陜 耀 蘇 瓅 周順華

?(上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804)

?(道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，同濟(jì)大學(xué)，上海 201804)

??(上?？辈煸O(shè)計(jì)研究院(集團(tuán))有限公司，上海 200093)

引言

物理學(xué)中，攝動(dòng)源(perturbance source)在非均勻介質(zhì)中或非均勻介質(zhì)附近勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的能量輻射現(xiàn)象稱(chēng)為渡越輻射(transition radiation).這一現(xiàn)象由前蘇聯(lián)物理學(xué)家Ginzburg 和Frank[1]在1946 年首次提出，他們分析了一個(gè)帶電粒子穿越理想導(dǎo)體和真空之間界面時(shí)所產(chǎn)生的電磁輻射.渡越輻射的早期研究即表明這一現(xiàn)象在不同物理場(chǎng)中普遍存在，包括電磁場(chǎng)[2]、光場(chǎng)[3]、聲波場(chǎng)[4]和彈性波場(chǎng)[5]等.產(chǎn)生這一現(xiàn)象的物理解釋為：物體在不同介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)自身所攜帶的能量由于介質(zhì)性質(zhì)的不同而不同，在兩種介質(zhì)界面處，這一能量差必須被平衡才能滿(mǎn)足介質(zhì)連續(xù)條件，因此這一能量差獨(dú)立于物體運(yùn)動(dòng)而向兩側(cè)介質(zhì)中自由傳播，產(chǎn)生的能量輻射現(xiàn)象即為渡越輻射現(xiàn)象.我國(guó)學(xué)者對(duì)渡越輻射的研究多集中在電磁學(xué)[6-8]和光學(xué)[9-12]領(lǐng)域.

Vesnitskii 和Metrikin[13]1992 年最早將渡越輻射引入力學(xué)分析，開(kāi)始對(duì)移動(dòng)載荷引起的彈性波在非均勻介質(zhì)中傳播的渡越輻射現(xiàn)象進(jìn)行研究.彈性波場(chǎng)中，一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)載荷經(jīng)過(guò)非均勻的彈性介質(zhì)界面時(shí)，介質(zhì)中會(huì)產(chǎn)生能量輻射(該載荷運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)小于介質(zhì)波速，以去除契倫科夫輻射等其他輻射的影響).為了探究軌道劣化和弓網(wǎng)接觸(受電弓和接觸網(wǎng))劣化等問(wèn)題的物理本源，從1996 年起陸續(xù)有學(xué)者[5]對(duì)列車(chē)載荷引起的彈性波在非均勻軌道和基礎(chǔ)中傳播的渡越輻射現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析.研究方法主要是將列車(chē)-軌道-路基系統(tǒng)理想化為一維或二維的物理模型，求解其位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)，通過(guò)位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)推導(dǎo)能量流動(dòng)表達(dá)式，進(jìn)而研究輪軌接觸彈性波在非均勻軌道和基礎(chǔ)中傳播產(chǎn)生渡越輻射能的流動(dòng)規(guī)律.模型經(jīng)歷了均勻彈性地基上的半有界弦/梁[5]、周期性/隨機(jī)非均勻彈性地基上的無(wú)限弦/梁[5]、兩個(gè)均勻各向同性半平面[14]和兩個(gè)均勻各向同性彈性層[15]的發(fā)展，如圖1 所示.而軌道和基礎(chǔ)的非均勻性(軌道幾何不平順和基礎(chǔ)剛度變化)集中體現(xiàn)在不同軌道基礎(chǔ)之間的過(guò)渡段(以高速鐵路路橋過(guò)渡段為例，如圖2 所示)，統(tǒng)計(jì)資料表明，過(guò)渡段軌道劣化速度顯著高于一般路基段和橋梁段.

圖1 力學(xué)中的渡越輻射計(jì)算模型Fig.1 Transition radiation models in mechanics

圖1 力學(xué)中的渡越輻射計(jì)算模型(續(xù))Fig.1 Transition radiation models in mechanics(continued)

國(guó)內(nèi)外對(duì)于過(guò)渡段動(dòng)力特性的研究主要集中在現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)、室內(nèi)試驗(yàn)和數(shù)值分析.以現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)和室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)[16-22]為問(wèn)題提出和理論驗(yàn)證的依據(jù)，采用理論和數(shù)值模型[23-32]計(jì)算過(guò)渡段車(chē)輛-軌道-路基大系統(tǒng)各組成部分的動(dòng)力響應(yīng)，通過(guò)與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)或室內(nèi)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)的對(duì)比來(lái)驗(yàn)證模型的可行性，進(jìn)而分析過(guò)渡段剛度變化和軌道幾何不平順對(duì)列車(chē)運(yùn)行平穩(wěn)性和軌道各組成部分服役性能劣化的影響規(guī)律.現(xiàn)有的過(guò)渡段動(dòng)力性能的數(shù)值分析多以研究對(duì)象動(dòng)力響應(yīng)的現(xiàn)象描述為主，其產(chǎn)生機(jī)理尚須從波動(dòng)和能量的角度進(jìn)行探索和研究.

Steenbergen 和Michael[33]從普遍物理力學(xué)概念角度指出：影響列車(chē)運(yùn)行穩(wěn)定性和軌道劣化的本源在于軌道的非均勻性.對(duì)于運(yùn)行的列車(chē)，任何軌道組成材料或者幾何形位的變化都可以歸結(jié)為“非均勻”，輪軌接觸產(chǎn)生的彈性波在非均勻介質(zhì)中傳播引起的渡越輻射是影響列車(chē)運(yùn)行平穩(wěn)性和引起軌道性能劣化的物理力學(xué)基礎(chǔ).

