種 濤，趙劍衡，譚福利，王桂吉

（中國工程物理研究院流體物理研究所，四川 綿陽 621999）

金屬錫有4個(gè)固體相和1個(gè)液態(tài)相，其結(jié)構(gòu)對壓力和溫度非常敏感。針對錫的這些動(dòng)力學(xué)特性，人們從實(shí)驗(yàn)[1-5]和理論[6-13]方面開展了深入研究。錫在常溫常壓下為I41/amd群的體立方正交結(jié)構(gòu)（β相），溫度低于287 K時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榱⒎浇饎偸Y(jié)構(gòu)（α相），505 K時(shí)開始發(fā)生熔化[14]。利用靜高壓實(shí)驗(yàn)結(jié)合X射線衍射（XRD）裝置觀測到：常溫下壓力超過9.4 GPa時(shí)錫會發(fā)生β-γ相變[15-16]，γ相為I4/mmm群的體立方正交結(jié)構(gòu)，此相變?yōu)橐患壪嘧?，會引起約2.6%的體積間斷[2,17-21]；當(dāng)壓力超過40 GPa[3-4]時(shí)γ相轉(zhuǎn)變?yōu)閎cc相，γ相和bcc相在40～56 GPa壓力范圍內(nèi)可以共存，這一相變也是一級相變，對應(yīng)的體積變化約為0.76%[14]。在沖擊壓縮實(shí)驗(yàn)中，錫的β-γ相變可以由Hugoniot數(shù)據(jù)[22]或速度波剖面[15-16]觀測到，而γ-bcc相變因?yàn)轶w積間斷太小無法識別。沖擊加載下，錫在壓力超過23 GPa時(shí)發(fā)生卸載熔化，在壓力超過 49 GPa時(shí)發(fā)生沖擊熔化[16]。Vaboya等[20]、Barnett等[2]、Liu 等[4]和Cavaleri等[23]測量了錫的β相和γ相的等溫壓縮線。Rayne等[24]、Kamioka[25]、Hu等[26]和Song等[27]開展了錫的高壓聲速測量和計(jì)算。錫的沖擊熔化性能也被廣泛研究[9-10,28]。Davis等[29]首次利用Z裝置開展了斜波壓縮下錫的動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，觀測到了錫的β-γ相變，并利用Hayes[30]多相狀態(tài)方程對實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果大致吻合，但在相變混合區(qū)存在較大差異。Anderson等[15]利用沖擊實(shí)驗(yàn)開展了錫的相變和層裂研究，觀測到了相變和層裂現(xiàn)象，給出了物理模型及參數(shù)，但未給出計(jì)算結(jié)果。

對于錫的多相狀態(tài)方程，Anderson等[15]、Cox[31]、Buy等[32]分別構(gòu)建了Grüneisen形式的物態(tài)方程，Khishchenko[33]建立了自由能形式的完全物態(tài)方程，但并未給出模型參數(shù)，張林等[34]基于德拜模型構(gòu)建了錫的β相和γ相的自由能形式的完全物態(tài)方程，該模型計(jì)算的相圖和等溫壓縮線可以和實(shí)驗(yàn)較好吻合。Song等[27]結(jié)合多相狀態(tài)方程和多相Steinberg Guinan本構(gòu)模型對錫的沖擊實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬，其中多相本構(gòu)關(guān)系考慮了包氏效應(yīng)（Bauschinger effect），可以更好地描述沖擊卸載過程。

迄今為止，錫的相變動(dòng)力學(xué)特性研究主要集中在靜高壓和沖擊實(shí)驗(yàn)，斜波壓縮實(shí)驗(yàn)技術(shù)在材料相變動(dòng)力學(xué)研究方面具有一定的優(yōu)勢[35]，但是將斜波加載技術(shù)用于錫的相變研究工作很少。另外，錫的多相狀態(tài)方程研究主要集中在Grüneisen狀態(tài)方程形式，自由能研究主要用于計(jì)算相圖，利用基于自由能的多相狀態(tài)方程對動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)過程開展數(shù)值模擬的工作未見公開報(bào)道。本研究基于磁驅(qū)動(dòng)加載裝置CQ-4[36]開展純錫的斜波壓縮動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，探究錫的相變動(dòng)力學(xué)特性；結(jié)合Hayes多相狀態(tài)方程和非平衡相變速率模型，對實(shí)驗(yàn)動(dòng)力學(xué)過程開展數(shù)值模擬，用以模擬錫的彈塑性轉(zhuǎn)變和相變等物理過程。

