。這些控制體積不會(huì)相互重合，但是在求解的時(shí)候必須應(yīng)用到他們之間的關(guān)系。用初始微分方程的形式，在這些控制體積上應(yīng)用并進(jìn)行積分，其中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)就會(huì)消失，對(duì)應(yīng)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)會(huì)得到一個(gè)相應(yīng)的離散方程，聯(lián)立這些方程，就會(huì)得到一個(gè)與所劃分網(wǎng)格形式對(duì)應(yīng)的離散方程組。離散方程組中的未知數(shù)會(huì)因節(jié)點(diǎn)所處位置不同而發(fā)生變化。

有限體積法在處理過程中需要尋求節(jié)點(diǎn)值，這點(diǎn)十分類似于前面所說的有限差分法；在積分過程中時(shí)，有限體積法需要根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，對(duì)物理量值的分布規(guī)律做出假設(shè)，這一點(diǎn)又與有限元法雷同。

有限體積法在使用過程中始終遵循積分守恒原理，因此不管針對(duì)微小計(jì)算單元還是結(jié)構(gòu)整體，都有良好的守恒性；其插值函數(shù)可以根據(jù)具體問題靈活假設(shè)，而且對(duì)于泰勒展開造成的離散能有效的避免；對(duì)于有些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的工程問題，需要分區(qū)域劃分網(wǎng)格時(shí)，能夠很好地適應(yīng)；與有限元法融合，綜合彼此的優(yōu)點(diǎn)，更好的進(jìn)行流固耦合分析［11］。在對(duì)控制體積積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)，有限積分法需要使用到插值函數(shù)。離散方程在這個(gè)插值函數(shù)的作用下，比較容易得出，而且有限積分法不要求微分方程里的所有項(xiàng)必須采取同一種插值函數(shù)。這也是其優(yōu)于其他離散方法的一個(gè)方面。

4 結(jié)語(yǔ)

在數(shù)值模擬過程中，常用的離散化方法有三個(gè)，都有各自的特點(diǎn)：

1）對(duì)于有限差分法，現(xiàn)在發(fā)展的已經(jīng)非常成熟，利用差分直接將偏微分問題簡(jiǎn)化為代數(shù)問題，處理結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格有較大的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分效果較差［12］。

2）對(duì)于有限元法，是一種具有高效的處理能力、且使用較多的計(jì)算方法。適用于一些幾何和物理?xiàng)l件比較復(fù)雜的情況，尤其是在以拉普拉斯和泊松方程所描述的物理場(chǎng)中，而且和程序的契合相對(duì)較好，這樣就有利于程序的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)。

3）對(duì)于有限體積法，其原理非常簡(jiǎn)單，積分守恒在這個(gè)方法中得到了充分的體現(xiàn)，不管是在無(wú)限小控制體積還是整個(gè)計(jì)算區(qū)域，所有因變量都遵循積分守恒原理。