王欽敏，余明芳

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)深度涵育：教學(xué)的進(jìn)路與方略

王欽敏，余明芳

（福建教育學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，福建 福州 350025）

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，促使知識(shí)向素養(yǎng)轉(zhuǎn)化，正成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要導(dǎo)向．結(jié)合具體教學(xué)事例，分析總結(jié)涵育學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的教學(xué)進(jìn)路與方略：從概念教學(xué)路徑涵育抽象思維素養(yǎng)，著力深化學(xué)生對(duì)概括過(guò)程的體驗(yàn)與內(nèi)涵的認(rèn)知；從命題教學(xué)路徑涵育推理思維素養(yǎng)，努力提高學(xué)生進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)與關(guān)系建構(gòu)的能力；從應(yīng)用教學(xué)路徑涵育建模思維素養(yǎng)，致力啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法與策略智慧；從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，重在引導(dǎo)學(xué)生求真、樂(lè)善和唯美的追求意向．

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)；深度涵育；路徑；方略

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，需要依賴抽象思維概括數(shù)學(xué)研究對(duì)象，依據(jù)推理思維構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系，依靠模型思維發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值．眾多研究成果表明，數(shù)學(xué)思想是重要的文化素養(yǎng)，而抽象、推理與建模是數(shù)學(xué)的基本思想與思維方式，是學(xué)生適應(yīng)個(gè)人和社會(huì)發(fā)展需要的關(guān)鍵能力與必備思維素養(yǎng)[1]．

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，促使知識(shí)向素養(yǎng)轉(zhuǎn)化，正成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要導(dǎo)向．但不少身處教學(xué)一線的教師經(jīng)過(guò)教學(xué)觀察與分析后認(rèn)為，當(dāng)前許多課堂被應(yīng)試需求主導(dǎo)，數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)重異化為解題的模仿與訓(xùn)練，大部分時(shí)間培養(yǎng)的只是學(xué)生進(jìn)行機(jī)械運(yùn)算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．

嚴(yán)重異化為解題模仿與訓(xùn)練的數(shù)學(xué)課堂，不能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，其急功近利的行為只能讓學(xué)生獲得碎片的知識(shí)、零散的記憶和僵化的思維，難以讓學(xué)生構(gòu)筑厚實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，形成必要的探究發(fā)現(xiàn)能力，更難以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)得以深度涵育，助力部分優(yōu)秀學(xué)生成長(zhǎng)為有數(shù)學(xué)家潛質(zhì)的數(shù)學(xué)英才．

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)是數(shù)學(xué)知識(shí)與能力的內(nèi)化，植根于日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)與感悟．從課堂教學(xué)過(guò)程看，數(shù)學(xué)抽象、推理與建模等3個(gè)思維素養(yǎng)的涵育，需要教師更新教學(xué)觀念，調(diào)整目標(biāo)方向，分別從概念、命題與應(yīng)用教學(xué)等3個(gè)進(jìn)路，有針對(duì)性地實(shí)施相應(yīng)促進(jìn)方略．下面以“向量”章節(jié)教學(xué)為例，對(duì)此進(jìn)行具體分析、探討與總結(jié)．

1 從概念教學(xué)路徑涵育抽象思維素養(yǎng) 著力深化學(xué)生對(duì)概括過(guò)程的體驗(yàn)與內(nèi)涵的認(rèn)知

數(shù)學(xué)抽象是人腦舍去某一類(lèi)事物所有具體屬性得到其相同數(shù)學(xué)屬性的一種思維過(guò)程，通?？捎脭?shù)學(xué)符號(hào)或術(shù)語(yǔ)對(duì)抽象所得的共同數(shù)學(xué)屬性進(jìn)行概括和表達(dá)．?dāng)?shù)學(xué)抽象主要包括從數(shù)量與圖形，以及數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念間的關(guān)系，以及從事物具體背景抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)等過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，所得到的數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)實(shí)際事物中數(shù)量、空間、結(jié)構(gòu)和變化等本質(zhì)特征的一種意識(shí)反映，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和建立數(shù)學(xué)理論體系的基本構(gòu)筑元素．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的主要路徑．

