賀勇久

[摘? 要] “問題—探究”教學不可缺少教師的精心設計，還要結合教學內容以及教學需求，提出難度適宜以及具有可行性的問題，而學生則需要在問題的引領下，進行資料查詢或者實踐操作以自主尋求答案. 落實于具體的活動中，教師在其中是活動組織者的身份，這樣才能落實學生在學習過程中的主體地位，才能實現對思維的有力拓展.

[關鍵詞] 高中數學;問題;探究;應用

在高中數學教學中，開展“問題—探究”式教學是十分重要的，“問題—探究”教學的關鍵是先由教師創(chuàng)設真實的問題情境，然后由師生共同進行實驗探究，并在這一過程找到問題的答案. “問題—探究”教學不可缺少教師的精心設計，還要結合教學內容以及教學需求，提出難度適宜以及具有可行性的問題，而學生則需要在問題的引領下，進行資料查詢或者實踐操作以自主尋求答案. 落實于具體的活動中，教師在其中是活動組織者的身份，這樣才能落實學生在學習過程中的主體地位，才能實現對思維的有力拓展. 探究式教學不僅有助于保障課堂教學質量，也是極其有力的學習工具. 在教學幾何知識的過程中，引入探究式教學法，能夠對學生形成較高層面的思維激活，能夠使其靈活地理解定理，深刻地記憶定理.

《平面和平面的位置關系》是高中數學中的重要內容，學生經歷了之前的學習，已經掌握了一定的知識，具備解題基礎，所以，可以引入學生比較熟悉的生活場景讓學生感知. 一方面是為了組織學生展開探討，另一方面也能夠自然地引出兩平面之間的位置關系，為接下來的深入探究打下良好的根基，同時樹立了豐富的感性認知. 在學習本課之前，學生已經學習了和棱臺相關的知識，針對兩個平面相互平行這一知識點，學生已經具備了一定的理解和認知基礎，所以，可以再次帶領學生回顧棱柱、棱臺以及圓柱等概念，然后逐步推導，揭示判定定理. 在這一堂課的教學中，開展“問題—探究”式教學，首先需要引導學生準確區(qū)分異面和平行，然后引出相關的性質定理，并在此基礎上引導學生圍繞問題進行探究，在探究的過程中對相關的性質定理進行證明.

■創(chuàng)設生活情境，引入教學內容

《數學課程標準》特別強調數學與生活的聯系，創(chuàng)設生活化情境引入教學內容，能夠讓學生充分感知數學學習內容的“鮮活”. 在這一堂課的教學中，筆者給學生創(chuàng)設了以下生活情境.

師：通過前面幾堂課的學習，你們已經掌握了直線之間、直線和平面之間的位置關系，也了解了各關系的判定及其性質，那么，大家認為構成空間圖形的基本元素還存在哪種關系，是我們之前沒有研究到的？

學生陷入思考.

師：接下來，需要大家關注的是這一環(huán)節(jié)的重點：探究兩個平面之間的位置關系.

（生思考）

師：實際上，這一知識點在我們的生活中無處不在，如，宿舍中的雙層床，可以將上下鋪的整個床板面建設為兩個平面，爬梯所在的面也可以抽象為一個平面（如圖1所示）.

問題1：兩個床板所在的平面存在怎樣的位置關系？其中存在多少個公共點？

問題2：床板面與爬梯面之間是怎樣的位置關系？其中存在多少個公共點？

然后，引導學生行自主觀察，并引出本課的教學內容. 這樣，學生在這個過程中就能夠對這一堂課的基本內容初步感知.

■設計導學問題，推進探究進程

問題是引發(fā)探究的“啟動器”，問題設計的巧妙性直接影響學生數學探究的質量. 在引出學習內容之后，筆者是這樣設計導學問題的.

（一）引導初步探究

問題1：平面α內存在直線a，且與平面β平行，α與β平行嗎？（不一定）

問題2：平面α內存在直線a，b，且與平面β平行，α與β平行嗎？（不一定）

你認為怎樣才能判定兩平面平行？

師：木工師傅有一個常用工具，那就是水平檢測儀，你知道是怎樣檢測桌面是否水平嗎？其依據在哪里？

借助多媒體呈現木工師傅使用水平檢測儀的過程，組織學生認真觀察.

師：針對這樣一個檢測過程，大家是否可以使用簡潔的語言對其進行描述呢？

（小組交流，教師對學生答案進行匯總和補充. ）

將水平儀置于桌面上時，需要交叉放置兩次，如果兩次氣泡都位于中央，可判定其水平.

師：你認為這一過程的原理是什么？

先進行小組交流，自主推導出判定定理，然后教師進行補充、板書.

