張氫，陳文韜，陳淼，王玉琢，鄭大騰

（1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海201804；2.江西杰克機(jī)床有限公司，江西 吉安343008；3.井岡山大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 吉安343009）

凸輪軸是內(nèi)燃發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)鍵零件之一，它的加工精度和質(zhì)量直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)的使用壽命、節(jié)能和效率.汽車(chē)、飛機(jī)行業(yè)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)性能需求的不斷提升，對(duì)凸輪軸的高精度磨削提出了更高的要求[1].在磨削加工過(guò)程中，顫振現(xiàn)象導(dǎo)致的不穩(wěn)定磨削將影響工件表面質(zhì)量，特別是磨削波紋表面而引起的再生型顫振是產(chǎn)生顫振的主要原因[2].相對(duì)車(chē)削和銑削等單主軸運(yùn)動(dòng)加工方式，磨削加工中包含了工件和砂輪繞各自主軸的旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)方式更加復(fù)雜.

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)磨床的再生顫振進(jìn)行了大量的研究.Li等[3]通過(guò)特定工藝條件的改變，確定了外圓磨削系統(tǒng)的顫振邊界條件.鐘建琳等[4]通過(guò)模態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)獲得外圓磨削的動(dòng)力學(xué)參數(shù)并以此繪制了磨削的穩(wěn)定性極限圖.Chi等[5]針對(duì)外圓切入磨建立了基于接觸剛度與系統(tǒng)固有頻率關(guān)系的動(dòng)力學(xué)模型.Leonesio等[6]提出了一種通過(guò)沖擊實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)響應(yīng)獲得磨削過(guò)程的等效剛度和阻尼的頻域識(shí)別方法.Weck等[7]建立了外圓磨削再生顫振模型，并對(duì)磨削穩(wěn)定性機(jī)理進(jìn)行了研究.Paris等[8]考慮系統(tǒng)剛度與阻尼對(duì)穩(wěn)定性的影響，建立了高速銑床的穩(wěn)定性動(dòng)力學(xué)模型.蔣永翔等[9-10]同時(shí)考慮工件和砂輪的再生效應(yīng)，建立外圓縱磨以及外圓切入磨的工件、砂輪再生顫振動(dòng)力學(xué)模型.Jiang等[11]利用穩(wěn)定性葉瓣圖法進(jìn)行了穩(wěn)定性預(yù)測(cè)研究.Yan等[12]提出了一個(gè)同時(shí)考慮工件橫向運(yùn)動(dòng)和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的外圓切入磨動(dòng)力學(xué)模型，并利用該模型繪制穩(wěn)定性圖.任成高等[13]通過(guò)變速磨削顫振實(shí)驗(yàn)，證明變速磨削能在一定程度上抑制高速磨削顫振.Barrenetxea等[14]、Ahrens等[15]通過(guò)理論穩(wěn)定圖和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相結(jié)合，驗(yàn)證了新型無(wú)心磨削和切入磨顫振抑制技術(shù)的有效性.

上述研究主要是針對(duì)外圓磨削，對(duì)以凸輪軸磨床為代表的非圓磨削的顫振研究相對(duì)較少.本文以某型高精度隨動(dòng)數(shù)控凸輪軸磨床為研究對(duì)象，同時(shí)考慮工件和砂輪的再生效應(yīng)建立動(dòng)力學(xué)模型并繪制磨削穩(wěn)定性極限圖；在顫振實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用頻域和時(shí)頻域方法分析磨床的振動(dòng)特性，并驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性.

1 凸輪軸磨床再生型顫振動(dòng)力學(xué)建模

本文研究的是某公司自主研發(fā)的高精度隨動(dòng)數(shù)控凸輪軸磨床，是一種切入磨磨床，通過(guò)數(shù)控系統(tǒng)的控制，使磨床砂輪架進(jìn)給運(yùn)動(dòng)與頭架主軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)跟隨聯(lián)動(dòng).在實(shí)際加工過(guò)程中，磨床系統(tǒng)往往會(huì)受到大量來(lái)自外界的干擾，這些外界激勵(lì)將引起砂輪和凸輪軸在砂輪進(jìn)給方向上的相對(duì)振動(dòng)，并留下振紋.由于振紋的存在，在凸輪軸高速磨削的過(guò)程中磨削深度和磨削力呈周期性變化，產(chǎn)生的新振源會(huì)引起磨床系統(tǒng)振動(dòng)，即再生效應(yīng)，由此引發(fā)工件與刀具之間強(qiáng)烈的再生型自激顫振.