在概念教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的形成，基于其對(duì)諸多和概念相關(guān)聯(lián)知識(shí)的整體理解與認(rèn)識(shí)，需要教師適當(dāng)騰出時(shí)間對(duì)引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細(xì)說(shuō)明．以“向量”這一概念的教學(xué)為例，在課堂上，教師可先解說(shuō)引入向量概念的因由與作用，講述與之相關(guān)的亞里士多德、威塞爾、牛頓、居伯斯等數(shù)學(xué)家所處的歷史背景和思考內(nèi)容．可指出：在17世紀(jì)初，代數(shù)、幾何與三角等分支已形成相對(duì)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，但主要是以常量研究靜態(tài)事物，而客觀事物始終處于運(yùn)動(dòng)和變化狀態(tài)，很需要采用變量去研究其運(yùn)動(dòng)與變化特征；用變量表示一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可刻畫(huà)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與變化屬性，若要刻畫(huà)動(dòng)態(tài)線段的運(yùn)動(dòng)與變化屬性，就必須引入一個(gè)和變量類(lèi)似的新概念．

獲得數(shù)學(xué)概念的主要思維方式是抽象與概括，抽象與概括是一種思維的體驗(yàn)和領(lǐng)悟，因而，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)盡多地讓學(xué)生親歷概念的抽象與概括思維過(guò)程，在不斷的體驗(yàn)與領(lǐng)悟中將經(jīng)驗(yàn)與概念、直覺(jué)與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養(yǎng)．例如，教學(xué)中引入向量概念，大都只對(duì)物理學(xué)中力和位移等矢量進(jìn)行簡(jiǎn)單地類(lèi)比與推廣，概念生成過(guò)程缺少抽象與概括思維，要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)親歷抽象與概括的思維過(guò)程，就必須引導(dǎo)學(xué)生對(duì)物理的質(zhì)量、距離、溫度、密度等標(biāo)量，以及力、位移、電場(chǎng)強(qiáng)度、速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等矢量進(jìn)行具體、細(xì)致的比較分析．

分析與抽象有著密切聯(lián)系，是抽象思維過(guò)程的主要手段．辯證唯物主義認(rèn)為，人對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析感性的具體獲得理性的抽象，然后對(duì)各種理性抽象的規(guī)定進(jìn)行更深刻的分析加工，進(jìn)一步獲得理性的具體，達(dá)到具體的再生產(chǎn)，從而才能把握事物的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系．在向量概念形成之后，還需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量進(jìn)行分類(lèi)分析，并對(duì)某些特殊的向量和向量關(guān)系進(jìn)行命名，如零向量、單位向量，以及直線的方向向量、平面的法向量，還有相等向量、共線向量等，讓學(xué)生細(xì)化認(rèn)知以進(jìn)一步明確概念外延．

學(xué)習(xí)者在面對(duì)一個(gè)全新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，認(rèn)識(shí)大多是遲鈍和模糊的，不能進(jìn)行快捷的抽象提煉和明確的概括說(shuō)明．比如，古希臘亞里士多德早已知道，對(duì)物理的“力”，需要關(guān)注其大小與方向，可以用平行四邊形法則將兩個(gè)力合成，但他卻不懂得使用有向線段去表示力，直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家牛頓才知道使用有向線段表示矢量和向量[2]．因此，讓學(xué)生親歷向量這樣的概念抽象與概括思維過(guò)程，還需要教師給予充裕的時(shí)間并適時(shí)引導(dǎo)，直到學(xué)生通過(guò)比較分析發(fā)現(xiàn)：物理標(biāo)量可以只用有長(zhǎng)度的線段表示，而位移等矢量有長(zhǎng)度與方向，必須用有向線段表示．

在概念教學(xué)中，著力深化學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵與知識(shí)意義的認(rèn)知，才能促使概念知識(shí)和思維能力在精神、思想和價(jià)值觀等文化層面涵養(yǎng)化育成為抽象思維素養(yǎng)，否則，抽象思維就可能僅僅只是形式思維的游戲．如在向量概念教學(xué)中，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生探討向量知識(shí)在幾何方面的意義，讓學(xué)生能類(lèi)似18世紀(jì)挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾那樣對(duì)向量的幾何意義進(jìn)行研究，嘗試著用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，然后用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算對(duì)向量運(yùn)算進(jìn)行定義，把向量和坐標(biāo)平面上的點(diǎn)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，使之成為研究幾何和三角問(wèn)題的一種工具．

學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵及其知識(shí)意義的認(rèn)知，是一個(gè)由淺入深漸次展開(kāi)的過(guò)程，需要教師結(jié)合新章節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容逐步予以啟迪深化．比如，對(duì)于向量概念，可以在復(fù)數(shù)章節(jié)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生比較分析向量與復(fù)數(shù)的幾何意義和運(yùn)算法則；在解析幾何教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生使用向量坐標(biāo)處理圖形位置關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到將向量用坐標(biāo)(,)表示后，就可以成為二維變量廣泛應(yīng)用在代數(shù)和幾何中；在立體幾何教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將平面向量知識(shí)逐個(gè)推廣到空間，感悟向量知識(shí)體系本身具備的優(yōu)良運(yùn)算律和內(nèi)在統(tǒng)一性．