軌道和基礎(chǔ)的非均勻性集中于不同軌道基礎(chǔ)之間的過(guò)渡段，以路橋過(guò)渡段為例(如圖2 所示)，橋臺(tái)與路基之間存在顯著的垂直界面和材料性質(zhì)差異，過(guò)渡段路基沿線(xiàn)路縱向和深度方向均呈現(xiàn)典型的填料性質(zhì)變化和成層分布，不同填料間水平和垂向界面明顯，車(chē)致彈性波在過(guò)渡段范圍內(nèi)傳播將產(chǎn)生復(fù)雜的渡越輻射.渡越輻射現(xiàn)象會(huì)顯著放大軌道和基礎(chǔ)的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)，造成軌道和基礎(chǔ)服役性能惡化，進(jìn)而影響列車(chē)運(yùn)行平穩(wěn)性和旅客乘坐舒適度[15].以往關(guān)于波在非均勻彈性介質(zhì)中渡越輻射的研究表明，擾動(dòng)源運(yùn)動(dòng)速度越接近波在介質(zhì)中傳播的速度，所產(chǎn)生的渡越輻射能越顯著.同理，隨著列車(chē)運(yùn)行速度的不斷提高，當(dāng)接近表面波(瑞利波)速時(shí)，既有過(guò)渡段結(jié)構(gòu)引發(fā)的渡越輻射是否會(huì)加速過(guò)渡段服役性能的劣化？既有高速鐵路過(guò)渡段設(shè)計(jì)是否還能滿(mǎn)足長(zhǎng)期穩(wěn)定性的要求？

為回答上述問(wèn)題，需要對(duì)既有高速鐵路過(guò)渡段渡越輻射能量流動(dòng)規(guī)律和波場(chǎng)特征進(jìn)行深入研究.

圖2 高速鐵路路橋過(guò)渡段結(jié)構(gòu)[34]Fig.2 High-speed railway bridge-embankment transition zone configuratio [34]

為了研究過(guò)渡段復(fù)雜界面引起的車(chē)致彈性波渡越輻射能，需要建立通過(guò)復(fù)雜多界面耦合的介質(zhì)振動(dòng)模型(如圖3 所示).該理想模型的實(shí)現(xiàn)仍有很長(zhǎng)的路要走，需要逐步厘清由垂直界面、傾斜界面和水平界面單獨(dú)存在引起的渡越輻射能，以及幾種界面共同作用的渡越輻射能.目前為止，既有研究已基本實(shí)現(xiàn)了通過(guò)垂直界面耦合的半無(wú)限彈性層模型[15](如圖1(d)所示)的構(gòu)建.在此基礎(chǔ)上，后續(xù)研究應(yīng)著重解決傾斜界面引起的渡越輻射問(wèn)題，以及進(jìn)一步分析垂直界面與傾斜界面共同作用下的渡越輻射問(wèn)題.

圖3 過(guò)渡段復(fù)雜多界面耦合振動(dòng)模型Fig.3 Transition zone muti-interfaces coupling vibration model

本文在van Dalen 等[15]建立的由垂直界面耦合的兩個(gè)半無(wú)限均勻彈性層模型的基礎(chǔ)上，采用分離變量法求解了由傾斜界面耦合的兩個(gè)半無(wú)限均勻彈性層模型波動(dòng)方程，并采用半解析方法對(duì)該模型中兩個(gè)彈性層中的渡越輻射能流密度進(jìn)行了計(jì)算，分析了受載荷移動(dòng)速度和界面傾斜角度影響的渡越輻射能流分布規(guī)律，以期對(duì)高速鐵路過(guò)渡段動(dòng)力響應(yīng)機(jī)理提供參考.

1 傾斜界面渡越輻射物理模型及數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型

高速鐵路路橋過(guò)渡段結(jié)構(gòu)復(fù)雜，以我國(guó)《高速鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范》(TB 10621—2014)[34]中推薦的倒梯形路橋過(guò)渡段結(jié)構(gòu)為例，高速鐵路路橋過(guò)渡段中存在橋臺(tái)背與過(guò)渡段填料間垂直界面，基床表層與基床底層、基床底層與路基本體之間的水平界面以及過(guò)渡段填料與普通路基段之間的傾斜界面等多種不同剛度介質(zhì)之間的界面.為理解高度鐵路路橋過(guò)渡段中的能流和波動(dòng)特征，有必要對(duì)不同介質(zhì)界面處產(chǎn)生的渡越輻射現(xiàn)象進(jìn)行研究.van Dalen 等[15]給出了移動(dòng)載荷經(jīng)過(guò)兩個(gè)由垂直界面耦合的彈性層所激發(fā)的渡越輻射能的計(jì)算方法.為了進(jìn)一步理解高速鐵路路橋過(guò)渡段中的波動(dòng)及能量，本文中建立了分析由傾斜界面耦合的兩個(gè)半無(wú)限彈性層中渡越輻射現(xiàn)象的物理模型.

因高速列車(chē)經(jīng)過(guò)引起的過(guò)渡段路基動(dòng)變形處于彈性階段，可將過(guò)渡段路基各組成部分視為通過(guò)界面相互耦合的各向同性彈性體(小應(yīng)變)，列車(chē)等效為沿自由面直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的集中載荷或質(zhì)量塊.為分析過(guò)渡段波場(chǎng)特性，整個(gè)過(guò)渡段車(chē)輛-軌道-線(xiàn)下基礎(chǔ)系統(tǒng)抽象為如圖4 所示的物理模型.彈性層頂部為自由面，底部為剛性基礎(chǔ)，兩彈性介質(zhì)由一傾斜界面耦合，在該界面處滿(mǎn)足位移、應(yīng)力連續(xù)條件.該模型中坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系，x軸建立在自由面上，其正方向?yàn)橐苿?dòng)載荷運(yùn)動(dòng)方向，z軸垂直于x軸，正方向從自由面指向剛性基礎(chǔ).坐標(biāo)系零點(diǎn)為介質(zhì)1 與介質(zhì)2 在自由面上的連接點(diǎn).本文中將介質(zhì)1 定義為移動(dòng)載荷先經(jīng)過(guò)的介質(zhì)，介質(zhì)2 定義為移動(dòng)載荷后經(jīng)過(guò)的介質(zhì).介質(zhì)傾斜角度定義為介質(zhì)界面與介質(zhì)2 底部剛度基礎(chǔ)之間的夾角θ.

