田 野，蔡遠(yuǎn)利，鄧逸凡

（西安交通大學(xué) 電信學(xué)部 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710049）

滑?？刂疲⊿liding Mode Control）是一種非線性控制方法，它通過(guò)使用非連續(xù)的控制信號(hào)來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)量在指定的滑模面上運(yùn)動(dòng)。其系統(tǒng)響應(yīng)分為趨近模態(tài)[1]和滑動(dòng)模態(tài)，通過(guò)合理設(shè)計(jì)可以使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。與其他非線性控制方法相比，滑模控制方法因其形式簡(jiǎn)單、對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化的低敏感性以及對(duì)外部干擾的強(qiáng)魯棒性被廣泛研究并應(yīng)用于眾多非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題中，包括飛行器控制[2]、制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[3]、容錯(cuò)控制[4]和電力系統(tǒng)等。

傳統(tǒng)線性滑?？刂品椒ɑ诰€性超平面構(gòu)造滑模面，在滿(mǎn)足李雅普諾夫穩(wěn)定理論的條件下控制系統(tǒng)趨于平衡，但這種方式只能保證系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間快速收斂，基于有限時(shí)間穩(wěn)定概念提出了終端滑模控制（Terminal Sliding Mode Control）方法，在滑模面運(yùn)動(dòng)階段通過(guò)采用非線性超平面來(lái)實(shí)現(xiàn)快速有限時(shí)間收斂。然而，由于標(biāo)準(zhǔn)終端滑模中含有負(fù)指數(shù)冪次項(xiàng)，在某些系統(tǒng)狀態(tài)下會(huì)出現(xiàn)奇異問(wèn)題。Yang[5]構(gòu)建了非奇異快速終端滑模，使得系統(tǒng)狀態(tài)在全論域內(nèi)都為有限時(shí)間收斂。各終端滑模方法均為有限時(shí)間控制下的方法，并未給出收斂時(shí)間的明確估計(jì)。有限時(shí)間穩(wěn)定理論的關(guān)鍵問(wèn)題之一是對(duì)收斂時(shí)間的估計(jì)，它一般為系統(tǒng)初始條件的函數(shù)，不同的初始狀態(tài)值會(huì)得到不同的收斂時(shí)間。由于實(shí)際系統(tǒng)的初始條件可能難以預(yù)先精確獲得，從而在某些情況下收斂時(shí)間無(wú)法準(zhǔn)確估算，限制了其應(yīng)用。

在有限時(shí)間穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，Polyakov[6]進(jìn)一步提出了固定時(shí)間收斂的概念。與有限時(shí)間收斂相比，固定時(shí)間收斂理論可以在系統(tǒng)收斂時(shí)得到一個(gè)不依賴(lài)于系統(tǒng)初始條件的收斂時(shí)間上界。同時(shí)，研究了滑?？刂葡到y(tǒng)固定時(shí)間穩(wěn)定性分析的數(shù)學(xué)方法，提出了用于穩(wěn)定性分析和收斂時(shí)間估計(jì)的廣義Lyapunov 定理。Polyakov[7]討論了含有非線性不確定性的多輸入多輸出系統(tǒng)的有限時(shí)間和固定時(shí)間穩(wěn)定的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。Zuo[8]針對(duì)一類(lèi)二階非線性系統(tǒng)提出了一種固定時(shí)間收斂的終端滑?？刂品椒ǎ?yīng)用于多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制中[9]，但是該方法在系統(tǒng)狀態(tài)某些區(qū)域存在奇異性問(wèn)題。Li[10]基于文獻(xiàn)[7-9]設(shè)計(jì)了具有快速固定時(shí)間收斂特性的非奇異終端滑模。然而，Zuo[8]設(shè)計(jì)的固定時(shí)間系統(tǒng)及終端滑模收斂時(shí)間并不是最優(yōu)的，且所設(shè)計(jì)的滑模面結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，不利于實(shí)際應(yīng)用。Ni[11]提出了一種固定時(shí)間非奇異終端滑模方法，通過(guò)引入飽和函數(shù)來(lái)避免奇異問(wèn)題，但所設(shè)計(jì)的方法未考慮外部干擾對(duì)控制性能的影響。