作為數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，向量的理論方法一直在不斷地滲透到數(shù)學(xué)各分支領(lǐng)域，為使學(xué)生對(duì)向量概念的內(nèi)涵與知識(shí)意義有更深的了解與認(rèn)識(shí)，教師可在教學(xué)中拓展性地介紹向量概念在高等數(shù)學(xué)中的推廣運(yùn)用：在線性代數(shù)中，由個(gè)實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）組成的有序數(shù)組可視為維向量；可以將全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式看作一個(gè)向量空間，使向量概念的外延涵蓋任意數(shù)學(xué)或物理對(duì)象，讓向量方法的應(yīng)用范圍更加廣闊；等等．從以上敘述不難得到這樣的結(jié)論：學(xué)生抽象思維素養(yǎng)的形成和發(fā)展，需要教師在各個(gè)學(xué)段的點(diǎn)撥與啟迪，更需要學(xué)生在學(xué)習(xí)生涯中不斷地思考與感悟．

2 從命題教學(xué)路徑涵育推理思維素養(yǎng) 努力提高學(xué)生進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)與關(guān)系建構(gòu)的能力

數(shù)學(xué)推理是從一些事實(shí)和命題出發(fā)得出其它命題的思維過(guò)程，一般可分為演繹推理與合情推理兩種．通常，演繹推理可用以判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，而合情推理可用以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和探索證明思路．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，可以通過(guò)抽象思維定義概念并明確研究對(duì)象，通過(guò)推理思維發(fā)現(xiàn)并論證概念間的關(guān)系，構(gòu)建龐大的數(shù)學(xué)理論體系．在構(gòu)建理論體系過(guò)程中獲得的定義、公理、公式、性質(zhì)、法則與定理等，均可稱為數(shù)學(xué)命題．命題教學(xué)大多可以圍繞著概念內(nèi)涵辨析、命題的發(fā)現(xiàn)與證明、新舊命題的關(guān)系等問(wèn)題依次開(kāi)展．

命題教學(xué)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)推理思維素養(yǎng)的重要路徑．?dāng)?shù)學(xué)的定義、公式和定理等命題前后相聯(lián)，形成眾多環(huán)環(huán)相扣的知識(shí)鏈條和錯(cuò)綜復(fù)雜的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)．學(xué)習(xí)者在厘清概念內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，較完整地把握命題間的生成關(guān)系和邏輯關(guān)系，明了知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能較好地理解數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)．因而，在命題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納與類(lèi)比等合情推理探究發(fā)現(xiàn)新命題，并運(yùn)用演繹推理予以證明，可以從命題的生成與論證兩個(gè)角度“雙向”促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)“關(guān)系性理解”，讓學(xué)生的合情與演繹推理思維素養(yǎng)都能隨著對(duì)知識(shí)關(guān)系結(jié)構(gòu)的理解與感悟得到切實(shí)涵育．

合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的思維過(guò)程，數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的合情推理是歸納和類(lèi)比，二者都具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用．合情推理是進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種具有創(chuàng)新意義的思維方式，是數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)時(shí)不可缺少的工具性方法，涵育推理思維素養(yǎng)，必須同步并重地培養(yǎng)演繹與合情推理能力．但在許多數(shù)學(xué)課堂的命題教學(xué)過(guò)程中，由于高考考查的解題能力，主要包括數(shù)學(xué)運(yùn)算與演繹推理的能力，較少涉及合情推理能力，合情推理能力培養(yǎng)的重要性也被大大忽視．

在概念教學(xué)之后，針對(duì)概念定義進(jìn)行內(nèi)涵辨析，判斷某個(gè)實(shí)例能否符合定義要求，列舉和定義不相符的反例，探討為什么可以這樣定義，以及能否用其它方式定義，都要進(jìn)行推理論證，但其中的思維形式大都是演繹推理．只關(guān)注公式、定理的演繹推導(dǎo)與證明，將時(shí)間移用作例習(xí)題教學(xué)，省略了在課堂“再創(chuàng)造”重現(xiàn)公式、定理的探究與發(fā)現(xiàn)過(guò)程，很少去研究新舊命題的聯(lián)系進(jìn)行知識(shí)關(guān)系建構(gòu)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂在命題教學(xué)中的常見(jiàn)現(xiàn)象，這樣的命題教學(xué)和對(duì)概念進(jìn)行內(nèi)涵辨析一樣，都難以使學(xué)生的合情推理能力得到培養(yǎng)[3]．