師：在長方體模型中，你是否可以利用平面間的位置關系對上述結論的正確性進行驗證呢？

師：如果要求你使用符號語言或者圖形語言，你又該怎樣表述上述定理呢？

學生紛紛開始動手畫圖交流探討，并得出以下結論：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.

（二）借助定理證明

給學生出示圖2：

師：你能證明平面AB■D■∥平面C■BD嗎？如何證明空間中兩個平面平行，需要考慮哪些因素？

學生自主探究證明空間內兩平面平行的方法.

（1）定義法：以定義作為判定基礎，如果兩個平面之間沒有公共點即可證明. 用符號進行表示就是α∩β=■，則α∥β.

（2）判定定理：當一個平面內存在兩條相交直線都與另一個平面平行，即可證明. 以下是用符號的方式對其進行表示：

符號表示為：a？奐αb？奐αa∩b=Aa∥βb∥β？圯α∥β

師：你認為哪種證明方式相對簡單便捷？

生：判定定理.

師：那么怎樣運用這個判定定理對其進行證明呢？其中的關鍵點為何？

生：首先一個平面內必然要存在兩條相交直線，并且都平行于另一平面.

師：請大家自主完成上述證明過程，在組內進行交流. （教師版書）

（三）推進深入思考

師：如果兩平面平行，如何分析一平面內的直線和另一平面之間的位置關系？

生：也是平行的.

師：能否對其進行解釋呢？

生：首先，這兩個平面平行，由此可說明，其間不存在公共點，一條直線位于一個平面內，當然也不可能和另一平面存在公共點，根據定義可判定直線和平面是平行關系.

師：如果有兩條直線，分別位于這兩個平面內，如何判定兩條直線的位置關系？

生：首先這兩個平面平行，由此可說明其間不存在公共點，而這兩條直線分別位于這兩個平面內，這也就意味著，它們之間也不存在公共點，根據空間中兩直線的位置關系，由此可判定，其或者平行，或者異面.

師：如何才能夠分別在兩個平行的平面內找到兩條平行的直線呢？

此時學生們紛紛陷入思考.

師：在我們的教室中，或者在這個長方體中，大家能否找到具體的實例呢？

學生們參照實例展開了探討和梳理，然后以規(guī)范的數學語言對探究結果進行表述.

教師梳理總結，完成補充.

師：兩個平行平面如果同時與第三個平面相交，怎樣證明它們的交線平行？如果要求用簡練的符號語言，怎樣才能夠完整表達？使用圖形語言又該如何表達呢？

已知：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，

求證：a∥b.

師：想要完成上述證明，你認為需要考慮哪些要素或者方法？

學生討論，得出以下結論. 想要證明空間內兩條直線平行的方法有以下幾種：

（1）定義法.

（2）平行公理.

（3）直線和平面垂直的性質定理.

師：你認為選擇哪種證明方法更為簡單便捷？

（學生小組討論，并完成解答）

（四）變式練習鞏固

出示：

如圖3所示，平面α與平面β平行，點P是這兩個平面外的一點，并且不在這兩個平面之間. 直線PB交平面α于點A，交平面β于點B;直線PD交平面α于點C，交平面β于點D.

（1）求證：AC∥BD;

（2）如果PA=4，AB=5，PC=3，那么PD的長是多少？

學生結合圖形展開分析，進行解答. 解答后教師組織學生反饋.

■組織學習梳理，鞏固探究成果

在高中數學教學中，學生借助問題進行探究獲得學習成果之后，教師組織學生對學習成果進行梳理十分重要，只有這樣，才能幫助他們鞏固探究學習的成果. 在本課的結課環(huán)節(jié)，筆者是這樣設計的.

師：現在我們梳理本堂課所學習的知識點，體會其中的數學思想方法.

由學生自主交流，自主總結，教師最后對其進行補充.

1. 在空間內兩個平面之間的位置關系主要存在哪幾種？分類依據是什么？

2. 想要判定兩個平面平行，具體的判定方法有哪些？

3. 性質定理.

其中所蘊含的數學思想在于類比轉化.

總之，伴隨著新課改的有序全面深入，特別強調學生在學習過程中的主動探索地位，需要落實合作交流以及動手實踐，所以，體現于具體的教學中，不僅要關注學生的主體本位，還要提高其對具體活動的參與程度，使學生可以親歷完整的數學抽象過程，體會知識的生成過程. 結合生活中的實例，感受空間中的平面位置關系，不僅要了解其性質，還要能夠靈活運用判定定理，更要能夠成功地在文字、圖形以及符號語言之間正確轉化. 此外，特別強調數學思想在學習實踐中的有力滲透.