基于以上討論，針對(duì)已有方法存在的不足，本文結(jié)合固定時(shí)間穩(wěn)定理論和終端滑模控制理論，設(shè)計(jì)了一種新型的固定時(shí)間非奇異終端滑模控制方法。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于:1)對(duì)一類(lèi)含匹配擾動(dòng)的二階非線性系統(tǒng)，基于固定時(shí)間穩(wěn)定理論提出了一種新型的固定時(shí)間收斂系統(tǒng)，其收斂速度快于已有文獻(xiàn)[6,8-11]中的固定時(shí)間收斂系統(tǒng)，收斂時(shí)間的對(duì)比驗(yàn)證了所提出結(jié)論的正確性。2)基于提出的固定時(shí)間收斂系統(tǒng)，構(gòu)造了一種新型的快速收斂固定時(shí)間非奇異終端滑模。所提出的方法避免了奇異現(xiàn)象，具有與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)收斂時(shí)間上界，可由設(shè)計(jì)參數(shù)預(yù)先設(shè)定。與已有的幾種典型固定時(shí)間滑?？刂品椒ㄏ啾?，所設(shè)計(jì)的方法收斂速度更快，削弱了之前固定時(shí)間滑模存在的抖振，所需控制能量更小且控制曲線平滑，適于實(shí)際應(yīng)用。最后將該方法應(yīng)用于單級(jí)倒立擺和制導(dǎo)系統(tǒng)中進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了所提出方法的有效性和優(yōu)越性。

1 問(wèn)題描述

考慮如下非線性系統(tǒng)：

其中x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量，F(xiàn)（t,x）:R+×D→Rn為連續(xù)非線性函數(shù)，D為包含原點(diǎn)的開(kāi)區(qū)域。系統(tǒng)(1)的解定義在Filippov 意義下，給定初始時(shí)間t0和初始狀態(tài)x0。

定義1[11]對(duì)于系統(tǒng)(1)，若1)原點(diǎn)為漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，且存在原點(diǎn)的開(kāi)鄰域N?D；2)對(duì)所有x（0） ∈N ｛ 0｝，存在正定函數(shù)T（x0）:N→R，則原點(diǎn)是有限時(shí)間收斂平衡點(diǎn)。同時(shí)，原點(diǎn)的有限時(shí)間穩(wěn)定意味著原點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。當(dāng)N=D=Rn時(shí)，原點(diǎn)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。

定義1 中的收斂時(shí)間T為系統(tǒng)初始狀態(tài)x0的函數(shù)，因此有限時(shí)間收斂依賴(lài)于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，Polyakov[6]提出了固定時(shí)間穩(wěn)定的概念，相對(duì)于有限時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)，固定時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)可以保證系統(tǒng)的收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始條件無(wú)關(guān)。

定義2[6]若系統(tǒng)(1)全局有限時(shí)間穩(wěn)定，且收斂時(shí)間函數(shù)T（x0）存在實(shí)數(shù)上界Tmax＞0，即對(duì)任意?x0∈Rn，有T（x0）≤Tmax，則原點(diǎn)為固定時(shí)間收斂平衡點(diǎn)。

考慮一類(lèi)具有匹配擾動(dòng)的二階非線性系統(tǒng)

式中x=[x1,x2]T∈R2為系統(tǒng)狀態(tài)，f和b≠ 0為已知非線性光滑函數(shù)，u∈R為控制輸入，d為外部擾動(dòng)。

假設(shè)1假設(shè)外部擾動(dòng)d有界，對(duì)于x∈R2及t≥0，存在常數(shù)D＞0，滿(mǎn)足

論文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)固定時(shí)間終端滑?？刂坡?，使系統(tǒng)狀態(tài)x跟蹤參考模態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的期望響應(yīng)。