為全面涵育推理思維素養(yǎng)，使學(xué)生的合情推理與演繹推理能力能在命題教學(xué)中得到同步并重的培養(yǎng)，可以在對(duì)概念進(jìn)行內(nèi)涵辨析的基礎(chǔ)上，將概念間的關(guān)系探究視為教學(xué)的重要內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理探索概念的性質(zhì)與概念關(guān)系，運(yùn)用歸納與類(lèi)比推理去發(fā)現(xiàn)新知，運(yùn)用演繹推理對(duì)公式定理進(jìn)行推導(dǎo)證明，通過(guò)探究新舊命題間的聯(lián)系，進(jìn)行知識(shí)關(guān)系建構(gòu)．除了命題教學(xué)外，還可以在解題教學(xué)、專(zhuān)題探究式教學(xué)和應(yīng)用教學(xué)中涵育推理思維素養(yǎng)，無(wú)論哪一種形式，都應(yīng)努力使學(xué)生的演繹與合情推理能力獲得協(xié)調(diào)發(fā)展．

以向量章節(jié)教學(xué)為例，在對(duì)向量概念進(jìn)行定義、分類(lèi)與內(nèi)涵辨析后，應(yīng)將向量與向量間、向量與其它元素間的關(guān)系探究視為教學(xué)重要內(nèi)容，可以引導(dǎo)學(xué)生探究向量與向量間的相等與共線等關(guān)系，探究向量與向量的加法運(yùn)算，探究向量與數(shù)的關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)乘運(yùn)算法則，等等．探索數(shù)學(xué)概念知識(shí)間的關(guān)系是獲得有關(guān)性質(zhì)、公式和定理的重要途徑．例如，探索向量與坐標(biāo)間可能存在的關(guān)系，可以引導(dǎo)學(xué)生得到向量的坐標(biāo)表示法，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)為向量坐標(biāo)運(yùn)算可得到大量的公式和定理．

在向量章節(jié)教學(xué)中，教師可以在很多場(chǎng)合引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納、類(lèi)比推理思維去發(fā)現(xiàn)新知．?dāng)?shù)學(xué)的向量與物理中的力與位移等矢量存在密切的類(lèi)比關(guān)系，向量概念的抽象與概括、向量加減法運(yùn)算法則、向量的正交分解與坐標(biāo)化、平面向量基底的概念和平面向量基本定理、向量數(shù)量積的概念與公式等結(jié)果，都可以通過(guò)類(lèi)比獲得，而向量數(shù)乘運(yùn)算的法則，也可以通過(guò)歸納推理獲得結(jié)果．在研究空間向量時(shí)，仍然可以通過(guò)類(lèi)比推理，將平面向量的概念、法則、公式與定理等全面推廣至空間向量．

開(kāi)展探究式教學(xué)，提高學(xué)生進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)與關(guān)系建構(gòu)的能力，是命題教學(xué)中深度涵育推理思維素養(yǎng)的主要方略．在命題教學(xué)中，通過(guò)探究式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生整體發(fā)掘關(guān)聯(lián)性知識(shí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間內(nèi)在、必然、直接的有意義聯(lián)系，將它們連成線、結(jié)成網(wǎng)，形成牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，可以有效增強(qiáng)學(xué)生推理思維和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，而數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的涵育，離不開(kāi)對(duì)概念內(nèi)涵與意義的認(rèn)知和對(duì)知識(shí)發(fā)展的體驗(yàn)，也離不開(kāi)對(duì)知識(shí)關(guān)系結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)與掌握，以及應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想、精神的感悟[4]．

3 從應(yīng)用教學(xué)路徑涵育建模思維素養(yǎng) 致力啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法與策略智慧

數(shù)學(xué)建模一般是指在研究一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，先從問(wèn)題信息抽象出形式化的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)模型求解結(jié)果統(tǒng)一處理同類(lèi)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思維過(guò)程．這個(gè)過(guò)程與數(shù)學(xué)理論形成、發(fā)展與應(yīng)用的基本思想是一致的，二者都是主要使用抽象與推理思維從現(xiàn)實(shí)世界中概括出理想化的模型，用以描述客觀事物的數(shù)形特征和內(nèi)在聯(lián)系，所建立的模型和眾多的數(shù)學(xué)概念、公式和定理等知識(shí)一樣，都可以廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界．引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、公式、定理、思想方法或建立新模型去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)課堂應(yīng)用教學(xué)的主要內(nèi)容．