隨動(dòng)數(shù)控凸輪軸磨床類(lèi)似于外圓切入磨磨床，在其磨削加工過(guò)程中凸輪軸與砂輪將分別繞各自主軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)砂輪架以一定線速度做切向進(jìn)給運(yùn)動(dòng).與外圓磨床不同的是，砂輪架除了磨削進(jìn)給外，根據(jù)凸輪軸轉(zhuǎn)速和凸輪軸外形作周期性隨動(dòng)運(yùn)動(dòng).該運(yùn)動(dòng)一方面成為磨床的內(nèi)部振源影響磨床的加工性能，另一方面在磨削過(guò)程中和凸輪軸主軸轉(zhuǎn)動(dòng)耦合，對(duì)凸輪軸輪廓精度及恒線速度磨削提出了更高的要求.為了減小隨動(dòng)運(yùn)動(dòng)對(duì)磨削的影響，凸輪軸磨床的工件轉(zhuǎn)速通常較小，遠(yuǎn)小于外圓磨床的工件轉(zhuǎn)速.本文研究的數(shù)控凸輪軸磨床振動(dòng)系統(tǒng)可分解為砂輪和凸輪軸兩個(gè)系統(tǒng).首先研究砂輪系統(tǒng)，在磨削深度方向上可將砂輪視為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，如圖1所示.

圖1 砂輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型Fig.1 Dynamic model of grinding wheel system

圖1所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：m為砂輪的等效質(zhì)量；c為砂輪的等效阻尼；k為砂輪的等效剛度；X（t）為t時(shí)刻砂輪的振幅；F（t）為t時(shí)刻的動(dòng)態(tài)磨削力.

在t-T時(shí)刻，砂輪振幅為X（t-T）并在凸輪軸表面產(chǎn)生振紋，砂輪旋轉(zhuǎn)一周后砂輪在凸輪軸表面振紋的干擾下振動(dòng)，振幅為X（t），同時(shí)在凸輪軸上產(chǎn)生新的振紋，則t時(shí)刻凸輪軸表面的動(dòng)態(tài)振紋為：

式中：a0為凸輪軸表面初始振紋；T為砂輪旋轉(zhuǎn)周期.

動(dòng)態(tài)磨削力可以用材料去除率表示為：

式中：ks為砂輪磨削力系數(shù)；h為砂輪磨削深度；b為磨削接觸寬度.對(duì)式（2）和式（3）進(jìn)行拉氏變換，可得

對(duì)式（1）進(jìn)行拉氏變換并代入式（4）和式（5）可得：

式中：W（s）為砂輪系統(tǒng)傳遞函數(shù).可表示為：

式中：ωn為砂輪固有角頻率；ξ為砂輪阻尼比；s為拉氏算子；W（s）為砂輪傳遞函數(shù).

對(duì)式（6）進(jìn)行變換，以初始振紋a0（s）作為系統(tǒng)輸入，以砂輪振幅X（s）作為系統(tǒng)輸出，則砂輪系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

2 穩(wěn)定極限條件分析

對(duì)于式（8）所表征的閉環(huán)系統(tǒng)，特征方程為：

將特征根s表示為s=σ+jω的形式，并且由控制原理可知，當(dāng)σ＞0時(shí)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，磨削顫振將不斷增強(qiáng)；當(dāng)σ=0時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)σ＜0時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，無(wú)磨削顫振產(chǎn)生.

當(dāng)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，s=jω，式（9）變形為：

此時(shí)式中h為穩(wěn)定磨削時(shí)的臨界磨削深度.

將s=jω和λ=ω/ωn代入式（7）并將結(jié)果分解為實(shí)部和虛部的形式：

將式（11）和歐拉公式e-jωT=cosωT-jsinωT代入式（10）可得：

式（12）實(shí)部和虛部都為零，因此

由式（13）和式（14）可得：

由式（14）可得傳遞函數(shù)的相位角φ，并由三角恒等變換可得：

由式（16）和式（18）可以得到穩(wěn)定磨削時(shí)砂輪的臨界磨削深度和轉(zhuǎn)速，同理通過(guò)分析凸輪軸系統(tǒng)可得到穩(wěn)定磨削時(shí)凸輪軸的臨界磨削深度和轉(zhuǎn)速：

式中參數(shù)與計(jì)算砂輪體系中的相應(yīng)符號(hào)的含義類(lèi)似.