2 固定時(shí)間非奇異終端滑?？刂?/h2>

2.1 新型固定時(shí)間收斂系統(tǒng)

引理1[7]考慮一類(lèi)非線性系統(tǒng)

控制系統(tǒng)收斂時(shí)間上界可通過(guò)選擇不同的參數(shù)l1、l2、m1、m2來(lái)確定而無(wú)需依賴(lài)系統(tǒng)初始狀態(tài)。

文獻(xiàn)[7-9]基于系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)了固定時(shí)間滑模面及控制律并取得了良好的控制效果，但是該系統(tǒng)的收斂速度仍可有改進(jìn)之處。基于以上討論，我們構(gòu)造了一種新型的固定時(shí)間收斂系統(tǒng)，其收斂時(shí)間小于系統(tǒng)(4)的收斂時(shí)間Tf。

定理1對(duì)于一類(lèi)非線性系統(tǒng)

證明：式(6)可寫(xiě)為

當(dāng)＞1時(shí)，令y=1+ln；當(dāng)≤1時(shí)，令y=。則式(8)可化為

因此，可通過(guò)求解式(9)得到系統(tǒng)的收斂時(shí)間上界。

即

注1與引理1 給出的收斂時(shí)間Tf相比，由于及因此系統(tǒng)(6)的收斂速率快于系統(tǒng)(4)的收斂速率。在實(shí)際二階非線性系統(tǒng)中，z和z˙可代表角度和角速度等被控參數(shù)。系統(tǒng)(6)中使用了變指數(shù)冪次項(xiàng) signk1z和 signk2z代替了(4)中的常值冪次項(xiàng)，＞1時(shí)，signk1z項(xiàng)轉(zhuǎn)換為signm1z形式，由于m1＞1，該項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)收斂速度影響較大，使系統(tǒng)狀態(tài)以較快速度趨向平衡點(diǎn)；≤1時(shí)，signk2z項(xiàng)轉(zhuǎn)換為 signm2z形式，由于 1/ 2＜m＜1，該

2項(xiàng)起主導(dǎo)作用，保證了此區(qū)域內(nèi)收斂的快速性。由上可知，相對(duì)于常值冪次項(xiàng)，變指數(shù)冪次項(xiàng)可在不同階段下進(jìn)行自適應(yīng)的調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)具有全局快速固定時(shí)間收斂特性。

2.2 固定時(shí)間非奇異終端滑模設(shè)計(jì)

針對(duì)非線性系統(tǒng)(3)，文獻(xiàn)[5]提出的傳統(tǒng)快速終端滑模如下:

其中α＞0，β＞0，γ1＞1，0＜γ2＜1。

由文獻(xiàn)[5]可知終端滑模(13)具有快速有限時(shí)間收斂特性。進(jìn)一步地，應(yīng)用引理1 可得該終端滑模具有固定收斂時(shí)間上界

其中

然而，通過(guò)對(duì)該滑模面及控制律分析可知，式(14)中含有負(fù)冪次項(xiàng)，當(dāng)x1=0，x2≠ 0時(shí)，會(huì)導(dǎo)致奇異現(xiàn)象。

為避免奇異并獲得較快的收斂速度，基于系統(tǒng)(13)的設(shè)計(jì)思想，結(jié)合設(shè)計(jì)的固定時(shí)間收斂系統(tǒng)(6)，構(gòu)造了一種新型的快速收斂固定時(shí)間非奇異終端滑模

其中，

對(duì)s求導(dǎo)可得

選擇滑模趨近律

其中

控制律設(shè)計(jì)為

經(jīng)分析可知，滑模面(16)及導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上連續(xù)。1)≥η時(shí)，滑模面轉(zhuǎn)化為與式(13)相似的結(jié)構(gòu)，具有類(lèi)似的收斂特性。系統(tǒng)狀態(tài)距平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，α1s ignk1x1起主導(dǎo)作用，保證了快速收斂；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近原點(diǎn)時(shí)，β1signk2x1起主導(dǎo)作用，系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定。系統(tǒng)在整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中保持了較快的收斂速度。2)在原點(diǎn)一個(gè)很小的鄰域＜η內(nèi)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式的一般滑?；Ｃ婕皩?dǎo)數(shù)(19)不含負(fù)指數(shù)冪次項(xiàng)，避免了奇異發(fā)生。