應(yīng)用教學(xué)是涵育學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維素養(yǎng)的主要路徑．?dāng)?shù)學(xué)建模思維素養(yǎng)是致力從數(shù)學(xué)視角看問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法處理問(wèn)題的一種意識(shí)與能力，也是學(xué)以致用精神的體現(xiàn)．在應(yīng)用教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生整體理解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及其思想方法，在建模思維指導(dǎo)下將之活學(xué)活用到各類(lèi)新的問(wèn)題情境，可以讓學(xué)生從中學(xué)會(huì)使用聯(lián)系的觀點(diǎn)系統(tǒng)地審視問(wèn)題，使用轉(zhuǎn)換與化歸的方式靈活地處理問(wèn)題，養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣，感受并秉承數(shù)學(xué)理論知識(shí)為人類(lèi)服務(wù)的價(jià)值取向，從而不斷涵育提升個(gè)人的數(shù)學(xué)建模思維素養(yǎng)．

廣義地看，數(shù)學(xué)教材中的許多概念、公式、定理和思想方法都是重要的基本模型，如向量知識(shí)中的向量概念、平行四邊形法則與向量數(shù)量積公式等，都是從物理情景中抽象出來(lái)的，抽象過(guò)程中的探究與發(fā)現(xiàn)，就是建模的過(guò)程．在應(yīng)用教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這些基本模型證明兩角差的余弦公式、正弦定理、點(diǎn)到直線的距離公式、柯西不等式、海倫公式等，可讓學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用基本模型處理問(wèn)題的便利迅捷，感受其應(yīng)用范圍之廣，以及數(shù)學(xué)知識(shí)間的普遍聯(lián)系和內(nèi)在的統(tǒng)一性，幫助學(xué)生深刻感悟模型中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，亦有涵育建模思維素養(yǎng)之效．

引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、公式和定理處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，首先需要讓學(xué)生了解問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義，以及問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)形特征，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后通過(guò)聯(lián)想為問(wèn)題選取適當(dāng)?shù)囊褜W(xué)知識(shí)模型，并根據(jù)問(wèn)題中參數(shù)的實(shí)際意義完善模型，最后是對(duì)模型求解并檢驗(yàn)結(jié)果．如果無(wú)法為問(wèn)題找到合適的已學(xué)知識(shí)模型，就必須通過(guò)抽象與概括，參考已學(xué)知識(shí)模型，發(fā)揮想象構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型．以上的應(yīng)用教學(xué)方式，都可以涵育數(shù)學(xué)建模思維素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法有策略地去解決各種問(wèn)題．

在應(yīng)用教學(xué)中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察、發(fā)現(xiàn)并提出有意義的好問(wèn)題．一個(gè)好的問(wèn)題，往往與已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、知識(shí)和思想方法有廣泛聯(lián)系，能讓學(xué)生更深刻理解概念內(nèi)涵、意義與作用，能幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行關(guān)系建構(gòu)，可以向多個(gè)方向推廣，促人反思，耐人尋味．好問(wèn)題可以活躍建模思維，讓學(xué)生主動(dòng)使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述問(wèn)題，積極運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行獨(dú)立思考，通過(guò)合作交流做好各個(gè)環(huán)節(jié)的研究活動(dòng)，并從中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模在處理各類(lèi)問(wèn)題時(shí)的強(qiáng)大作用，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與策略智慧[5]．

應(yīng)用教學(xué)課程要恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，為學(xué)生營(yíng)造多維交互的數(shù)字化探究環(huán)境，適切發(fā)揮計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的探索實(shí)驗(yàn)功能．在數(shù)字化環(huán)境下，教師更易于創(chuàng)設(shè)豐富多彩的問(wèn)題情境，喚醒學(xué)生好奇天性與問(wèn)題意識(shí)，使之全身心投入到建模思維活動(dòng)．多維交互功能使合作交流更加便捷，更易于使學(xué)生在評(píng)價(jià)反饋中反思改進(jìn)，獲得信息化環(huán)境下的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．在先進(jìn)的智能教育環(huán)境中，還可以利用虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）等新技術(shù)營(yíng)造虛實(shí)互動(dòng)情境、可視化影像與可進(jìn)化場(chǎng)景，讓學(xué)生進(jìn)入沉浸式學(xué)習(xí)狀態(tài)，身臨其境般地去體驗(yàn)和探究[7]．

