郭亞敏，郭冬青

（1.山西省工業(yè)管理學(xué)校， 山西 太原030012； 2.河南工程學(xué)院， 河南 鄭州451191）

研究發(fā)現(xiàn)， 彈性波在具有周期結(jié)構(gòu)的材料 （如聲子晶體） 中傳播時， 在某些頻段內(nèi)存在通帶和禁帶特性[1-2]， 基于這種特性， 產(chǎn)生了許多相關(guān)的研究成果； 溫激鴻等人[3]研究了材料的密度和剛度以及幾何參數(shù)對一維二維三維聲子帶隙特性的影響， 并定性總結(jié)出相關(guān)的結(jié)論。 何力功[4]根據(jù)不同的聲子晶體結(jié)構(gòu)， 研究了它們起始頻率和截止頻率的分布特點， 以及聲子晶體隔聲帶隙的影響因素。 周明鋼等[5]針對車輛駕駛室存在的低頻噪聲問題， 根據(jù)研究的低頻帶隙相關(guān)結(jié)論對駕駛室進行了改進。

本文基于二維周期阻尼薄板結(jié)構(gòu)探索性地研究了二維周期阻尼薄板結(jié)構(gòu)的振動與聲輻射特性， 探討了相應(yīng)結(jié)論， 以期不斷豐富周期阻尼的結(jié)構(gòu)形式， 為實際應(yīng)用提供理論方法指導(dǎo)。

圖1 薄板和阻尼塊結(jié)構(gòu)模型

1 隔聲特性和隔聲輻射的理論計算

1.1 隔聲特性理論

根據(jù)薄板變形理論， 假設(shè)薄板和阻尼塊的彎曲變形是相同的， 其結(jié)構(gòu)模型見圖1， 沿X 軸和Y 軸方向的周期性阻尼結(jié)構(gòu)分別施加到基板上。

在簡諧力作用下， 二維周期阻尼薄板結(jié)構(gòu)的振動方程為

式中： K 為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣； C 為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣；M 為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣； f(ω )為外部激勵載荷； Fmn(ω )為阻尼陣列的第m 行、 n 列的周期阻尼塊與基板之間的相互作用力。 其中Fmn(ω )的解析式未知，由于周期阻尼的多樣性， 使得其解析式難以統(tǒng)一，因此要得到解析式宜采用有限元思想進行周期阻尼結(jié)構(gòu)的離散， 獲得的離散節(jié)點振動方程[6]為

在總體剛度矩陣中， 周期阻尼內(nèi)部節(jié)點作用力相互抵消， 因此對式 （2） 進行變換得到

結(jié)合式 （2） 和式 （3） 可獲得關(guān)系式 （4）， 式（4） 采用正六面體網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的有限元單元， 每個節(jié)點的位移都由三個方向 （u， v， w） 的位移合成，表示接觸表面節(jié)點的載荷與位移矢量之間的關(guān)系[7]。

式中： um，n為接觸面節(jié)點 X 軸方向位移向量； vm，n為接觸面節(jié)點Y 軸方向位移向量； wm，n為接觸面節(jié)點Z 軸方向位移向量；為接觸面節(jié)點X 軸方向載荷向量為接觸面節(jié)點Y 軸方向載荷向量為接觸面節(jié)點Z 軸方向載荷向量；為系數(shù)矩陣中第s 行r 列的元素值。

薄板和周期性阻尼塊在接觸面節(jié)點處沒有相對位移， 因此接觸面節(jié)點位移矢量和載荷矢量中的元素可表示為

接觸面節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系式為

式中： δ 為狄拉克 δ 函數(shù)。

1.2 隔聲輻射理論

將式 （7） 代入式 （1） 可以得到薄板的振動位移表達式為

通過在式 （8） 的兩側(cè)求導(dǎo)獲得一階導(dǎo)數(shù)可以得到薄板表面的法向振動速度分布u'(ω) 。 根據(jù)薄板表面任意一點rs的法向振動速度瑞利積分，獲得空間聲場的輻射聲壓表達式為