磨削過(guò)程中雖然磨削深度一直在動(dòng)態(tài)變化，但從整個(gè)磨削過(guò)程考慮，由式（3）可知，砂輪磨削深度和凸輪軸磨削深度之比應(yīng)等于凸輪軸磨削力系數(shù)與砂輪磨削力系數(shù)之比.且凸輪軸體系和砂輪體系中將有一個(gè)系統(tǒng)先達(dá)到不穩(wěn)定狀態(tài)，因此臨界磨削深度為：

3 繪制穩(wěn)定性極限圖

通過(guò)求解特定加工參數(shù)下的臨界磨削深度可以對(duì)磨削過(guò)程的穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測(cè)，求解過(guò)程中所需要的動(dòng)力學(xué)參數(shù)可通過(guò)對(duì)磨床進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)和磨削力測(cè)試實(shí)驗(yàn)獲得，如表1所示.

表1 求解磨削穩(wěn)定極限所需參數(shù)Tab.1 Parameters needed to solve grinding stability limit

根據(jù)表1中的動(dòng)力學(xué)參數(shù)繪制該磨削系統(tǒng)的穩(wěn)定性極限圖，如圖2所示.曲面下方為穩(wěn)定性區(qū)域，曲面上方為不穩(wěn)定性區(qū)域，利用此穩(wěn)定性極限圖可預(yù)測(cè)磨床是否發(fā)生顫振.

圖2 磨床穩(wěn)定性極限圖Fig.2 Stability limit diagram of grinding machine

與外圓磨床不同，凸輪軸磨床的工件轉(zhuǎn)速相對(duì)較小，由圖2可知，在凸輪軸磨床的工件轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，改變工件轉(zhuǎn)速不影響磨床的再生顫振.

4 顫振實(shí)驗(yàn)

本文對(duì)某新型高精度隨動(dòng)數(shù)控凸輪軸磨床進(jìn)行顫振實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證所建立的磨削動(dòng)力學(xué)模型.

4.1 測(cè)點(diǎn)布置

根據(jù)高精度隨動(dòng)數(shù)控凸輪軸磨床整機(jī)結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)關(guān)系以及模態(tài)預(yù)測(cè)試中確認(rèn)的產(chǎn)生較大振動(dòng)的部件和振動(dòng)方向，在磨床響應(yīng)部位上共布置12個(gè)測(cè)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)布置如圖3所示.在每個(gè)測(cè)點(diǎn)上安裝一個(gè)DH131E加速度傳感器，用此傳感器測(cè)量測(cè)點(diǎn)所處平面法線方向上的振動(dòng)加速度.

4.2 實(shí)驗(yàn)方案

磨削加工中有3個(gè)重要加工參數(shù)：砂輪轉(zhuǎn)速、工件轉(zhuǎn)速和磨削深度.其中磨削深度越大，磨床的振動(dòng)越大，為觀察到明顯的振動(dòng)現(xiàn)象，取磨削深度為0.05 mm.根據(jù)實(shí)際加工過(guò)程中典型的轉(zhuǎn)速組合和磨床的推薦轉(zhuǎn)速范圍對(duì)砂輪轉(zhuǎn)速和工件轉(zhuǎn)速兩個(gè)因素均勻選取4個(gè)水平，實(shí)驗(yàn)中將各因素全部水平互相組合.實(shí)驗(yàn)方案如表2所示.

圖3 測(cè)點(diǎn)布置Fig.3 Layout of sensors

表2 實(shí)驗(yàn)方案Tab.2 Experimental scheme

4.3 頻域與時(shí)頻域分析

對(duì)磨削加工區(qū)域中的測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換可獲得整個(gè)磨削過(guò)程中出現(xiàn)的頻率成分，對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行小波變換可獲得小波時(shí)頻圖，可與頻譜圖相互驗(yàn)證并觀察各頻率在時(shí)間軸上的分布情況.

根據(jù)測(cè)點(diǎn)與砂輪的相對(duì)位置將所有測(cè)點(diǎn)分為近、中、遠(yuǎn)3類(lèi)，首先取最靠近砂輪的a～d號(hào)測(cè)點(diǎn)作為研究對(duì)象進(jìn)行分析.當(dāng)磨削深度為0.05 mm時(shí)，分別采用1號(hào)和4號(hào)實(shí)驗(yàn)，測(cè)得a號(hào)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻域與時(shí)頻域分析.結(jié)果分別如圖4和圖5所示.