建模教學(xué)課程能給予學(xué)生直接參與的機(jī)會(huì)，相對(duì)于單純就教材理論知識(shí)進(jìn)行的講授和思考，參與中的親身體驗(yàn)更易于使學(xué)生的知識(shí)與能力升華為思維素養(yǎng)．立足于現(xiàn)成性、實(shí)體性信念的知識(shí)與教學(xué)觀，封閉了知識(shí)遷移、運(yùn)用的空間，難以構(gòu)成素養(yǎng)生成的實(shí)在基礎(chǔ)[8]．美國(guó)教育家達(dá)克沃斯（Duckworth E）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“最理想的教學(xué)應(yīng)是投入式的，它應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)內(nèi)容直接接觸，形成一種具身體驗(yàn)，而不是建立在他人的理解之上．”[9]抽象的數(shù)學(xué)概念知識(shí)都仍然和現(xiàn)實(shí)世界有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，建模教學(xué)可以讓學(xué)生親身經(jīng)歷和直接接觸現(xiàn)實(shí)世界的事物，使其對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)的感知與理解，有一個(gè)更為可靠和實(shí)在的基礎(chǔ)．

致力啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法與策略智慧，是應(yīng)用教學(xué)中深度涵育建模思維素養(yǎng)的主要方略．在應(yīng)用教學(xué)中，教師應(yīng)致力引導(dǎo)學(xué)生專(zhuān)心致志地去探索與發(fā)現(xiàn)，了解數(shù)學(xué)在其它學(xué)科和科技等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，賞識(shí)數(shù)學(xué)理論的和諧統(tǒng)一與思維的自由奇妙，讓學(xué)生能有意識(shí)地運(yùn)用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，思考并掌握解決問(wèn)題的一般方法，并從中深刻感悟數(shù)學(xué)的思想方法與策略智慧．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的核心，促使學(xué)生的知識(shí)能力在思想層面內(nèi)化升華，是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)觀念追求，也是應(yīng)用教學(xué)中深度涵育建模思維素養(yǎng)的必要過(guò)程．

4 從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng) 重在引導(dǎo)學(xué)生“求真”“樂(lè)善”“唯美”的追求意向

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的深度涵育，須基于以上列舉的概念、命題與應(yīng)用教學(xué)等進(jìn)路與方略，亦有賴于教師對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)精神等心理內(nèi)在力量的激發(fā)和養(yǎng)育．學(xué)科的學(xué)習(xí)認(rèn)知過(guò)程，是人的心智與價(jià)值、觀念、習(xí)慣、情感、意志和精神等各種心理因素相輔相成的過(guò)程，而學(xué)科素養(yǎng)的涵育，也是一個(gè)在習(xí)得新知中充分體驗(yàn)、深入感悟和塑造品格的過(guò)程．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，數(shù)學(xué)精神是上述心理與品格等因素的聚焦點(diǎn)，它是學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、方法、思想、意識(shí)、觀念等不斷概括和內(nèi)化的產(chǎn)物，也是學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維的方式與規(guī)范、價(jià)值與追求等意向性心理的集中表征，因而是數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)涵育中需要高度關(guān)注和深入研究的因素．

數(shù)學(xué)精神滲透在數(shù)學(xué)理論知識(shí)與數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)中，也存在于所有的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，并體現(xiàn)為個(gè)體數(shù)學(xué)思維的主觀性、目的性、選擇性與價(jià)值性等．正是在數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)中存在的強(qiáng)烈數(shù)學(xué)精神導(dǎo)引下，數(shù)學(xué)理論方得以不斷創(chuàng)生與擴(kuò)張，系統(tǒng)性日益增強(qiáng)，應(yīng)用日漸廣泛．有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為，也是一個(gè)理智認(rèn)識(shí)與求真、樂(lè)善、唯美等精神追求相契合的過(guò)程，需要學(xué)習(xí)者在豐富多彩的思維方式中不斷感悟數(shù)學(xué)思想，在層出不窮的困難體驗(yàn)中逐漸強(qiáng)化數(shù)學(xué)精神，繼而凝煉形成以數(shù)學(xué)的精神與思想為核心的學(xué)科文化素養(yǎng)．其中，數(shù)學(xué)精神是數(shù)學(xué)思維體驗(yàn)的深化與思想穎悟的升華，也是數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)得以進(jìn)一步形成和持續(xù)發(fā)展的主要?jiǎng)恿Γ?/p>