1 加載實(shí)驗(yàn)原理和負(fù)載區(qū)設(shè)計(jì)

1.1 磁驅(qū)動(dòng)斜波加載實(shí)驗(yàn)原理

CQ-4裝置是采用低電感電容器組儲能、固體絕緣、平行板傳輸?shù)木o湊型磁驅(qū)動(dòng)加載裝置，當(dāng)工作電壓為85 kV時(shí)，負(fù)載區(qū)可輸出上升沿400～600 ns、峰值約4.0 MA的光滑脈沖電流[36]。磁驅(qū)動(dòng)準(zhǔn)等熵平面壓縮裝置的加載原理如圖1所示。脈沖大電流流經(jīng)由兩個(gè)相近的平行導(dǎo)電平板構(gòu)成的回路時(shí)，在兩個(gè)電極板之間的間隙中感生脈沖強(qiáng)磁場。由于趨膚效應(yīng)，脈沖電流沿電極板內(nèi)表面流動(dòng)，脈沖大電流和感生強(qiáng)磁場相互作用產(chǎn)生的洛倫茲力作用在電極板內(nèi)表面，形成壓縮應(yīng)力脈沖（磁壓力）并沿電極板厚度方向傳播，作用在置于電極板上的樣品。所產(chǎn)生的磁壓力與放電電流之間的關(guān)系[37]為

式中：p為壓力；μ為真空磁導(dǎo)率；j為流經(jīng)極板內(nèi)側(cè)的線電流密度；k為電極構(gòu)型系數(shù)，k值主要與極板構(gòu)型、上下極板間隙、電極材料、放電波形等因素相關(guān)。

1.2 實(shí)驗(yàn)負(fù)載區(qū)設(shè)計(jì)

為保證在實(shí)驗(yàn)關(guān)注的時(shí)間、空間范圍內(nèi)對錫樣品進(jìn)行一維應(yīng)變加載，且保證樣品中不形成沖擊波，需要對磁驅(qū)動(dòng)斜波加載實(shí)驗(yàn)負(fù)載區(qū)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，具體的設(shè)計(jì)方法見文獻(xiàn)[37]。本實(shí)驗(yàn)的負(fù)載區(qū)布局如圖1所示，單發(fā)實(shí)驗(yàn)設(shè)置4個(gè)速度測試點(diǎn)，分別測量3個(gè)不同厚度的錫樣品自由面速度和1個(gè)鋁極板自由面速度，4個(gè)測速點(diǎn)均設(shè)置在樣品或極板中心位置。實(shí)驗(yàn)樣品和極板的參數(shù)如表1所示。3個(gè)錫樣品的直徑均為8.0 mm，厚度分別為1.278、1.568和1.871 mm；極板寬度為8.0 mm，厚度分別為1.006、1.006、0.998和0.996 mm，鋁極板自由面速度測試位置的極板厚度為0.996 mm。

圖1 磁驅(qū)動(dòng)斜波實(shí)驗(yàn)負(fù)載區(qū)樣品布局圖Fig.1 Schematic diagram of magnetically driven ramp wave loading and the samples

表1 實(shí)驗(yàn)條件Table 1 Experimental condition

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)測得3種厚度的錫樣品的自由面速度剖面如圖2所示。由圖2可知，3種厚度的錫樣品的自由面速度剖面波形基本一致，只是幅值存在差異。隨著加載壓力的增加，錫的自由面速度平滑上升，依次經(jīng)歷彈塑性轉(zhuǎn)變和相變過程。速度剖面上動(dòng)力學(xué)過程對應(yīng)的特征值如表2所示，錫的彈塑性拐點(diǎn)對應(yīng)的特征速度uEP約為40 m/s，彈性極限為381.2 MPa，對應(yīng)的屈服強(qiáng)度為197.0 MPa，3種厚度錫樣品的特征值基本相等。β-γ相變對應(yīng)的特征速度隨著錫厚度的增加，從676.3 m/s減小到636.8 m/s，對應(yīng)的壓力從7.62 GPa降低到7.11 GPa，這是由相變應(yīng)力波演化造成的，與現(xiàn)有的鐵的沖擊實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化趨勢相同。

圖2 Shot 714實(shí)驗(yàn)測量的自由面速度剖面Fig.2 Experimental free surface velocities of shot 714

表2 速度波剖面上的特征值Table 2 Characteristic values of the velocity profiles

3 數(shù)值模擬與分析

為了準(zhǔn)確地描述相變的動(dòng)力學(xué)過程，除守恒方程外，還需要描述相變過程的相變動(dòng)力學(xué)方程和多相狀態(tài)方程。本研究采用率相關(guān)的非平衡相變動(dòng)力學(xué)方程和Hayes多相狀態(tài)方程。