圖4 勻速運(yùn)動(dòng)載荷在兩種層狀介質(zhì)傾斜界面處激發(fā)渡越輻射的物理模型Fig.4 Physical model for transition radiation excited by a surface load moving over an inclined interface of two elastic mediums

為分析兩種介質(zhì)剛度差異產(chǎn)生的渡越輻射現(xiàn)象，移動(dòng)的點(diǎn)載荷在兩種彈性介質(zhì)表面勻速移動(dòng)產(chǎn)生的彈性波場(chǎng)可被分解為本征場(chǎng)(eigenfield 和自由場(chǎng)(free field 兩個(gè)部分求解.本征場(chǎng)描述載荷本身在單一彈性介質(zhì)中引起的波動(dòng)響應(yīng)，自由場(chǎng)描述由界面兩側(cè)介質(zhì)差異引起的渡越輻射能場(chǎng)，兩者疊加成為可觀(guān)察到的總體彈性波場(chǎng).本征場(chǎng)動(dòng)力響應(yīng)隨載荷移動(dòng)，并局限于載荷一定距離范圍內(nèi)，僅受到介質(zhì)材料參數(shù)、載荷值大小及載荷移動(dòng)速度影響.由于兩種介質(zhì)的材料差異，在其界面處兩種介質(zhì)中產(chǎn)生的本征場(chǎng)響應(yīng)存在差值，即在同一空間坐標(biāo)位置存在兩個(gè)不相等的動(dòng)力響應(yīng)值.而界面處兩種介質(zhì)又需滿(mǎn)足位移應(yīng)力連續(xù)條件，這一差異即可視為自由場(chǎng)的激擾源.自由場(chǎng)響應(yīng)由界面向兩側(cè)介質(zhì)中自由傳播，且獨(dú)立于載荷的運(yùn)動(dòng)，不僅受到介質(zhì)材料參數(shù)、載荷值大小及載荷移動(dòng)速度影響，同時(shí)也受到界面傾斜角度的影響.

1.2 數(shù)學(xué)模型

由斯托克斯-亥姆霍茲矢量定理可知，任何一個(gè)足夠平滑的矢量場(chǎng)都可以分解成無(wú)旋的部分和無(wú)散的部分.為描述1.1 節(jié)中物理模型的本征場(chǎng)及自由場(chǎng)彈性波，引入?(i),j，ψ(i),j兩個(gè)亥姆霍茲勢(shì)函數(shù)，其中?(i),j表示散度，ψ(i),j表示旋度.i={1,2}表示該勢(shì)函數(shù)所表征的介質(zhì)層，j={e,f}分別代表本征場(chǎng)、自由場(chǎng).兩個(gè)由傾斜界面耦合的彈性層中的彈性波場(chǎng)可由下述亥姆霍茲方程描述

將點(diǎn)載荷經(jīng)過(guò)x=0 的時(shí)刻定義為t=0，點(diǎn)載荷先經(jīng)過(guò)的彈性層稱(chēng)為介質(zhì)1，后經(jīng)過(guò)的彈性層稱(chēng)為介質(zhì)2，則模型的應(yīng)力、位移邊界條件可由式(4)～式(8)表示

式中，i={1,2}分別表示介質(zhì)1、介質(zhì)2，L表示介質(zhì)層厚度(如圖4 所示)，t表示時(shí)間，V表示點(diǎn)載荷移動(dòng)速度，δ 為狄拉克函數(shù).兩個(gè)介質(zhì)層界面處位移應(yīng)力應(yīng)滿(mǎn)足式(9)～式(12)所示的連續(xù)條件.

介質(zhì)中的位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)均為本征場(chǎng)與自由場(chǎng)的疊加，即

式中，上標(biāo)e 表示本征場(chǎng)，f 表示自由場(chǎng).

1.3 波動(dòng)方程求解

將1.2 節(jié)中給出的亥姆霍茲方程作傅里葉變換，代入邊界條件中即可得到兩個(gè)彈性層各自的本征場(chǎng)波動(dòng)方程頻域解.van Dalen 等[15]在其對(duì)垂直界面耦合彈性層中渡越輻射能的研究中給出了本征場(chǎng)的詳細(xì)求解過(guò)程，本文不再贅述.

