周凌霞

[摘? 要] 在核心素養(yǎng)的理念下，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)要實現(xiàn)“雙基”到“四基”的轉(zhuǎn)變. “基本活動經(jīng)驗”是“四基”中的目標(biāo)之一，其中包括“實踐經(jīng)驗”與“思維經(jīng)驗”. 要為學(xué)生設(shè)計數(shù)學(xué)基本活動，把“基本活動經(jīng)驗”的培養(yǎng)滲透于活動教學(xué)之中，以此促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 基于此背景，對“兩角差的余弦公式”一課的教學(xué)進行了探究，希望能夠達到一定的借鑒意義.

[關(guān)鍵詞] 基本活動經(jīng)驗;兩角差的余弦公式;教學(xué)設(shè)計;教學(xué)反思

在2017年版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，首次明確地提出了“四基”目標(biāo)，并強調(diào)“基本活動經(jīng)驗”是開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ). “基本活動經(jīng)驗”包括“實踐經(jīng)驗”與“思維經(jīng)驗”，兩者分別對應(yīng)的是“數(shù)學(xué)直觀”與“數(shù)學(xué)思考”. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要為學(xué)生設(shè)計數(shù)學(xué)基本活動，要把“基本活動經(jīng)驗”的培養(yǎng)滲透于活動教學(xué)之中，以此促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 以下，結(jié)合“兩角差的余弦公式”一課的教學(xué)，來談一談如何在課堂教學(xué)中為學(xué)生設(shè)計高效化的數(shù)學(xué)活動，以此幫助學(xué)生積累豐富的“基本活動經(jīng)驗”.

■基于“基本活動經(jīng)驗”的“兩角差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計

1. 激活原有認知，引發(fā)直觀想象

高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，是在原有的認知基礎(chǔ)上進行的，因此，教師要善于根據(jù)教學(xué)內(nèi)容之前的前后聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進行復(fù)習(xí)回顧，以此激活他們的原有認知，并在此基礎(chǔ)上通過數(shù)形結(jié)合的方式引發(fā)他們的數(shù)學(xué)想象，以此培養(yǎng)他們的“直觀經(jīng)驗”，為他們課堂上的新知探究找準(zhǔn)“起點”.

在本課教學(xué)的第一環(huán)節(jié)中，筆者首先給學(xué)生呈現(xiàn)了圖1：

師：在初中的時候我們就已經(jīng)學(xué)過了勾股定理. 根據(jù)這一幅圖，請說一說是怎么證明勾股定理的.

生：從圖1可以看出，四個完全一樣的直角三角形可以拼成兩個完全一樣的正方形. 在這兩個圖形中，陰影部分和空白部分的面積是完全相等的，由此得到a2+b2=c2. 這一種證明勾股定理的基本思想和方法是數(shù)形結(jié)合.

師：很顯然這種證明方法既嚴謹又直觀. （繼續(xù)出示圖2）

師：對于幾何圖形的度量以及計算，會涉及長度、面積以及角度等因素. 請同學(xué)們仔細觀察圖2，假設(shè)在直角三角形中，斜邊長為1，其中一個銳角為θ，基于勾股定理的證明思路，你能列出和θ相關(guān)的等式嗎？

生：sin2θ+cos2θ=1 .

針對勾股定理的證明，涉及幾何圖形的拼接割補，而且證明的重點是借助對幾何圖形的度量以及計算，實現(xiàn)對幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化，并以代數(shù)的方式進行表述. 在以上教學(xué)中，通過“以形證數(shù)”的方式能夠幫助學(xué)生進行直觀想象. 在幾何度量中不僅涉及長度、面積，還包括角度，所以雖然使用的是相同的圖形，但是以不同的代數(shù)能夠得出不同的表示，能夠幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)的眼光，能夠以不同的視角觀察幾何圖形，發(fā)展其質(zhì)疑能力，積累豐富的活動經(jīng)驗.

2. 引導(dǎo)合作探究，獲得初步結(jié)論

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的“思維經(jīng)驗”是很重要的. 因此，教師要為學(xué)生設(shè)計自主化的數(shù)學(xué)探究任務(wù)，以此引導(dǎo)學(xué)生在合作探究的過程中積累“活動經(jīng)驗”，促進他們“思維經(jīng)驗”的提升.

在本課的教學(xué)中，筆者給學(xué)生設(shè)計了以下合作探究任務(wù)：如圖3所示，有兩對直角三角形，其斜邊長都為1，假設(shè)第一對直角三角形中的其中一個銳角為α，第二對直角三角形中的其中一個銳角為β. 請你根據(jù)勾股定理的證明思路，寫一寫與α，β相關(guān)的等式. （同桌互為一組，每人一對直角三角形）

在學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)以后，組織學(xué)生進行交流展示，學(xué)生在交流展示的過程中得出以下結(jié)論：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

這個探究問題是對前面第二個問題的變式，在經(jīng)歷了層層深入的探究之后，學(xué)生再次親歷勾股定理的思維過程，基于幾何圖形積累發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的活動經(jīng)驗，這樣不僅有助于提高幾何直觀素養(yǎng)，而且還能夠?qū)崿F(xiàn)思維的拓展，使學(xué)生可以在這一過程中獲得更豐富的感悟，了解數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生以及發(fā)展，從而培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題以及提出問題的能力.