式中： R 為聲場任意一點到薄板上點 rs的垂直距離[8]。

對式 （8） 求導(dǎo)以獲得薄板表面的法向振動速度u'(ω )， 并將其代入式 （9）。 也就是說， 空間中任何一點的聲壓與剛度、 頻率、 阻尼和質(zhì)量之間的關(guān)系為

式中： pi為入射聲壓； pt為透射聲壓。

將式 （9） 代入式 （10）， 并結(jié)合前述得到的振動位移， 可以得到薄板的隔音量。

2 仿真結(jié)構(gòu)模型的建立

首先建立二維周期阻尼薄板的UG 模型， 見圖2； 然后將UG 模型導(dǎo)入Hypermesh 中進行網(wǎng)格劃分， 見圖3； 再添加約束， 利用聲學(xué)仿真模擬軟件建立仿真模型， 見圖4， 并對敷設(shè)二維周期阻尼的薄板結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析。

圖2 二維周期阻尼結(jié)構(gòu)UG 模型

圖3 敷設(shè)二維周期阻尼薄板結(jié)構(gòu)有限元模型

圖4 二維周期阻尼結(jié)構(gòu)仿真模型

3 仿真結(jié)果以及分析

3.1 阻尼塊密度對隔聲量的影響

圖5 反映了阻尼塊對隔聲量的影響。 由圖5 可知， 在 250～1 000 Hz 頻率范圍內(nèi)， 由阻尼塊密度增加引起的隔音效果不明顯。

由于整個二維周期性阻尼薄板結(jié)構(gòu)中散射體的質(zhì)量較小， 圖中曲線平緩且隔聲量較小， 但進一步分析曲線可發(fā)現(xiàn)， 隨著散射體密度的增加， 隔音帶隙的起始和終止頻率也在增加， 因此如果隔音間隙變寬， 可以在很大的頻率范圍內(nèi)獲得更好的隔音效果。

圖5 阻尼塊對隔聲量的影響

3.2 阻尼塊剛度對隔聲量的影響

圖6 反映了阻尼塊剛度對隔聲量的影響。 由圖6 可知， 隨著阻尼塊彈性模量的增加， 隔音量在10～100 Hz 頻率范圍內(nèi)減小， 并且在 100～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)幾乎不變， 且隔音帶隙的起止頻率都沒有明顯變化。

出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是阻尼塊的材料是鋼， 而剛性塊的彈性模量明顯不同于硬質(zhì)橡膠， 所以， 阻尼塊的彈性模量并不是隔音量的主要影響因素， 可以直接忽略。

圖6 阻尼塊對隔聲量的影響

3.3 晶格常數(shù)對隔聲量的影響

圖7 和圖8 反映了晶格常數(shù)對隔聲量的影響。從圖7 和圖8 可以看出， 所研究的薄片在X 軸方向上的薄板長度大于在Y 軸方向上的薄板長度。在X 軸方向上增加晶格常數(shù)對隔音量的影響明顯小于在Y 方向上增加晶格常數(shù)對隔音量的影響，而不斷增加晶格常數(shù)， 并不一定利于隔音。 如果增加晶格常數(shù)， 單元結(jié)構(gòu)阻尼填充率就降低。 從圖中也可以看出增加晶格常數(shù)對隔音帶隙的起始和終止頻率沒有影響。

圖7 X 軸晶格常數(shù)對隔聲量的影響

圖8 Y 軸晶格常數(shù)對隔聲量的影響

4 結(jié)論

1） 阻尼塊密度增加引起的隔音效果并不是很明顯， 但散射體的密度增大， 隔聲帶隙的寬度得到了擴展。

2） 阻尼塊的彈性模量并不是隔音量的主要影響因素， 可以直接忽略。

3） 晶格常數(shù)對隔聲量的影響： 增加X 軸方向上的晶格常數(shù)不如增加Y 軸方向上的晶格常數(shù)更能增強隔音， 同時增加晶格常數(shù)對隔音帶隙的寬度沒有影響， 且增加晶格常數(shù)對增加二維周期性結(jié)構(gòu)的隔音沒有太大影響。