侯甜甜

(平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南平頂山 467000）

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，課程具備系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)、統(tǒng)計(jì)學(xué)理論、統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想和方法，根據(jù)大量同類(lèi)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性做出一種客觀的科學(xué)判斷，并對(duì)這種出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述，比較這些可能性的大小，研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一套完整的數(shù)學(xué)理論和方法。

“全概率公式與貝葉斯公式”屬于選用教材第一章第五節(jié)，位于使用教材的第24頁(yè)至第27頁(yè)，是在前一節(jié)“條件概率”概念提出的基礎(chǔ)上，從已知簡(jiǎn)單事件的概率推算出未知復(fù)雜事件的概率的研究課題之一。為了計(jì)算復(fù)雜事件的概率，經(jīng)常把一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件的和，通過(guò)分別計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率，并利用概率的加法公式和乘法公式等得到最終的結(jié)果。在這類(lèi)計(jì)算中，全概率公式起著重要的作用。而貝葉斯公式正好與全概率公式的作用相反，當(dāng)一個(gè)事件已近發(fā)生了，要考慮該事件發(fā)生的各種原因的可能性的大小的時(shí)候，也就是當(dāng)遇到“由果溯因”的推斷問(wèn)題，就需要用到貝葉斯公式了?？梢哉f(shuō)，全概率公式與貝葉斯公式是對(duì)第一章前四節(jié)內(nèi)容的總結(jié)及綜合應(yīng)用。

傳統(tǒng)的講授法以教師為中心，教師講授知識(shí)，學(xué)生只能被動(dòng)接受，不能主動(dòng)參與到課堂教學(xué)中，從而不能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)激情，提高不了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，很容易造成課堂上大片的“低頭族”。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這種教學(xué)內(nèi)容包含了大量統(tǒng)計(jì)思想的課程，若僅采用單一的、傳統(tǒng)的講授法進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生會(huì)不容易接受，也不能靈活應(yīng)用。

混合式BOPPPS教學(xué)法以學(xué)生為中心，比較適應(yīng)當(dāng)代大學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，因此，本文基于混合式BOPPPS教學(xué)模式，結(jié)合手機(jī)學(xué)習(xí)通互動(dòng)平臺(tái)，以“貝葉斯公式”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、混合式BOPPPS教學(xué)模式

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)和教育的深度融合[1][2]，從“互聯(lián)網(wǎng)+教育”到“智能+教育”的發(fā)展，混合式教學(xué)在形式上表現(xiàn)為“線(xiàn)上+線(xiàn)下”以及傳統(tǒng)教學(xué)和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)補(bǔ)充的教學(xué)方式，通過(guò)信息技術(shù)、借助慕課等教學(xué)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了線(xiàn)上新知識(shí)學(xué)習(xí)和線(xiàn)下知識(shí)內(nèi)化的結(jié)合。內(nèi)涵包括了教學(xué)空間、教學(xué)時(shí)間、教學(xué)方式、教學(xué)評(píng)價(jià)的混合。

“BOPPPS”教學(xué)模式源于加拿大技師技能培訓(xùn)[3][4]5]，以建構(gòu)主義、交際法為理論依據(jù)設(shè)計(jì)的閉環(huán)式課程教學(xué)模型，主要包含6個(gè)環(huán)節(jié)，引入（Bridge-in）、教學(xué)目標(biāo)（Objective）、前測(cè)（Pre-assessment）、參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）、后測(cè)（Post-assessment）、總結(jié)（Summary）。各環(huán)節(jié)緊密結(jié)合，具備較強(qiáng)的可操作性。有助于實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的體系化、條理化、合理化。

隨著信息化技術(shù)的推廣和普及[6][7]8]，開(kāi)展線(xiàn)上網(wǎng)絡(luò)教學(xué)和課堂教學(xué)相結(jié)合的混合式教學(xué)能夠充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)性和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，從而提高教學(xué)質(zhì)量。基于混合式BOPPPS教學(xué)模型的混合式教學(xué)模式，使學(xué)生利用課內(nèi)外時(shí)間進(jìn)行線(xiàn)上線(xiàn)下學(xué)習(xí)，做到以學(xué)生為中心。

二、基于BOPPPS教學(xué)法的貝葉斯公式教學(xué)設(shè)計(jì)

貝葉斯公式主要體現(xiàn)了由事件的先驗(yàn)概率，在某些既成事實(shí)的基礎(chǔ)上，計(jì)算事件后驗(yàn)概率的思想，這種思想獨(dú)樹(shù)一幟，為后續(xù)的貝葉斯估計(jì)、貝葉斯判別做理論鋪墊。根據(jù)BOPPPS教學(xué)模式，具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下表所示：

表1 混合式BOPPPS教學(xué)模式在貝葉斯公式中的應(yīng)用

（一）引入（Bridge-in）

導(dǎo)入作為第一環(huán)節(jié)，起著重要的作用，好的導(dǎo)入可以活躍課堂氣氛，提高學(xué)生參與課堂的積極性。通過(guò)兩個(gè)例子導(dǎo)入本課程。引例1：學(xué)校男生占60%，女生占40%，男生總是穿長(zhǎng)褲，女生則一半穿長(zhǎng)褲一半穿裙子，（1）隨機(jī)選取一個(gè)學(xué)生，穿長(zhǎng)褲的概率？（2）迎面走來(lái)一個(gè)穿長(zhǎng)褲的學(xué)生但不知性別，求是女生的概率？引例2：（1）拋一枚硬幣，正面向上的概率？（2）拋一枚硬幣100次，正面朝上100次，反面朝上0次，問(wèn)下一次正面向上的概率？