3. 引導(dǎo)推導(dǎo)證明，推廣公式范圍

在前面的兩個環(huán)節(jié)中，學(xué)生基于勾股定理這一原有經(jīng)驗，通過數(shù)形結(jié)合的方式得出了兩個角是銳角情況下的兩角差的余弦公式. 因此，在第三個環(huán)節(jié)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生開展推導(dǎo)證明活動，把這一公式推廣至任意角，從而完善兩角差的余弦公式.

師：在前面的探究過程中，我們在定義銳角三角函數(shù)時，利用了直角三角形的三邊關(guān)系，利用直角三角形的拼接圖形驗證了以銳角為前提的兩角差的余弦公式，如果將它推廣至任意角，你認為應(yīng)該怎么做？

生：可以借助單位圓模型. （出示圖4）

師：如圖4所示，應(yīng)該如何在圖中表示α-β？

生：α-β=∠AOB.

師：你能夠聯(lián)系以前學(xué)過的與角的相關(guān)知識寫出它的余弦值嗎？請你先獨立思考，然后在練習(xí)本上寫一寫.

有的學(xué)生根據(jù)向量的相關(guān)知識寫出了∠AOB的余弦值即α-β的余弦值，并指出α-β要滿足0≤α-β≤π，結(jié)論才能成立;還有的學(xué)生根據(jù)誘導(dǎo)公式寫出了α-β的余弦值.

根據(jù)初高中階段針對三角函數(shù)定義的學(xué)習(xí)順序，先用直角三角形拼接成為幾何圖形，以此展開公式的探究與發(fā)現(xiàn)，在進行推廣研究證明時，再借助單位圓模型，這樣就實現(xiàn)了由特殊到一般的驗證過程，與學(xué)生的認知規(guī)律相吻合. 這樣的教學(xué)設(shè)計都突出強調(diào)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，真正實現(xiàn)了由數(shù)學(xué)直觀成功地過渡到理性思維，有助于發(fā)展邏輯推理能力.

4. 設(shè)計變式練習(xí)，拓展探究空間

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生通過自主探究獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式以后，還要通過變式練習(xí)促進他們對獲得的探究結(jié)論進行內(nèi)化，這樣，就能夠有效地拓展他們數(shù)學(xué)探究的空間.

在這一堂課的教學(xué)中，筆者給學(xué)生設(shè)計了這樣一道變式練習(xí)：有兩對直角三角形，其斜邊長都為1，將其拼成如圖5所示的矩形，其中空白部分（菱形）的面積所代表的含義是什么？

在這一道題中，給出了另外一種矩形的拼接方式，根據(jù)不同的角的標(biāo)注，所探究的結(jié)果有兩種可能：一是兩角（銳角）差的正弦公式，二是兩角（銳角）和的余弦公式. 這一道題能夠為學(xué)生的思維形成一定的引領(lǐng)，使活動經(jīng)驗得到進一步強化和積累，能夠為接下來其他公式的學(xué)習(xí)奠定良好的根基，具有典型的開放性特點，能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

■基于“基本活動經(jīng)驗”的“兩角差的余弦公式”的教學(xué)反思

1. 培養(yǎng)“實踐活動經(jīng)驗”要重視“數(shù)學(xué)直觀”

在學(xué)習(xí)三角公式的相關(guān)知識的過程中，對學(xué)生而言，常常更關(guān)注公式的實用性，這是對其理解過程的極大忽視. 本課的教學(xué)設(shè)計選擇了與眾不同的視角，將具體的學(xué)習(xí)過程置于初高中階段的龐大知識體系中，以學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律為核心，緊扣幾何圖形設(shè)計實踐活動，其中既包括創(chuàng)設(shè)情境、探索發(fā)現(xiàn)，也涉及課后探究作業(yè)等諸多教學(xué)環(huán)節(jié). 當(dāng)然，在探究過程中，也需要進行變式處理，這樣才能真正有助于豐富并強化學(xué)生的實踐活動經(jīng)驗. 實際上，對于每一個幾何圖形而言，都體現(xiàn)著相應(yīng)代數(shù)所代表的幾何意義，而這有助于學(xué)生深化對公式的理解，能夠為其積累豐富的活動經(jīng)驗，在發(fā)展數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)、推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論等諸多方面都具有顯著的促進意義，能夠使學(xué)生在自然的狀態(tài)下主動地習(xí)得知識.

2. 培養(yǎng)“思維活動經(jīng)驗”要重視“數(shù)學(xué)推理”

以已有知識解決問題的過程，都應(yīng)當(dāng)有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，特別是在公式的推廣與證明方面，切不可急于求成，而應(yīng)當(dāng)設(shè)計具有引導(dǎo)性的問題，以此點燃學(xué)生思維的火花，促使其展開深度思考，更要與其“最近發(fā)展區(qū)”相接近，使學(xué)生能夠自然地展開探究，發(fā)現(xiàn)嚴謹?shù)淖C明思路. 在公式的應(yīng)用中，不能僅限于教材例題，而應(yīng)當(dāng)設(shè)計變式或者題組，由繁至簡，層層深入，這樣才能夠使學(xué)生已經(jīng)積累的解題經(jīng)驗逐步歸一，才有助于其完善數(shù)學(xué)思維體系、豐富活動經(jīng)驗.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要關(guān)注對學(xué)生“實踐活動經(jīng)驗”的培養(yǎng)，也應(yīng)當(dāng)重視對學(xué)生“思維活動經(jīng)驗”的培養(yǎng)，因為這是“基本活動經(jīng)驗”的兩個重要構(gòu)成部分，而且與其他“三基”之間也存在著緊密聯(lián)系，只有多管齊下，才有助于促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升.