3.1 相變動(dòng)力學(xué)方程

非平衡相變動(dòng)力學(xué)方程采用Hayes[30]模型，其物理背景為：相變速率與相變驅(qū)動(dòng)力及可供初始相相變生長的空間成正比，具體形式為

式中：ξ為新相的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，H為可供初始相相變生長的空間，G為Gibbs自由能，G1-G2為相變驅(qū)動(dòng)力，r為單位體積中的原子數(shù)，kB為Boltzmann常數(shù)，T為當(dāng)前溫度，τ 為 相變弛豫時(shí)間，D12為初始相向新相轉(zhuǎn)變的能障，D21為新相向初始相轉(zhuǎn)變的能障。當(dāng)相變弛豫時(shí)間 τ=0時(shí)，滿足相變臨界準(zhǔn)則，相變瞬間完成，這就是平衡相變模型。

3.2 錫的自由能

相變速率方程需要計(jì)算各相的Gibbs自由能，而Gibbs自由能也可以由Helmholtz自由能得到（G(v,T)=F(v,T) +pv）。錫在給定比容v和溫度T時(shí)的Helmholtz自由能[34]為

式中：φ0(v)為固體的結(jié)合能，F(xiàn)ion(v,T)為 晶格的振動(dòng)自由能，F(xiàn)el(v,T)為電子的自由能。

固體的結(jié)合能只是比容的函數(shù)，與溫度無關(guān)，具體表達(dá)式為

式中：vR為參考比容，Φ0（vR）為結(jié)合能在參考比容的值，BR為絕對零度時(shí)固體在參考點(diǎn)處的體模量，為BR對壓強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)，pR為對應(yīng)的壓強(qiáng)。

在準(zhǔn)諧振子近似下，晶格的振動(dòng)自由能形式為

式中：N為固體單位質(zhì)量的原子數(shù)，Θ (V)為德拜溫度，D(z)為德拜積分。

電子的自由能表達(dá)式為

錫的Helmholtz自由能參數(shù)見表3。

表3 錫的Helmholtz自由能計(jì)算參數(shù)[34]Table 3 Parameters for the Helmholtz free energy of tin[34]

3.3 多相狀態(tài)方程和本構(gòu)關(guān)系

Hayes[30]提出的多相狀態(tài)方程廣泛應(yīng)用于材料動(dòng)態(tài)壓縮下相變過程的數(shù)值模擬研究，其壓力和溫度的具體計(jì)算形式為

式中：ξ為某時(shí)刻各相質(zhì)量分?jǐn)?shù)，BS,ξ為 該時(shí)刻的等熵體模量，Δ εv為相變引起的體應(yīng)變間斷，cp,ξ為定壓比熱容，αξ為體膨脹系數(shù)。

對等熵體模量（BS,ξ）進(jìn)行細(xì)致分析。在沖擊壓縮相變實(shí)驗(yàn)中，材料的物理狀態(tài)可以認(rèn)為是從初始態(tài)跳躍到終態(tài)，在壓力-比容平面上對應(yīng)的路徑是兩條Rayleigh線，體波聲速對應(yīng)的是兩條Rayleigh線的斜率，可以認(rèn)為是常數(shù)，由熱力學(xué)關(guān)系可知，各相的體模量也可設(shè)為常數(shù)。在斜波壓縮相變實(shí)驗(yàn)中，材料的物理狀態(tài)是連續(xù)的從初始態(tài)過渡到終態(tài)，在壓力-比容平面上對應(yīng)的路徑是完整的（準(zhǔn)）等熵線，體波聲速、體模量等物理量都是連續(xù)變化的，并且是當(dāng)前狀態(tài)（壓力、溫度、比容等）的函數(shù)，不能再近似為常數(shù)。本研究只考慮壓力對體模量的影響，斜波壓縮過程中溫度升高很小，可以忽略溫度的影響，借鑒適用于等熵過程的Murnaghan狀態(tài)方程，將等熵體模量寫為

式中：BS為等熵體模量，BS0為初始等熵體模量為體模量對壓力的一階導(dǎo)數(shù)，p為壓力。本研究中BS0和BR相等，相等。

本構(gòu)關(guān)系采用Steinberg模型[38]