定理2對(duì)于非線性二階系統(tǒng)(3)，使用本文設(shè)計(jì)的固定時(shí)間非奇異終端滑模(16)，選擇控制律(21)，則系統(tǒng)狀態(tài)x1，x2可在固定時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)，收斂時(shí)間具有僅與設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)的上界

其中

證明，選取Lyapunov 函數(shù)為

對(duì)式(23)求導(dǎo)，同時(shí)結(jié)合(3)和(19)可得

≥1時(shí)，

＜1時(shí)，

該固定時(shí)間滑模面滿(mǎn)足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。結(jié)合定理1 可得，系統(tǒng)狀態(tài)可在固定時(shí)間t1內(nèi)到達(dá)滑模面s=0。

由上分析可知，系統(tǒng)狀態(tài)可由任意位置到達(dá)滑模面s=0。隨后沿著滑模面運(yùn)動(dòng)至平衡點(diǎn)的一個(gè)極小鄰域內(nèi)，理想的滑動(dòng)模態(tài)滿(mǎn)足如下方程

考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

當(dāng)≥η時(shí)，由式(17)可得滑模面為

對(duì)式(29)求導(dǎo)，結(jié)合(30)可得

系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間t2內(nèi)收斂

由式(31)及(32)可得，狀態(tài)變量x1在固定時(shí)間內(nèi)進(jìn)入?yún)^(qū)間＜η，并滿(mǎn)足

可得系統(tǒng)(3)的收斂時(shí)間為T(mén)＜Tmax=T1+T2。

當(dāng)＜η時(shí)，可得滑模面為

可得

類(lèi)似地，可得系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)間T內(nèi)收斂。

綜上，收斂時(shí)間為T(mén)＜Tmax=T1+T2。

注2系統(tǒng)收斂時(shí)間上界取決于所設(shè)計(jì)的滑模面參數(shù)α1、β1、m1、m2、α2、β2、n1、n2和η，而與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。在實(shí)際使用中，可根據(jù)對(duì)收斂快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度的權(quán)衡來(lái)合理選擇設(shè)計(jì)參數(shù)。

注3控制律(21)中符號(hào)函數(shù) sign（s）的存在可能會(huì)引起抖振，為削弱抖振現(xiàn)象，使用如下連續(xù)函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)。

λ取值越大越接近切換函數(shù)，通過(guò)選擇合適的λ，可以有效削弱抖振并減小穩(wěn)態(tài)誤差。

3 仿真及分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)固定時(shí)間非奇異終端滑模的可行性和優(yōu)越性，進(jìn)行如下三種仿真。

3.1 不同滑模參數(shù)的對(duì)比仿真

為分析不同參數(shù)選取對(duì)所設(shè)計(jì)固定時(shí)間滑模收斂特性的影響，我們?cè)谙嗤某跏紬l件x1（0）=1下分別選取四種不同的滑模參數(shù)進(jìn)行仿真，并進(jìn)行對(duì)比分析。

各參數(shù)分別為：

圖1給出了不同滑模參數(shù)下的收斂速度對(duì)比。從Case 1 和Case 2 的曲線可以看出，當(dāng)α1,β1增大時(shí)，收斂時(shí)間變短。比較Case 1 和Case 4 的結(jié)果可知，隨著m2增大，收斂速度變慢。從Case 1 和Case 3 的曲線可以看出，不同m1取值下的收斂曲線基本無(wú)變化，所設(shè)計(jì)的滑?？刂品椒▽?duì)m2變化的靈敏度遠(yuǎn)大于m1?？赏ㄟ^(guò)增大α1,β1和減小m2提高收斂速度。