圖4 采用1號(hào)實(shí)驗(yàn)時(shí)a號(hào)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程圖、頻譜圖和時(shí)頻圖Fig.4 Time history，frequency and time-frequency responses of point a in testing 1

圖5 采用4號(hào)實(shí)驗(yàn)時(shí)a號(hào)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程圖、頻譜圖和時(shí)頻圖Fig.5 Time history，frequency and time-frequency responses of point a in testing 4

由于時(shí)頻圖的頻率成分比較多，選取圖中振幅較大的150～500 Hz頻率區(qū)間研究其時(shí)頻域特點(diǎn)，分別如圖4（d）和圖5（d）所示.圖4中的頻率組成主要是砂輪旋轉(zhuǎn)頻率（42 Hz）的倍頻，圖5中的頻率組成主要是砂輪旋轉(zhuǎn)頻率（66 Hz）的倍頻.用同樣的方法分析a～d號(hào)測(cè)點(diǎn)的其他數(shù)據(jù)也可以觀察到類(lèi)似的現(xiàn)象：頻譜圖中主要的頻率組成是砂輪的旋轉(zhuǎn)頻率的倍頻，這一現(xiàn)象表明在磨削過(guò)程中，砂輪的旋轉(zhuǎn)成為磨床系統(tǒng)的內(nèi)振源引起整機(jī)受迫振動(dòng).由于a～d號(hào)測(cè)點(diǎn)離砂輪較近，其受迫振動(dòng)較為劇烈，掩蓋了其他頻率.觀察時(shí)頻圖可以發(fā)現(xiàn)，在磨削過(guò)程初期，出現(xiàn)較多砂輪旋轉(zhuǎn)頻率倍頻的振動(dòng)，由此推測(cè)砂輪與凸輪軸剛接觸時(shí)兩者的相互作用加劇了砂輪振動(dòng)，使得砂輪產(chǎn)生的受迫振動(dòng)更加劇烈；在磨削過(guò)程中期和后期，部分頻率的振幅明顯減小，表明隨著磨削過(guò)程的進(jìn)行，磨削量減小，這種相互作用也減小，砂輪振動(dòng)相對(duì)平穩(wěn).

然后取距離砂輪位置適中的e～i號(hào)測(cè)點(diǎn)作為研究對(duì)象進(jìn)行分析，當(dāng)磨削深度為0.05 mm時(shí)，分別采用1號(hào)和4號(hào)實(shí)驗(yàn)，測(cè)得e號(hào)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻域與時(shí)頻域分析.結(jié)果分別如圖6和圖7所示.

圖6 采用1號(hào)實(shí)驗(yàn)時(shí)e號(hào)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程圖、頻譜圖和時(shí)頻圖Fig.6 Time history，frequency and time-frequency responses of point e in testing 1

圖7 采用4號(hào)實(shí)驗(yàn)時(shí)e號(hào)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程圖、頻譜圖和時(shí)頻圖Fig.7 Time history，frequency and time-frequency responses of point e in testing 4

圖6中最主要的頻率組成分別為941 Hz和1 058 Hz，其他頻率的振幅較小.圖7中最主要的頻率組成是1 362 Hz和1 696 Hz，其他頻率的振幅較小.再分析e～i號(hào)測(cè)點(diǎn)的其他數(shù)據(jù)也可以觀察到類(lèi)似的現(xiàn)象：頻譜圖中有2個(gè)振幅較大的高頻，而其他頻率的振幅較小，并且在砂輪轉(zhuǎn)速相同的實(shí)驗(yàn)組中該高頻頻率相同.這一現(xiàn)象表明，由于e～i號(hào)測(cè)點(diǎn)與砂輪間的距離相對(duì)a～d號(hào)測(cè)點(diǎn)較遠(yuǎn)，故此時(shí)受迫振動(dòng)衰減較明顯，在頻譜圖中觀察到的高頻為磨床自激振動(dòng)的頻率，即顫振頻率.在磨削過(guò)程的初期和末期出現(xiàn)較多高頻振動(dòng)，表明砂輪開(kāi)始接觸凸輪軸及砂輪開(kāi)始脫離凸輪軸時(shí)，由于磨削面積的改變會(huì)引起顫振系統(tǒng)變化，加劇了顫振產(chǎn)生.

最后取距離砂輪位置較遠(yuǎn)的j～m號(hào)測(cè)點(diǎn)作為研究對(duì)象進(jìn)行分析.當(dāng)磨削深度為0.05 mm時(shí)，分別采用1號(hào)和4號(hào)實(shí)驗(yàn)，測(cè)得m號(hào)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻域與時(shí)頻域分析.結(jié)果分別如圖8和圖9所示.