自由場(chǎng)定義為由于點(diǎn)載荷所作用的彈性介質(zhì)材料變化產(chǎn)生的彈性波輻射場(chǎng)，其激擾源為兩種不同材料介質(zhì)在界面處的本征場(chǎng)動(dòng)力響應(yīng)差異.由于載荷作用在本征場(chǎng)中已經(jīng)考慮，因此自由場(chǎng)的邊界條件中自由表面不再重復(fù)計(jì)算載荷作用，其邊界條件可表達(dá)如下

考慮本征場(chǎng)在介質(zhì)界面處的響應(yīng)差異為激擾源，自由場(chǎng)在介質(zhì)中的傳播為彈性連續(xù)介質(zhì)中的自由振動(dòng)，其波動(dòng)方程可采用分離變量法求解.在一個(gè)二維問(wèn)題中，波動(dòng)方程可分解為相互獨(dú)立的x相關(guān)項(xiàng)、z相關(guān)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).自由場(chǎng)可分解為無(wú)窮多組模態(tài)的疊加，每個(gè)模態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)唯一的水平向波數(shù)(介 質(zhì)1)和(介 質(zhì)2)，垂向壓縮波數(shù)(介質(zhì)1)和(介質(zhì)2)，垂向剪切波數(shù)(介質(zhì)1)和(介質(zhì)2)及模態(tài)參數(shù)(介質(zhì)1)和(介質(zhì)2).因此，求解自由場(chǎng)波動(dòng)方程的關(guān)鍵是求解各模態(tài)一一對(duì)應(yīng)的水平向波數(shù)和模態(tài)參數(shù)(垂向波數(shù)可由水平向參數(shù)直接轉(zhuǎn)化得到).式(19)～式(22)給出了頻域內(nèi)模態(tài)疊加方法表達(dá)的自由場(chǎng)亥姆霍茲勢(shì)函數(shù).

將以上4 式代入式(3)可得到自由場(chǎng)位移表達(dá)式，通過(guò)彈性介質(zhì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以得到應(yīng)力場(chǎng)表達(dá).對(duì)于自由場(chǎng)位移應(yīng)力，每個(gè)模態(tài)都應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足邊界條件要求，故將得到的表達(dá)式代入式(15)～式(18)可得如下等式

1.4 數(shù)值計(jì)算方法

由于自由場(chǎng)波動(dòng)方程采用了分離變量法求解，波函數(shù)分解為無(wú)窮多個(gè)模態(tài)的疊加，難以通過(guò)純解析方法求解每個(gè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的波數(shù)和參數(shù).馬文濤等[35-37]均在研究中對(duì)二維彈性力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值求解方法做出了有益的貢獻(xiàn).本文中對(duì)介質(zhì)中自由場(chǎng)的響應(yīng)亦采用數(shù)值方法求解，具體方法過(guò)程如下.

自由場(chǎng)波動(dòng)方程在頻域內(nèi)進(jìn)行求解，由van Dalen[33]研究給出的結(jié)果可知，自由場(chǎng)渡越輻射能譜密度峰值均出現(xiàn)在10 Hz 以?xún)?nèi)，故本文頻域范圍均取為0～10 Hz，頻率步長(zhǎng)取為0.1 Hz.對(duì)每一個(gè)頻率，為了得到介質(zhì)中任意一點(diǎn)自由場(chǎng)位移值和應(yīng)力值，均需要求解與模態(tài)一一對(duì)應(yīng)的的水平向波數(shù)，Z相關(guān)項(xiàng)參數(shù)和模態(tài)參數(shù).

求解的起點(diǎn)是1.3 節(jié)中給出的行列式為零的方程，該方程為復(fù)平面上的超越方程，本文中利用Matlab 內(nèi)置函數(shù)fsolve 對(duì)數(shù)值求解，該算法原理為牛頓迭代法，這種算法需要給出初始值，算法在初始值附近范圍內(nèi)尋找滿(mǎn)足條件的解.將的實(shí)部和虛部作為兩個(gè)獨(dú)立的未知數(shù)，經(jīng)過(guò)試算將實(shí)部取值范圍設(shè)為?0.5～0.5，虛部取值范圍設(shè)為?16～0.實(shí)部初始值步長(zhǎng)為0.02，虛部初始值步長(zhǎng)為0.2，誤差范圍選取為1.0×10?8，即當(dāng)行列式絕對(duì)值小于1.0×10?8時(shí)，認(rèn)為該實(shí)部與虛部的組合為可接受的值.該方法計(jì)算得到的存在重復(fù)值.認(rèn)為兩個(gè)解實(shí)部和虛部差值均小于1.0×10?6情況為重復(fù)解，僅保留其中誤差較小解.van Dalen 等[15]認(rèn)為，自由場(chǎng)中選取100 個(gè)模態(tài)已經(jīng)能較好地反映介質(zhì)中的渡越輻射現(xiàn)象，且水平向波數(shù)虛部值越大的模態(tài)對(duì)渡越輻射能做出的貢獻(xiàn)越小.因此本文中將計(jì)算得到的水平向波數(shù)解按虛部值由大到小進(jìn)行排序，僅保留前100 個(gè)解.將求解得到的水平向波數(shù)回代至頻散方程中求解方程組即得到了每個(gè)模態(tài)對(duì)應(yīng)的Z相關(guān)項(xiàng)參數(shù).

模態(tài)參數(shù)的求解涉及到了將每個(gè)模態(tài)計(jì)算得到的應(yīng)力應(yīng)變值對(duì)z進(jìn)行積分的過(guò)程.對(duì)于每個(gè)算例的自由場(chǎng)計(jì)算均存在5 個(gè)積分項(xiàng)，且每個(gè)積分項(xiàng)均需要對(duì)介質(zhì)1、介質(zhì)2 不同模態(tài)組合及每個(gè)頻率進(jìn)行積分，即對(duì)于一個(gè)算例為求解自由場(chǎng)模態(tài)參數(shù)需進(jìn)行500 萬(wàn)次積分，這一過(guò)程將極大地影響計(jì)算效率.因此，本文中將積分簡(jiǎn)化為z方向上的求和，取計(jì)算步長(zhǎng)為0.01，這一算法極大地提高了計(jì)算效率，且由于所取步長(zhǎng)較短，積分算法與求和算法的計(jì)算精度差距不大，約為2‰～5‰.