從改變參數(shù)的仿真結(jié)果對(duì)比可以得知，式(21)中的各可調(diào)參數(shù)，其選擇應(yīng)該兼顧考慮收斂速度、誤差、狀態(tài)曲線平滑程度和能量消耗等因素，以達(dá)到較優(yōu)的控制效果。其中，α1和β1增大可以提高系統(tǒng)收斂速度，但是取值遠(yuǎn)大于1 時(shí)會(huì)導(dǎo)致跟蹤曲線的不平滑和誤差變大，使系統(tǒng)失穩(wěn)，控制性能下降；同時(shí)，更快的收斂速度要求更大的控制能量。設(shè)計(jì)的滑?？刂品椒▽?duì)m2變化的敏感度大于m1，取值應(yīng)滿(mǎn)足m1＞1，1/ 2＜m2＜1。m1可在靠近1 的范圍取值，取值過(guò)大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)；m2應(yīng)在取值范圍內(nèi)盡可能的小，滿(mǎn)足快速性的要求，但不能過(guò)分靠近取值下限，否則會(huì)使系統(tǒng)狀態(tài)曲線波動(dòng)過(guò)大。α2，β2，n1和n2為趨近階段滑模面參數(shù)，其取值原則類(lèi)似于上述。在控制律中引入ρ（λ,s）函數(shù)代替符號(hào)函數(shù) sign（s）用以削弱抖振，其中可調(diào)參數(shù)λ取值越大越接近切換函數(shù)，本例選擇λ=100得到較好的效果。η為切換函數(shù)參數(shù)，取一個(gè)極小的正數(shù)，本例選擇0.01。在滑模面設(shè)計(jì)中可綜合以上以得到較優(yōu)的控制效果。

圖1 不同滑模參數(shù)下的收斂速度對(duì)比Fig.1 Convergence rate under different sliding surface parameters

3.2 不同固定時(shí)間滑模方法的對(duì)比仿真

倒立擺(SIP)是一種非線性、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，可通過(guò)倒立擺仿真，分析控制理論中系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、魯棒性、隨動(dòng)跟蹤等關(guān)鍵問(wèn)題。因此，基于倒立擺系統(tǒng)對(duì)幾種典型的固定時(shí)間滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行對(duì)比，以檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性。動(dòng)態(tài)模型如下

基于設(shè)計(jì)的快速固定時(shí)間非奇異終端滑模，我們構(gòu)造了固定時(shí)間控制律來(lái)解決SIP 的跟蹤控制問(wèn)題。定義跟蹤誤差e1=x1-x1d，e2=x2-，可得

相應(yīng)的快速固定時(shí)間非奇異終端滑模面為

SIP 固定時(shí)間控制律為

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制律的魯棒性，選擇有界外部擾動(dòng)d（x1,x2）=sin（10x1）+cos（x2）。SIP 期望軌跡為x1d（t）=sin（0.5πt），初始狀態(tài)x1（0）=1，x2（0）=0.5。

使用3 種典型的固定時(shí)間滑?？刂坡蛇M(jìn)行仿真對(duì)比，分別為1) Polyakov[6]，2) Zuo[8]，3) Ni[11]。

Polyakov[8]設(shè)計(jì)的固定時(shí)間滑?？刂坡蔀?/p>

使用的滑模面為

對(duì)于式(41)(42)，原文獻(xiàn)中已合理地選擇參數(shù)以達(dá)到良好的控制效果；為保證比較的公平性，在對(duì)比中直接使用原文的參數(shù)值，其收斂時(shí)間上界為8s。