抽象性、邏輯性與應(yīng)用的多樣性是數(shù)學(xué)思維的主要特征，整體而言，數(shù)學(xué)抽象、推理與建模等思維素養(yǎng)與學(xué)習(xí)者思維的韌性、理性、嚴(yán)謹(jǐn)性、專(zhuān)注程度、問(wèn)題意識(shí)之類(lèi)的重要品質(zhì)都存在密切聯(lián)系，比如，思維韌性與專(zhuān)注程度不足，就無(wú)法長(zhǎng)時(shí)間集中注意力進(jìn)行連貫思考；問(wèn)題意識(shí)淡薄，就難以在平凡的事物中提出新概念、發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題．所以，教師在引入一個(gè)數(shù)學(xué)概念之初，就必須有意識(shí)地從數(shù)學(xué)精神層面思考數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的深度涵育問(wèn)題，特別重視學(xué)生學(xué)習(xí)的毅力、愛(ài)好和習(xí)慣等問(wèn)題，要時(shí)常對(duì)教材進(jìn)行有益地拓展與改造，增補(bǔ)可以促動(dòng)思考、引發(fā)興趣和激勵(lì)創(chuàng)新的教學(xué)內(nèi)容．此外，對(duì)一個(gè)概念內(nèi)涵的深入理解，也需要師生都具有持之以恒的精神，能在后續(xù)學(xué)習(xí)中進(jìn)行反思與提升．

從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的教學(xué)行為，可以落實(shí)在數(shù)學(xué)概念、命題與應(yīng)用教學(xué)等具體環(huán)節(jié)．例如，數(shù)學(xué)推理具有顯著的科學(xué)文化素養(yǎng)特征，曾被譽(yù)為“人類(lèi)最偉大的發(fā)現(xiàn)”，古希臘人從最簡(jiǎn)明的公理出發(fā)，利用推理得到基于嚴(yán)密邏輯的幾何知識(shí)系統(tǒng)，其中的公理化思想曾被競(jìng)相效仿，對(duì)人類(lèi)理性精神與科學(xué)文明的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響．教師可以在數(shù)學(xué)命題教學(xué)中涵育推理思維素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理和運(yùn)算中養(yǎng)成縝密思考的習(xí)慣、求實(shí)誠(chéng)信的品格和崇尚理性的精神，同時(shí)幫助學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中不斷增強(qiáng)變的意識(shí)與化的智慧，在運(yùn)用合情推理思維過(guò)程中養(yǎng)成細(xì)致觀察、善于歸納與類(lèi)比、勤于思考勇于創(chuàng)新的精神．

從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的課內(nèi)外教學(xué)，宜采用有較強(qiáng)挑戰(zhàn)性的問(wèn)題作為研究素材．例如，應(yīng)用教學(xué)中的問(wèn)題可以選自現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)內(nèi)部和其它學(xué)科，但都應(yīng)遵循有效難度法則，使所設(shè)定的研究任務(wù)具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性．有較強(qiáng)挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，才能激發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入探究的欲望，并在長(zhǎng)久思考后迸發(fā)的靈感與頓悟中感受到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣[6]；才能讓學(xué)生有更多運(yùn)用數(shù)學(xué)策略思維戰(zhàn)勝困難的機(jī)會(huì)，使推理思維素養(yǎng)得以深度涵育；才能讓學(xué)生在克服困難的過(guò)程中經(jīng)受情感與意志的考驗(yàn)，塑就不畏困難愈挫愈勇的精神品格．實(shí)踐表明，有較強(qiáng)挑戰(zhàn)性的教學(xué)課題，更易于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)得以深度涵育．

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)是數(shù)學(xué)知識(shí)與思維能力在學(xué)習(xí)者心理內(nèi)化后的概括性產(chǎn)物，比知識(shí)與能力更深層、更穩(wěn)定也更持久，它的形成，離不開(kāi)可進(jìn)行復(fù)雜心智操作的抽象與推理思維，也密切依賴于可帶給學(xué)習(xí)者主體體驗(yàn)和感悟的具象思維與頓悟思維[10]．在概念、命題與應(yīng)用教學(xué)中，讓學(xué)生親歷抽象與概括、探究與發(fā)現(xiàn)、建模與應(yīng)用的過(guò)程，其所獲取的體驗(yàn)，以及對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的統(tǒng)一性、數(shù)學(xué)方法中的策略思想、思維過(guò)程中的精神力量的感悟，可以促使經(jīng)驗(yàn)與概念、邏輯與直覺(jué)、方法與思想、理智與情感等深度融合，潛移默化地增強(qiáng)主體的認(rèn)同感和自覺(jué)意識(shí)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)與思維能力晉升到思想、精神、價(jià)值、觀念和意志層面，逐步內(nèi)化并升華成為富有文化屬性的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．