通過(guò)超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布這兩個(gè)引例，讓學(xué)生在手機(jī)端進(jìn)行在線(xiàn)搶答，提高學(xué)習(xí)積極性和課堂的趣味性。

設(shè)計(jì)意圖：1.用案例教學(xué)法和對(duì)比教學(xué)法，給出2個(gè)實(shí)際生活中的常見(jiàn)問(wèn)題。讓學(xué)生比較引例1和引例2的共同點(diǎn)。2.每個(gè)例子設(shè)計(jì)2小問(wèn)，讓學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的全概率公式計(jì)算第1問(wèn)，并讓學(xué)生體會(huì)第1問(wèn)和第2問(wèn)的區(qū)別和聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生第2問(wèn)要用到貝葉斯公式，并啟發(fā)學(xué)生思考如果沒(méi)有學(xué)習(xí)貝葉斯公式，你能否計(jì)算出第2問(wèn)呢？有沒(méi)有一個(gè)大概的想法？和學(xué)生溝通交流，并讓學(xué)生討論，讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法，為下一步給出貝葉斯公式做準(zhǔn)備。

（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）

知識(shí)目標(biāo)：1.了解貝葉斯公式的背景、思想；2.掌握貝葉斯公式的計(jì)算步驟。

技能目標(biāo)：1.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的抽象思維能力；2.提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)。

情感目標(biāo)：1.具備團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)，能夠獨(dú)立思考；2.擁有愛(ài)國(guó)情懷和刻苦鉆研精神。

（三）前測(cè)（Pre-assessment）

結(jié)合課程特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)心理特征、學(xué)習(xí)積極性等特征，通過(guò)超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布問(wèn)題：什么是條件概率公式？什么是全概率公式？讓學(xué)生在手機(jī)端進(jìn)行在線(xiàn)搶答，提高學(xué)習(xí)積極性和課堂的趣味性。通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生回憶這兩個(gè)公式，并為引出貝葉斯公式做準(zhǔn)備。通過(guò)前測(cè)環(huán)節(jié)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與能力，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的難易進(jìn)行及時(shí)調(diào)整。

（四）參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）

證明：

從幾何概型解釋貝葉斯公式：注1：事件A是結(jié)果，是已經(jīng)發(fā)生的既成事實(shí)，事件B是導(dǎo)致A發(fā)生的原因。注2：要計(jì)算的條件概率違反正常的邏輯順序，是已知結(jié)果求原因的倒推概率。注3：因果互換公式。

設(shè)計(jì)意圖：采用講授法，給出貝葉斯公式，采用討論法，引導(dǎo)學(xué)生如何用之前學(xué)過(guò)的公式給出貝葉斯公式的證明，證明過(guò)程中的每一個(gè)等號(hào)分別用了什么公式。

解：（1）記事件A為“穿長(zhǎng)褲”，B1事件為“男生”，B2事件為“女生”，則全概率公式，

（2）貝葉斯公式，記A事件為“穿長(zhǎng)褲”，B1事件為“男生”，B2事件為“女生”，則

（五）后測(cè)與總結(jié)（Summary）

在學(xué)習(xí)通發(fā)布測(cè)試創(chuàng)新和提高題目，《伊索寓言》中有個(gè)孩子與狼的故事，測(cè)試題目：現(xiàn)在用貝葉斯公式來(lái)分析，此寓言中村民對(duì)這個(gè)小孩的可信程度是如何下降的；課下探索作業(yè)，學(xué)習(xí)通完成。設(shè)計(jì)意圖：采用討論法，從幾何概型角度解釋貝葉斯公式，學(xué)生能更容易直觀的理解貝葉斯公式，并采用這種辦法讓學(xué)生記住貝葉斯公式，能熟練運(yùn)用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的重要性。列舉孩子與狼的故事，讓學(xué)生將具體問(wèn)題抽象成概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，并用貝葉斯公式解決問(wèn)題。通過(guò)案例分析得出的結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生做人要誠(chéng)信。

圖1 狼來(lái)了

思維導(dǎo)圖的啟發(fā)式總結(jié)，通過(guò)對(duì)課堂內(nèi)容的小結(jié)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容連貫化、系統(tǒng)化。觀看學(xué)習(xí)通總結(jié)視頻和相關(guān)論文。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過(guò)上面教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生所獲得的知識(shí)往往是零散的不完整的，讓學(xué)生對(duì)本課的知識(shí)進(jìn)行歸納小結(jié)，便于學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)體系，真正掌握本節(jié)課的知識(shí)。另外，教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

三、結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)過(guò)探索與實(shí)踐，采用混合式BOPPPS教學(xué)模式，提高了課堂教學(xué)效果和學(xué)生聽(tīng)課質(zhì)量。同時(shí)，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)，BOPPPS教學(xué)模式不一定適用于所有內(nèi)容，怎樣平衡線(xiàn)上教學(xué)時(shí)間和線(xiàn)下教學(xué)時(shí)間，是今后教學(xué)改革要繼續(xù)探索的問(wèn)題，我們也將繼續(xù)努力，探索出更適合概率統(tǒng)計(jì)的具有學(xué)科特色的教學(xué)模式。