圖8 采用1號(hào)實(shí)驗(yàn)時(shí)m號(hào)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程圖、頻譜圖和時(shí)頻圖Fig.8 Time history，frequency and time-frequency responses of point m in testing 1

圖9 采用4號(hào)實(shí)驗(yàn)時(shí)m號(hào)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程圖、頻譜圖和時(shí)頻圖Fig.9 Time history，frequency and time-frequency responses of point m in testing 4

圖8中最主要的頻率組成是122 Hz，其他頻率的幅值較小，而此時(shí)砂輪的旋轉(zhuǎn)頻率約為42 Hz；圖9中最主要的頻率組成是196 Hz，其他頻率的幅值較小，而此時(shí)砂輪的旋轉(zhuǎn)頻率約為66 Hz.再分析j～m號(hào)測(cè)點(diǎn)的其他數(shù)據(jù)也可以觀察到類(lèi)似的現(xiàn)象：在整個(gè)磨削過(guò)程中，始終出現(xiàn)較多較為平穩(wěn)的低頻振動(dòng)；在砂輪轉(zhuǎn)速相同的實(shí)驗(yàn)組中最主要的頻率組成相同，且接近于砂輪的旋轉(zhuǎn)頻率的倍頻和磨床的固有頻率133 Hz.結(jié)果表明，j～m號(hào)測(cè)點(diǎn)距離大砂輪較遠(yuǎn)且整機(jī)剛度較大，受迫振動(dòng)和自激振動(dòng)都已經(jīng)衰減，僅能檢測(cè)到部分頻率接近系統(tǒng)固有頻率的受迫振動(dòng).

4.4 顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)驗(yàn)證

磨床的振動(dòng)主要包括電機(jī)驅(qū)動(dòng)主軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的受迫振動(dòng)和工件與砂輪相互作用產(chǎn)生的再生顫振.本文主要研究再生顫振，為了減少受迫振動(dòng)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)的影響，取測(cè)試方向?yàn)槟ハ魃疃确较蚯揖嚯x適中的e號(hào)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，測(cè)試得到加速度幅值的峰值如表3所示.

當(dāng)工件轉(zhuǎn)速不同而砂輪轉(zhuǎn)速相同時(shí)，測(cè)試得到的數(shù)據(jù)基本接近，符合繪制的穩(wěn)定性極限圖，數(shù)據(jù)間的差異可能是由實(shí)驗(yàn)誤差和受迫振動(dòng)的影響產(chǎn)生的.將實(shí)驗(yàn)的加工參數(shù)繪制到圖2中，位于曲面下方的為穩(wěn)定區(qū)，位于曲面上方的為不穩(wěn)定區(qū).可以發(fā)現(xiàn)處于穩(wěn)定區(qū)的實(shí)驗(yàn)測(cè)得的加速度幅值的峰值較小，除了個(gè)別數(shù)據(jù)外都小于4 m/s2；處在不穩(wěn)定區(qū)的實(shí)驗(yàn)測(cè)得的加速度幅值的峰值較大，全部大于4 m/s2.由此可以驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性，并可利用穩(wěn)定性極限圖對(duì)該磨床的顫振穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測(cè).

表3 測(cè)點(diǎn)加速度幅值的峰值和穩(wěn)定性區(qū)域Tab.3 Acceleration amplitude and stability region of sensors

5 結(jié)論

本文對(duì)某隨動(dòng)凸輪軸磨床進(jìn)行顫振實(shí)驗(yàn)，研究其顫振穩(wěn)定性，得到如下結(jié)論：

1）針對(duì)再生型顫振對(duì)某隨動(dòng)凸輪軸磨床建立了磨削動(dòng)力學(xué)模型，繪制了此磨床系統(tǒng)的穩(wěn)定性極限圖.

2）通過(guò)顫振實(shí)驗(yàn)，利用頻域與時(shí)頻域分析方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，總結(jié)了磨床距離砂輪遠(yuǎn)、中、近不同位置上的振動(dòng)特點(diǎn)及振動(dòng)原因，為磨床的消振與減振設(shè)計(jì)提供依據(jù).

3）將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與穩(wěn)定性極限圖的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，驗(yàn)證了磨削動(dòng)力學(xué)模型和穩(wěn)定性極限圖的正確性，在磨床的實(shí)際加工過(guò)程中，可利用穩(wěn)定性極限圖進(jìn)行磨削參數(shù)的優(yōu)選，減少顫振產(chǎn)生.