Zuo[11]設(shè)計(jì)的固定時(shí)間滑?？刂坡蔀?/p>

使用的滑模面為

類(lèi)似地，滑模參數(shù)使用原文獻(xiàn)中的仿真參數(shù)，其收斂時(shí)間上界為6.142 s。

Ni[11]設(shè)計(jì)的固定時(shí)間滑?？刂坡蔀?/p>

使用的滑模面為

同理，滑模參數(shù)使用原文獻(xiàn)中的仿真參數(shù)，其收斂時(shí)間上界為5.63 s。

所設(shè)計(jì)的滑模面(39)及控制律(40)的參數(shù)選擇為α1=β1=1，α2=β2=1，m1=9/ 5，m 2=5/ 9，n1=9 /5，n2=5 /9，η=0.01及λ=100。計(jì)算得其收斂時(shí)間上界為4.881 s。

圖2給出了4 種固定時(shí)間滑?？刂坡傻母櫿`差收斂時(shí)間對(duì)比，從圖2可以看出，各控制律在給定的時(shí)變擾動(dòng)下均能保證良好的控制性能。同時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制律(40)下的收斂時(shí)間最短，約1.49 s，控制律(40)下的瞬態(tài)響應(yīng)也是最快的。因此，所設(shè)計(jì)的控制律較其余三種具有更優(yōu)的響應(yīng)速度和收斂速度。圖3為不同控制律下的相平面軌跡，可以看出本文所設(shè)計(jì)方法的控制效果最佳。圖4給出了控制輸入曲線。本文所提出方法下的控制輸入曲線光滑無(wú)抖振，且控制的最大振幅明顯小于其余方法，證明了其控制效果較其他三種更優(yōu)。

圖2 不同固定時(shí)間控制律下跟蹤誤差收斂時(shí)間對(duì)比Fig.2 Tracking error of each fixed-time controller

圖3 不同固定時(shí)間控制律下的相平面曲線Fig.3 Phase portraits of each fixed-time controller

圖4 不同固定時(shí)間控制律下的控制輸入Fig.4 Control inputs of each fixed-time controller

為了更有效地比較不同控制輸入的控制效果和能量消耗，我們使用以下方法進(jìn)行評(píng)估：控制的性能可以通過(guò)輸入u（t）的總變化量(total variation/TV)進(jìn)行評(píng)估[13]，它可以體現(xiàn)控制輸入信號(hào)的平滑度，其表達(dá)式如下

此外，控制能耗可以通過(guò)所需控制輸入信號(hào)的2 范數(shù)(2-norm)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于所設(shè)計(jì)的固定時(shí)間控制方法，為了獲得理想的控制性能，控制能量應(yīng)盡可能小。

表1中列出了控制效果的對(duì)比，可以看出本文設(shè)計(jì)的控制律平滑度較好，具有相對(duì)較小的輸入變化波動(dòng)，并以最小的控制能量實(shí)現(xiàn)了較優(yōu)的控制性能。

從以上仿真結(jié)果和分析可以看出，所設(shè)計(jì)控制器可對(duì)含有匹配時(shí)變擾動(dòng)的二階非線性系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制。與現(xiàn)有的典型固定時(shí)間滑?？刂品椒ㄏ啾?，具有更快的收斂速度和更佳的穩(wěn)態(tài)品質(zhì)，以較小的控制能量實(shí)現(xiàn)了良好的控制性能，并避免了奇異問(wèn)題。所設(shè)計(jì)的控制律是連續(xù)的，沒(méi)有抖振現(xiàn)象，保證了快速收斂和相對(duì)較高的精度。

表1 控制效果對(duì)比Tab.1 Input performance comparison for the four controllers

3.3 固定時(shí)間收斂制導(dǎo)仿真

末制導(dǎo)階段是導(dǎo)彈制導(dǎo)過(guò)程的重要部分，為了達(dá)到理想的毀傷效果，要求導(dǎo)彈能夠在期望時(shí)間內(nèi)以設(shè)定的碰撞角度擊中目標(biāo)。