模態(tài)選取量越多，自由場(chǎng)計(jì)算結(jié)果與理論解吻合度越高.本文計(jì)算條件下，選取100 個(gè)模態(tài)已能滿(mǎn)足模型界面處的位移應(yīng)力連續(xù)條件.

2 渡越輻射能案例分析

渡越輻射能定義為兩彈性介質(zhì)中向無(wú)限遠(yuǎn)處傳播的能量，該范圍內(nèi)能量傳播不再受本征場(chǎng)作用影響，因此這部分能量?jī)H為自由場(chǎng)中的傳播模貢獻(xiàn).渡越輻射能與介質(zhì)中本征場(chǎng)應(yīng)變能的比值表征了介質(zhì)剛度變化對(duì)系統(tǒng)中能量分布的影響.

為計(jì)算自由場(chǎng)產(chǎn)生的輻射能通量，選取如圖5 所示閉合面Γ1，其水平邊界為介質(zhì)自由面z=0 和介質(zhì)剛性基礎(chǔ)z=L,其垂直界面為介質(zhì)兩側(cè)x方向無(wú)限遠(yuǎn)處，即|x|→∞.通過(guò)該閉合面的能通量可通過(guò)閉合面范圍內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力應(yīng)變的乘積積分得到.

圖5 渡越輻射能通量計(jì)算閉合面Fig.5 Enclosing surface for accessing the energy flu associated with the transition radiation

2.1 計(jì)算參數(shù)

為研究載荷移動(dòng)速度和界面傾斜角度對(duì)彈性層中能流密度分布的影響，本節(jié)中采用的載荷移動(dòng)速度為20～ 90 m/s(間隔取10 m/s)，界面傾角為15?，30?，45?，60?，90?，120?，150?共14 種情況下界面兩側(cè)介質(zhì)中的渡越輻射能.頻域計(jì)算范圍均為0～10 Hz，步長(zhǎng)均為0.1 Hz，自由場(chǎng)均選取100 個(gè)模態(tài)進(jìn)行計(jì)算.這里再次說(shuō)明，本文中介質(zhì)1 均定義為載荷先經(jīng)過(guò)的介質(zhì)，介質(zhì)2 定義為載荷后經(jīng)過(guò)的介質(zhì)，界面傾斜角度定義為介質(zhì)界面與介質(zhì)2 剛性基礎(chǔ)之間的夾角θ.

所有算例中介質(zhì)1 材料為材料A，介質(zhì)2 材料為材料B，具體材料參數(shù)見(jiàn)表1.介質(zhì)層厚度均為25 m.載荷移動(dòng)速度改變的8 個(gè)算例中界面傾角均取為60?，界面傾斜角度改變的算例中載荷移動(dòng)速度均取為50 m/s，移動(dòng)載荷取值均為10 kN/m.

表1 材料參數(shù)表Table 1 Material parameters

2.2 載荷移動(dòng)速度對(duì)渡越輻射能的影響

本文載荷移動(dòng)速度的取值控制在介質(zhì)臨界速度以?xún)?nèi)，以防止其他類(lèi)型輻射(例如，切倫科夫輻射)的產(chǎn)生對(duì)渡越輻射受現(xiàn)象的干擾，因此，載荷移動(dòng)速度取值為20～90 m/s(該案例分析中介質(zhì)介質(zhì)1 臨界速度為121 m/s，介質(zhì)2 臨界速度為106 m/s).在載荷移動(dòng)速度增大的過(guò)程中，渡越輻射能譜密度分布變化規(guī)律相似，且當(dāng)載荷移動(dòng)速度逐漸接近臨界速度時(shí)，渡越輻射能譜密度變化量值過(guò)大，難以在同一坐標(biāo)尺度內(nèi)表現(xiàn)能譜密度分布規(guī)律受到載荷移動(dòng)速度的影響，因此，本節(jié)采用載荷移動(dòng)速度為20，30，40 m/s 的計(jì)算結(jié)果來(lái)反映載荷速度變化對(duì)渡越輻射能譜密度分布規(guī)律的影響，如圖6 所示.能量譜密度中的特征頻率主要來(lái)源于水平向波數(shù)為實(shí)數(shù)的模態(tài)，故復(fù)波數(shù)為實(shí)數(shù)解的模態(tài)較多的頻率將計(jì)算得到較大的能量譜密度，主要受界面傾斜角度、介質(zhì)剛度差異的影響.隨著載荷移動(dòng)速度增大，渡越輻射能譜密度峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率位置并未發(fā)生變化，但峰值并不是單調(diào)增大的.頻率較小范圍內(nèi)(在該算例中為小于8.5 Hz)應(yīng)變能譜密度隨著載荷移動(dòng)速度的增大而增大，而頻率較大范圍內(nèi)應(yīng)變能譜密度峰值隨著載荷移動(dòng)速度的增大有所下降.對(duì)整個(gè)頻域而言，可以認(rèn)為隨著載荷移動(dòng)速度的增加渡越輻射能譜密度向較小頻率內(nèi)集中.介質(zhì)2 中應(yīng)變能譜密度最大值顯著大于介質(zhì)1，但介質(zhì)1 中峰值點(diǎn)較多，應(yīng)變能密度在頻域上的分布較介質(zhì)2 更均勻.

圖6 渡越輻射能譜密度隨載荷移動(dòng)速度變化規(guī)律Fig.6 Spectral density of transition radiation with different load moving velocities

圖6 渡越輻射能譜密度隨載荷移動(dòng)速度變化規(guī)律(續(xù))Fig.6 Spectral density of transition radiation with different load moving velocities(continued)

圖6(a)與圖6(b)對(duì)比可知，隨著載荷移動(dòng)速度的提升界面兩側(cè)介質(zhì)中能量密度峰值差異減小.介質(zhì)1 中隨載荷移動(dòng)速度增大應(yīng)變能譜密度向頻率較小側(cè)集中，介質(zhì)2 中3 個(gè)應(yīng)變能峰值點(diǎn)始終在頻率為6.2，6.9 和7.4 Hz 位置處，但三者之間的大小關(guān)系發(fā)生了變化，隨著速度的增大，頻率較小位置譜密度的增大幅度要大于頻率較大位置.