式中：Y0為初始屈服強(qiáng)度，κ和n為硬化系數(shù)，εp為 等效塑性應(yīng)變，εi為初始塑性應(yīng)變，A和C分別為剪切模量對壓力和溫度的系數(shù)，η=V0/V。由于錫的β相和γ相強(qiáng)度較低，差異較小，對相變影響較小，本研究對兩相采用相同的模型和參數(shù)，具體參數(shù)見表4。

表4 錫的Steinberg模型[38]參數(shù)Table 4 Parameters for the Steinberg model[38] of tin

3.4 計(jì)算結(jié)果和分析

本研究以極板內(nèi)表面壓力歷史為輸入條件，加載壓力由鋁極板自由面速度歷史結(jié)合反積分程序給出，圖3（a）顯示了加載電流和壓力隨時(shí)間的變化，電流上升沿約為550 ns，電流峰值約為2 MA，壓力峰值約為18 GPa。3種厚度的錫的物理模型和對應(yīng)的參數(shù)均相同，加載邊界相同，圖3（b）為計(jì)算和實(shí)驗(yàn)速度波形圖。由圖3（b）可知，計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，計(jì)算結(jié)果能很好地再現(xiàn)錫樣品在斜波壓縮下經(jīng)歷的彈塑性轉(zhuǎn)變和相變過程，且計(jì)算得到的彈塑性拐點(diǎn)和相變拐點(diǎn)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，驗(yàn)證了物理模型及其參數(shù)的正確性。

圖3 實(shí)驗(yàn)加載壓力（a）以及計(jì)算與實(shí)驗(yàn)速度波形（b）Fig.3 The loading pressure(a) and the calculated and experimental velocities (b)

圖4為考慮和未考慮式（8）對Hayes模型修正兩種情況的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)速度剖面，未考慮修正的Hayes模型=0.0，其他參數(shù)不變。由圖4可知：未修正模型得到的計(jì)算結(jié)果在發(fā)生彈塑性轉(zhuǎn)變之后小于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，相變起始點(diǎn)對應(yīng)的特征速度小于實(shí)驗(yàn)值；修正后的Hayes模型得到的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，兩種情況最終得到的峰值速度基本相等。整體來看，未考慮修正模型得到的計(jì)算結(jié)果顯示材料偏軟，這是由于兩種情況下的等效體模量不同。圖5為0.7 μs時(shí)厚度為1.568 mm的錫樣品中的壓力和γ相的質(zhì)量分?jǐn)?shù)沿厚度方向的分布曲線，將厚度H=0 mm處定義為加載面，H=1.568 mm處定義為自由面。由圖5 可知，壓力在加載面處最高，約為18 GPa，隨后沿錫的厚度方向降低，在自由面附近壓力為零。由于壓力作用及材料本身的動(dòng)力學(xué)特性，根據(jù)錫所處熱力學(xué)狀態(tài)的不同，將壓力沿樣品厚度方向分布曲線分為4個(gè)區(qū)域：自由面至H3（H3≈ 1.26 mm）為壓力較低的彈性段；H3至H2（H2≈1.07 mm）為壓力基本相同的彈塑性轉(zhuǎn)變段，H3處壓力約為380 MPa；H2至H1（H1≈ 0.58mm）為壓力逐漸上升的β相塑性段；H1至加載面，γ相質(zhì)量分?jǐn)?shù)從零遞增到100%，這一區(qū)域?yàn)榛旌舷鄥^(qū)，H1處壓力約為7.5 GPa。從H1處開始，向加載面方向壓力上升的斜率明顯減小，這是由相變引起的體應(yīng)變間斷 Δ εv造成的，由于 Δ εv＜ 0，如果樣品在某位置處發(fā)生相變，那么等效體應(yīng)變中將會產(chǎn)生一個(gè)負(fù)的修正項(xiàng) Δ εv該修正項(xiàng)會導(dǎo)致壓力減小，可以近似地認(rèn)為相變的同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)稀疏波，該稀疏波的強(qiáng)度與材料相變引起的體應(yīng)變間斷和這一時(shí)刻的相變速率相關(guān)。

圖4 計(jì)算和實(shí)驗(yàn)自由面速度對比Fig.4 Comparison of measured free surface velocity with calculated values

圖5 0.7 μs時(shí)壓力和γ相質(zhì)量分?jǐn)?shù)沿樣品厚度方向分布Fig.5 Pressure and mass fraction of γ phase along the thickness of the sample at 0.7 μs