從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，重在引導(dǎo)學(xué)生求真、樂(lè)善和唯美的追求意向．?dāng)?shù)學(xué)科學(xué)理論思維是人腦對(duì)客觀事物數(shù)形特征與屬性的概括與反映，它始終堅(jiān)持以公理化體系反映事物本質(zhì)規(guī)律，整體選擇為人類(lèi)服務(wù)的價(jià)值取向，苛刻追求理論的和諧統(tǒng)一與思想的自由簡(jiǎn)易，使得數(shù)學(xué)名副其實(shí)地成為真、善、美的統(tǒng)一體，也使得求真、樂(lè)善和唯美的思想品格成為數(shù)學(xué)精神的三大支柱．因而，從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，應(yīng)重在引導(dǎo)學(xué)生求真、樂(lè)善和唯美的追求意向．?dāng)?shù)學(xué)的精神與思想同為數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的核心，從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，才能更切實(shí)地養(yǎng)育學(xué)生求真、樂(lè)善和唯美的數(shù)學(xué)精神品格，更完滿地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的宏大目標(biāo)．

5 結(jié)語(yǔ)

從概念教學(xué)路徑涵育數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)，著力深化學(xué)生對(duì)概括過(guò)程的體驗(yàn)與內(nèi)涵的認(rèn)知，可以讓學(xué)生“知其然”亦“知其所以然”，更少地依賴簡(jiǎn)單機(jī)械的記憶與模仿；從命題教學(xué)路徑涵育推理思維素養(yǎng)，努力提高學(xué)生進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)與關(guān)系建構(gòu)的能力，可以讓學(xué)生頭腦中孤立的知識(shí)形成有機(jī)體系和完整結(jié)構(gòu)，走出零散型解題教學(xué)與碎片化學(xué)習(xí)的困境；從應(yīng)用教學(xué)路徑涵育建模思維素養(yǎng)，致力啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法與策略智慧，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何將所學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，遠(yuǎn)離目標(biāo)指向迷糊和被無(wú)意義問(wèn)題填充的課堂教學(xué)；從數(shù)學(xué)精神層面深度涵育數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，重在引導(dǎo)學(xué)生求真、樂(lè)善和唯美的追求意向，可以讓學(xué)生的思維與精神相互滲透相互促進(jìn)協(xié)調(diào)發(fā)展，在忘了所學(xué)知識(shí)后仍留有可終生受益的東西．以上教學(xué)路徑與促進(jìn)方略，既有利于激發(fā)好奇心智、提高學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入專(zhuān)心致志的沉浸式學(xué)習(xí)狀態(tài)，也有助于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)關(guān)系建構(gòu)，有益于學(xué)生數(shù)學(xué)精神的養(yǎng)育，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)得到全方位的深度涵育[11-22]．

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The Deep Cultivation of Mathematical Thinking Competence: Teaching Paths and Strategies

WANG Qin-min, YU Ming-fang

(Department of Mathematics, Fujian Institute of Education, Fujian Fuzhou 350025, China)

Developing students’ mathematical thinking competence and promoting the transformation of knowledge into competence are becoming an important guide to mathematics teaching in middle schools. Combining with specific teaching examples, this study analyzes and summarizes the teaching paths and strategies for cultivating students’ mathematical thinking competence. Those approaches and strategies include: from the conceptual teaching path to the cultivation of students’ abstract thinking competence to deepen their understanding of the experience and connotation of the generalization process; from the proposition teaching path to the cultivation of students’ reasoning thinking competence so as to improve their ability to explore and discover and construct relationships; from the application of teaching path to the cultivation of students’ modeling thinking competence in order to inspire them to understand the thinking methods and strategic wisdom of mathematics; and from the spiritual level of mathematics to deep cultivation of students’ mathematical thinking competence, focusing on guiding them in seeking truth, kindness and aesthetics.

mathematical thinking competence; deep cultivation; path; strategy

2020-07-10

2016年度全國(guó)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的策略及評(píng)價(jià)研究（DHA160364）

王欽敏（1970—），男，福建福清人，中學(xué)特級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)教師教育研究．

G632

A

1004-9894（2020）06-0056-05

王欽敏，余明芳．?dāng)?shù)學(xué)思維素養(yǎng)深度涵育：教學(xué)的進(jìn)路與方略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（6）：56-60．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]