如表2 所示，載荷移動(dòng)速度較小時(shí)，渡越輻射能譜密度峰值并不隨速度單調(diào)增大.當(dāng)載荷移動(dòng)速度超過(guò)50 m/s 后，渡越輻射能譜密度峰值隨載荷移動(dòng)速度增大而單調(diào)遞增，且變化率也逐漸增大.當(dāng)速度由80 m/s提升至90 m/s，兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能譜密度最大值增長(zhǎng)率均發(fā)生顯著增長(zhǎng).介質(zhì)1 中速度為80 m/s 時(shí)譜密度最大值僅為速度為90 m/s 時(shí)的13%，介質(zhì)2 中該比值為26%.將得到的渡越輻射能譜密度分布對(duì)頻率積分可得到介質(zhì)中向無(wú)限遠(yuǎn)處傳播的渡越輻射能Er.

為理解渡越輻射現(xiàn)象對(duì)總能流密度分布的影響，將計(jì)算得到的渡越輻射能Er除以該算例參數(shù)下本征場(chǎng)應(yīng)變能Ee，得到的比值稱(chēng)為正規(guī)化的渡越輻射能.雖然介質(zhì)2 中渡越輻射能較大，但由于其介質(zhì)剛度較小，本征場(chǎng)應(yīng)變能遠(yuǎn)大于介質(zhì)1 中本征場(chǎng)應(yīng)變能，故介質(zhì)2 中渡越輻射能對(duì)總能量場(chǎng)的貢獻(xiàn)比介質(zhì)1 小.介質(zhì)1 中渡越輻射能在載荷移動(dòng)速度提升到80 m/s 以上時(shí)超過(guò)本征場(chǎng)應(yīng)變能.圖7 中為正規(guī)化后的渡越輻射能隨載荷移動(dòng)速度的變化規(guī)律，由圖可知隨著載荷移動(dòng)速度的增大，兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能對(duì)總能量場(chǎng)做出的貢獻(xiàn)均單調(diào)非線(xiàn)性增大.本算例中，介質(zhì)1 臨界速度為121 m/s，介質(zhì)2 臨界速度為106 m/s，如圖7 所示，載荷移動(dòng)速度達(dá)到界面介質(zhì)2 臨界速度74%時(shí)渡越輻射能的絕對(duì)值大小已經(jīng)超過(guò)了本征場(chǎng)應(yīng)變能.對(duì)于高速鐵路列車(chē)而言，這一結(jié)論表明當(dāng)列車(chē)行駛速度接近基礎(chǔ)臨界速度時(shí)，基礎(chǔ)剛度差異引起的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)可能會(huì)超過(guò)列車(chē)載荷本身激發(fā)的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng).

表2 自由場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)變能計(jì)算結(jié)果匯總Table 2 Summary table for the free fiel strain energy calculation results

圖7 渡越輻射能與本征場(chǎng)應(yīng)變能比值隨載荷移動(dòng)速度變化規(guī)律Fig.7 Transition radiation energy normalized by the eigenfiel energy versus velocity V

2.3 界面傾斜角度對(duì)渡越輻射能的影響

圖8 中為不同界面傾角θ(界面與介質(zhì)2 剛性基礎(chǔ)夾角)情況下兩側(cè)介質(zhì)中的渡越輻射能譜密度分布，由于篇幅限制僅給出界面傾斜角度為45?，60?，90?，120?情況下的計(jì)算結(jié)果.對(duì)于界面傾角為銳角的情況，介質(zhì)2 中的渡越輻射能譜密度最大值均大于介質(zhì)1 中的最大值，且介質(zhì)2 中渡越輻射能譜密度均集中于2～3 個(gè)峰值點(diǎn).對(duì)于界面傾角為鈍角的情況，介質(zhì)1 中的渡越輻射能譜密度最大值均大于介質(zhì)2 中最大值，兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能譜密度均集中于頻率較大的范圍內(nèi).圖8(c)為界面為垂直情況下兩側(cè)介質(zhì)中的渡越輻射能譜密度，界面垂直情況下，兩側(cè)介質(zhì)的剛度差異成為影響介質(zhì)中自由場(chǎng)譜密度分布的支配性影響因素，因此剛度較小的介質(zhì)(介質(zhì)2)中渡越輻射能顯著大于剛度較大介質(zhì)(介質(zhì)1).

圖8 渡越輻射能譜密度隨界面傾斜角度變化規(guī)律Fig.8 Spectral density of transition radiation with different interface inclination angles

渡越輻射能譜密度譜密度最大值隨界面傾斜角度的變化規(guī)律并不是單調(diào)的.界面傾角為銳角情況下，介質(zhì)2 中應(yīng)變能譜密度峰值顯著大于介質(zhì)1.界面傾角由45?增大到60?，介質(zhì)1 中渡越輻 射能譜 密度峰值從1.460×10?3J·s/m 減 小至1.320×10?3J·s/m，介質(zhì)2 中渡越輻射能譜密度峰值從2.780×10?3J·s/m 增大至1.006×10?2J·s/m.界面傾角為鈍角情況下，介質(zhì)1 中應(yīng)變能譜密度峰值顯著大于介質(zhì)2.將渡越輻射能譜密度分布對(duì)頻率積分可得到介質(zhì)中向無(wú)限遠(yuǎn)處傳播的渡越輻射能，界面傾角為銳角情況下，兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能均隨界面傾斜角度單調(diào)增大，且介質(zhì)2 中渡越輻射能始終大于介質(zhì)1中渡越輻射能.