3.5 模型參數(shù)對速度波形的影響

參數(shù) τ為相變弛豫時(shí)間，其物理意義為相變建立平衡需要的時(shí)間。理論上 τ值越大，相變需要的時(shí)間越長，相變混合區(qū)跨越的壓力區(qū)間越大，由β相向γ相的力學(xué)特性過渡越平穩(wěn)。在速度波形上表現(xiàn)為，τ值越大，相變混合區(qū)對應(yīng)的速度區(qū)間斜率越平滑。不同相變弛豫時(shí)間對應(yīng)的速度波形如圖6所示，其他動(dòng)力學(xué)參數(shù)不變，如表4所示，得到的計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果相同。參數(shù)Φ0為結(jié)合能在參考比容的值，也是Helmholtz自由能的初始值，理論分析時(shí)更關(guān)心各相間的相對值，因此一般將初始相的值設(shè)為零，由相變動(dòng)力學(xué)方程式（2）可得，新相的Φ0值直接影響相變起始點(diǎn)。根據(jù)不同Φ0計(jì)算得到的結(jié)果如圖7所示，其他動(dòng)力學(xué)參數(shù)不變，得到的計(jì)算結(jié)果與理論預(yù)估趨勢吻合，但是整體波形基本不變。

圖6 τ對相變速度波形的影響Fig.6 Influence of τ on velocity waveform

圖7 Φ0對相變速度波形的影響Fig.7 Influence of Φ0 on velocity waveform

參數(shù)BRβ為β相的初始體模量，由體波聲速可知，隨著體模量的減小，聲速減小，自由面速度起跳點(diǎn)推遲，彈塑性轉(zhuǎn)變對應(yīng)的速度平臺被拉長。另外，在相同的比容和溫度下，隨著體模量的減小，壓力減小，相變起始壓力降低。不同BRβ值的速度波形見圖8，其他動(dòng)力學(xué)參數(shù)不變，計(jì)算得到的波形變化趨勢和理論分析相同。參數(shù)為β相的體模量對壓力的一階導(dǎo)數(shù)，它對體模量的影響雖然與壓力有關(guān)，但在低壓段表現(xiàn)不明顯，隨著壓力的增加，影響越來越顯著。圖9為根據(jù)不同數(shù)值計(jì)算得到的速度波形。由圖9可知，在100 m/s內(nèi)，相變速度幾乎沒有受到影響；隨著加載壓力的提高，增大，初始相速度斜率明顯提高，相變起始點(diǎn)對應(yīng)的特征速度明顯增加。

BRγ和分別為γ相的初始體模量和體模量對壓力的一階導(dǎo)數(shù)，與β相的參數(shù)相似，它們直接影響混合相和γ相對應(yīng)的速度波形。不同值的速度波形如圖10和圖11所示。隨著BRγ（或的增加，相變前速度波形不變，相變開始后對應(yīng)的速度斜率明顯提高，與理論值吻合。

圖8 BRβ對相變速度波形的影響Fig.8 Influence of BRβ on velocity waveform

圖9 對相變速度波形的影響Fig.9 Influence of on velocity waveform

圖10 BRγ對相變速度波形的影響Fig.10 Influence of BRγ on velocity waveform

圖11 對相變速度波形的影響Fig.11 Influence ofon velocity waveform

4 結(jié) 論

通過金屬錫的斜波壓縮實(shí)驗(yàn)，研究了錫的相變動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)合Hayes多相狀態(tài)方程和非平衡相變動(dòng)力學(xué)模型對錫的斜波壓縮實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行了模擬，得到以下結(jié)論。

（1）通過斜波壓縮實(shí)驗(yàn)得到了不同厚度的錫樣品后表面含有彈塑性轉(zhuǎn)變和相變信息的自由面速度剖面；錫的β-γ相變對應(yīng)的特征速度隨著樣品厚度的增加，從676.3 m/s到636.8 m/s略有減小，對應(yīng)的壓力從7.62 GPa降低到7.11 GPa。

（2）數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以較好地描述錫在加載階段的彈塑性轉(zhuǎn)變和相變等物理過程。討論了體模量在不同熱力學(xué)過程中的物理形式，計(jì)算結(jié)果顯示，斜波壓縮過程需要考慮壓力對體模量的修正。相變弛豫時(shí)間和結(jié)合能主要影響混合區(qū)部分速度波形，γ相的體模量參數(shù)只影響相變后的速度波形，而β相的體模量參數(shù)會影響整體速度波形。

感謝中國工程物理研究院流體物理研究所的吳剛、鄧順益、稅榮杰、胥超和馬驍在實(shí)驗(yàn)運(yùn)行、維護(hù)和測速方面提供的幫助！