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)固定時(shí)間非奇異終端滑模面的有效性，針對(duì)導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題，設(shè)計(jì)三維固定時(shí)間末制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律能夠確保彈目視線角及角速率在固定時(shí)間內(nèi)收斂，滿(mǎn)足碰撞角約束的要求。與傳統(tǒng)的有限時(shí)間收斂滑模制導(dǎo)律相比，該制導(dǎo)律收斂時(shí)間獨(dú)立于制導(dǎo)初始條件，可以根據(jù)制導(dǎo)要求預(yù)先給定。

三維空間攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系見(jiàn)圖5。

圖5 導(dǎo)彈-目標(biāo)三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系Fig.5 3D interceptor-target geometry

其中vm，vt和r分別表示攔截彈和目標(biāo)的速度及彈目相對(duì)距離，飛行器速度方向由視線坐標(biāo)系下的彈道傾角θm,θt與彈道偏角φm,φt定義。θL和φL為俯仰視線角和偏航視線角，aym，azm，ayt，azt分別為攔截彈和目標(biāo)彈的側(cè)向加速度。

使用視線角(line of sight LOS)的二階動(dòng)態(tài)方程來(lái)描述導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，其形式為

式中

基于式(16)設(shè)計(jì)固定時(shí)間終端滑模面

固定時(shí)間制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為：

其中=δQs為自適應(yīng)律，（0）＞0，（0）＞0，常值系數(shù)δ＞1，，Q=diag （sign （s1）,sign （s2））。

仿真初始條件如表2所示。選擇導(dǎo)彈初始偏航視線角φm（0）=5°，使用不同的導(dǎo)彈初始俯仰視線角θm（0）進(jìn)行仿真對(duì)比，分別為5 °，15 °和30 °。導(dǎo)彈的過(guò)載上限為aym_max=azm_max=40g。假設(shè)初始時(shí)刻起目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在從t=4s開(kāi)始持續(xù)地轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)，側(cè)向機(jī)動(dòng)加速度為ayt=azt=30m/s2。

制導(dǎo)律(55)中的參數(shù)選擇為:m1=n1=9/7，m2=n2=7/9，α1=β1=0.8，α2=200，β2=800，η=0.01，δ1=δ2=100。由設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算得收斂時(shí)間上界為T(mén)=7.553s。

表2 仿真初始條件Tab.2 Initial parameters for the simulation

圖6(a)-(c)給出在不同初始條件下攔截仿真參數(shù)曲線圖。從圖6(a)可以看出，導(dǎo)彈在不同的初始俯仰視線角下均成功攔截了目標(biāo)。圖6(b)(c)表明雖然仿真初始角度不同，但各視線角及視線角速率均在所設(shè)定的時(shí)間上界內(nèi)收斂至零。圖6(d)表明滑模面在不同的初始俯仰視線角下都能夠在固定時(shí)間上界內(nèi)快速收斂到0。圖中所示的各曲線較平滑，收斂速度快，具有較好的控制性能，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)固定時(shí)間非奇異終端滑模面的正確性及有效性。

圖6 不同初始俯仰視線角下的攔截仿真Fig.6 Interception with different initial elevation angles under

4 結(jié) 論

針對(duì)一類(lèi)具有匹配不確定性的二階非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種新型快速收斂的固定時(shí)間非奇異終端滑模方法。首先，提出了一類(lèi)新型固定時(shí)間收斂系統(tǒng)，基于該系統(tǒng)構(gòu)造了快速固定時(shí)間非奇異終端滑模，并給出了收斂時(shí)間上界。與傳統(tǒng)有限時(shí)間收斂終端滑模不同，本文所設(shè)計(jì)的終端滑模收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，可以通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行預(yù)先估算。將所設(shè)計(jì)方法用于兩個(gè)典型的非線性控制問(wèn)題，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性。本文建立的固定時(shí)間滑?？刂品椒ㄊ諗克俣容^快，能量消耗低，且無(wú)抖振現(xiàn)象，具有良好的控制品質(zhì)，方便了實(shí)際應(yīng)用。將結(jié)果擴(kuò)展到高階非線性系統(tǒng)，是下一步值得研究的工作。