圖9 中為界面傾角為銳角情況下渡越輻射能對(duì)總能量場(chǎng)貢獻(xiàn)隨界面傾斜角度的變化規(guī)律.隨著界面傾斜角度的增大，兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能對(duì)總能量場(chǎng)做出的貢獻(xiàn)均單調(diào)非線(xiàn)性增大.界面傾角為銳角情況下，界面傾斜角度的增大對(duì)兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能貢獻(xiàn)相對(duì)大小關(guān)系沒(méi)有顯著影響.界面為垂直情況下，兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能對(duì)總能量場(chǎng)做出的貢獻(xiàn)的相對(duì)關(guān)系主要受到兩側(cè)介質(zhì)剛度相對(duì)大小的影響.垂直界面情況下兩側(cè)介質(zhì)中渡越輻射能的差異遠(yuǎn)大與傾斜界面情況，其中剛度較小介質(zhì)(介質(zhì)2)中渡越輻射能對(duì)總能量場(chǎng)做出的貢獻(xiàn)大于傾斜界面情況，剛度較大介質(zhì)中渡越輻射能對(duì)總能量場(chǎng)做出的貢獻(xiàn)小于傾斜界面情況.界面傾角由銳角變?yōu)殁g角，介質(zhì)1 中渡越輻射能貢獻(xiàn)大于介質(zhì)2.對(duì)于高速鐵路路橋過(guò)渡段設(shè)計(jì)而言，這一結(jié)果表明過(guò)渡段界面的傾斜有利于減小基礎(chǔ)剛度差異所導(dǎo)致的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng).

圖9 渡越輻射能與本征場(chǎng)應(yīng)變能比值隨界面傾斜角度變化規(guī)律Fig.9 Transition radiation energy normalized by the eigenfiel energy versus interface inclination angle

3 界面附近近場(chǎng)應(yīng)變能密度計(jì)算結(jié)果

將兩介質(zhì)界面附近范圍內(nèi)的應(yīng)變能定義為近場(chǎng)能量，該范圍內(nèi)自由場(chǎng)和本征場(chǎng)仍存在疊加，故需要考慮總的位移和應(yīng)力場(chǎng).該部分能量計(jì)算結(jié)果主要用于評(píng)估應(yīng)變能的方向性和自由場(chǎng)在總場(chǎng)中的占比.因此，選取圖10 中的半圓形閉合面進(jìn)行分析，本節(jié)計(jì)算中閉合面半徑R均選取為介質(zhì)層厚度L的1/4，即6.25 m，其他計(jì)算參數(shù)與2.1 節(jié)中相同.本節(jié)中計(jì)算得到的介質(zhì)1 中近場(chǎng)應(yīng)變能均為負(fù)值，表明能量由閉合面外側(cè)向閉合面內(nèi)側(cè)流動(dòng)，這是由于近場(chǎng)能流密度中本征場(chǎng)能流密度占支配比例，而載荷由介質(zhì)1 向介質(zhì)2 移動(dòng)，本征場(chǎng)能量由介質(zhì)1 向界面處再向介質(zhì)2 方向傳遞，因此介質(zhì)1 中能流密度指向閉合面內(nèi)側(cè)，介質(zhì)2 中指向閉合面外側(cè).

圖10 界面附近近場(chǎng)應(yīng)變能通量計(jì)算閉合面Fig.10 Enclosing surface for accessing the energy flu close to the interface

3.1 載荷移動(dòng)速度對(duì)近場(chǎng)應(yīng)變能密度的影響

載荷移動(dòng)速度對(duì)近場(chǎng)能量密度的方向性具有顯著影響.圖11 中為載荷移動(dòng)速度分別為20 m/s和90 m/s 時(shí)的近場(chǎng)能量密度分布.由圖可知，載荷移動(dòng)速度較小時(shí)，界面向主要向x軸兩側(cè)方向傳播能量，載荷移動(dòng)速度較大時(shí)，沿界面方向傳播的能量較大.

圖11 近場(chǎng)應(yīng)變能角密度隨載荷移動(dòng)速度變化規(guī)律Fig.11 Angular energy density of the near-fiel with different load moving velocity

近場(chǎng)應(yīng)變能角密度隨載荷移動(dòng)速度增大單調(diào)非線(xiàn)性增大.與遠(yuǎn)場(chǎng)能量密度規(guī)律相同，近場(chǎng)應(yīng)變能角密度在載荷移動(dòng)速度達(dá)到90 m/s 時(shí)也發(fā)生了極大增長(zhǎng)，速度為80 m/s 時(shí)的近場(chǎng)應(yīng)變能角密度最大值僅為速度為90 m/s 時(shí)的24%.

相較于遠(yuǎn)場(chǎng)渡越輻射能，近場(chǎng)應(yīng)變能角密度在極坐標(biāo)上的分布隨影響因素的變化規(guī)律相對(duì)不顯著，這是因?yàn)樵诮缑娓浇秶鷥?nèi)本征場(chǎng)與自由場(chǎng)仍存在疊加，體現(xiàn)出的近場(chǎng)應(yīng)變能不能獨(dú)立的反映自由場(chǎng)的能量輻射規(guī)律.因此，有必要計(jì)算自由場(chǎng)在近場(chǎng)應(yīng)變能中所占的比例.

隨著載荷移動(dòng)速度的增大，自由場(chǎng)在近場(chǎng)應(yīng)變能中的占比逐漸增大.速度為20 m/s 時(shí)，自由場(chǎng)做出的貢獻(xiàn)主要沿界面方向，而速度為90 m/s 時(shí)，雖然自由場(chǎng)貢獻(xiàn)最大方向仍為沿界面方向，但其他方向自由場(chǎng)貢獻(xiàn)均有上升.載荷移動(dòng)速度為90 m/s 時(shí)，介質(zhì)1 中自由場(chǎng)對(duì)近場(chǎng)應(yīng)變能密度的貢獻(xiàn)顯著大于介質(zhì)2.

3.2 界面傾斜角度對(duì)近場(chǎng)應(yīng)變能密度的影響

界面傾斜角度顯著影響了近場(chǎng)應(yīng)變能密度在角度上的分布規(guī)律.圖12 及圖13 中不同界面傾角的模型均在極坐標(biāo)系中沿兩介質(zhì)界面方向的角度上出現(xiàn)尖點(diǎn)，這一結(jié)果表明最大近場(chǎng)應(yīng)變能角密度均發(fā)生在介質(zhì)界面方向上，即近場(chǎng)應(yīng)變能中較大一部分能量是沿著兩介質(zhì)界面方向傳播的，在介質(zhì)界面位置通過(guò)兩介質(zhì)之間的能量傳播平衡了移動(dòng)載荷在不同介質(zhì)中的能量差.介質(zhì)1 中近場(chǎng)應(yīng)變能密度隨介質(zhì)傾角無(wú)明顯變化規(guī)律，但介質(zhì)2 中存在介質(zhì)傾角越大，近場(chǎng)應(yīng)變能密度越大的規(guī)律.與遠(yuǎn)場(chǎng)渡越輻射能規(guī)律不同，近場(chǎng)應(yīng)變能角密度最大值并不隨介質(zhì)傾角增大而單調(diào)增大，這可能是對(duì)于界面傾角為15?和30?的情況，界面距離自由表面距離較近，本征場(chǎng)在這一范圍內(nèi)做出了較大貢獻(xiàn).

圖12 近場(chǎng)應(yīng)變能角密度隨界面傾斜角度變化規(guī)律Fig.12 Angular energy density of the near-fiel with different interface inclination angle

圖13 近場(chǎng)應(yīng)變能角密度中自由場(chǎng)貢獻(xiàn)比例隨界面傾斜角度變化規(guī)律Fig.13 Free fiel contribution of near-fiel angular energy density with different interface inclination angle

自由場(chǎng)占近場(chǎng)應(yīng)變能角密度比例在極坐標(biāo)上的分布規(guī)律也與這一解釋相符，圖中不同界面傾角情況下仍為沿界面方向自由場(chǎng)占比最大，但最大值隨界面傾角的增大單調(diào)增大，這意味著界面傾角為15?情況下沿界面方向出現(xiàn)的能通量峰值主要由本征場(chǎng)貢獻(xiàn).

4 結(jié)論

本文提出了傾斜界面耦合彈性層渡越輻射能分析模型，將介質(zhì)中的動(dòng)力響應(yīng)場(chǎng)分解為本征場(chǎng)和自由場(chǎng)兩個(gè)部分，對(duì)自由場(chǎng)波動(dòng)方程采用分離變量法求解，得到了本征場(chǎng)和自由場(chǎng)位移應(yīng)力表達(dá)式.通過(guò)半解析計(jì)算得到了不同影響因素對(duì)介質(zhì)中渡越輻射能流密度的影響規(guī)律：

(1)隨著載荷移動(dòng)速度的增大，渡越輻射能單調(diào)非線(xiàn)性增大，接近臨界速度時(shí)(約為臨界速度74%)甚至超過(guò)本征場(chǎng)應(yīng)變能.界面傾角增大，渡越輻射能單調(diào)非線(xiàn)性增大.界面與剛性基礎(chǔ)夾角為銳角側(cè)集中了更多的渡越輻射能.

(2)隨著載荷移動(dòng)速度增大，界面附近能通量的方向性發(fā)生變化，沿界面方向傳播的能量逐漸增大.載荷移動(dòng)速度接近臨界速度時(shí)界面附近能通量角密度發(fā)生極大增長(zhǎng).隨著界面傾斜角度增大，界面附近能通量并非單調(diào)增大，但自由場(chǎng)占比是單調(diào)增大的.

可以認(rèn)為現(xiàn)行的高速鐵路路橋過(guò)渡段設(shè)置能夠在一定程度上起到減小系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的作用，但當(dāng)行車(chē)速度接近基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)臨界速度時(shí)，不同結(jié)構(gòu)之間的剛度差異將對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)起到極大的放大作用.在高速鐵路列車(chē)不斷提速的背景下，為保證行車(chē)安全性和乘客舒適性，有必要對(duì)過(guò)渡段結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)做出優(yōu)化.

本文中將高速鐵路列車(chē)簡(jiǎn)化為一個(gè)勻速移動(dòng)的點(diǎn)載荷，考慮列車(chē)實(shí)際載荷形式及軌道結(jié)構(gòu)對(duì)載荷的分散作用，列車(chē)經(jīng)過(guò)過(guò)渡段的物理模型可簡(jiǎn)化為在一定范圍內(nèi)分布的多個(gè)點(diǎn)載荷，以一定的時(shí)間差經(jīng)過(guò)兩種介質(zhì)之間的界面，多個(gè)載荷激發(fā)出的渡越輻射場(chǎng)也存在相應(yīng)的相位差，其疊加所產(chǎn)生的渡越輻射場(chǎng)仍有待進(jìn)一步研究，計(jì)算時(shí)需對(duì)多個(gè)載荷的本征場(chǎng)進(jìn)行疊加，進(jìn)而求得在多載荷條件下界面處的自由場(chǎng)激擾源.