（重慶市永川中學(xué)校 重慶 永川 402160）

集合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，19世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾首先系統(tǒng)地對(duì)集合理論進(jìn)行了研究?，F(xiàn)今數(shù)學(xué)中所說(shuō)的集合就是指數(shù)學(xué)的一些對(duì)象，比如函數(shù)、面、線等，這些都可以用集合下定義。事實(shí)上，數(shù)學(xué)上的集合是對(duì)某些或某類事物的研究，比如說(shuō)，幾何是對(duì)點(diǎn)集合的研究；代數(shù)是對(duì)數(shù)集合的研究；函數(shù)是特殊類型的集合等。集合的特性簡(jiǎn)單、概括性強(qiáng)，能夠準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，其有三個(gè)特性包括確定性、互異性與無(wú)序性。高中生剛接觸集合的相關(guān)特性與知識(shí)點(diǎn)存在一些不足，比如說(shuō)：對(duì)描述性的集合概念不清楚；不能有效地判斷出集合與非集合，無(wú)法舉出合理的集合例子；有的學(xué)生對(duì)集合的確定性理解有難度；有的學(xué)生對(duì)關(guān)系符號(hào)有些問(wèn)題；有的學(xué)生對(duì)交集、并集等變換形式的運(yùn)算有一定的難度等。針對(duì)這些問(wèn)題，教師應(yīng)進(jìn)行有效地分析，提出有效的策略進(jìn)行完善，最終將有效的集合教學(xué)應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)其他章節(jié)的知識(shí)。

1.高中數(shù)學(xué)集合的相關(guān)情況

首先，高中數(shù)學(xué)集合的含義、特征與表示方法。第一，集合的含義。集合是高中數(shù)學(xué)中最原始的概念，教師不能用點(diǎn)、線或面等原始概念來(lái)給集合下定義，只能運(yùn)用描述性的語(yǔ)言說(shuō)明。集合是教師直覺(jué)中比較確定卻又不相同的一個(gè)匯集，是一個(gè)整體單位，那么這類事物的總稱就是集合，集合中的每個(gè)個(gè)體就是元素，元素包含于集合。用數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語(yǔ)表示，研究對(duì)象也就是元素組成的總體就是集合。比如：鋼筆、水、A、1等組成的就不是集合，其元素間沒(méi)有共同的屬性；而“1、2、3、4”組成的共同體就是一個(gè)集合。第二，集合特征。集合具備確定性、互異性與無(wú)序性。所謂確定性就是集合內(nèi)的元素必須是確定的對(duì)象，比如說(shuō)C是集合，那么a是某一個(gè)對(duì)象，屬于C的，那么a就只能屬于C，不能是A的元素；“優(yōu)秀的學(xué)生”這不是集合，其元素不確定?；ギ愋允侵讣现械脑厥腔パa(bǔ)相同的，同一元素不能重復(fù)出現(xiàn)。如：集合 C=｛1，2，3，1｝，其集合中出現(xiàn)了重復(fù)元素，不能作為集合的正確表示，應(yīng)該寫成｛1，2，3｝。無(wú)序性是指集合中元素不需要按順序排列。比如：集合A=｛1，2｝和集合B=｛2，1｝，這兩個(gè)集合的順序不一樣，但是元素一樣，這兩個(gè)集合就是相同集合。第三，表示方法。例舉法就是把集合的元素一一列舉，元素放在大括號(hào)里。如：把方程（x-1）（x+2）=0的根用集合表示出來(lái)，就是｛1，2｝。描述法就是指同一集合中的元素有共同性質(zhì)，這共同性質(zhì)可以用某種方式描述，如：不大于100的正整數(shù)的全體集合，能用省略號(hào)表示：｛1，2，3……100｝。圖示法就是通過(guò)畫圖表示，這圖形叫韋恩圖。

其次，高中數(shù)學(xué)常見的集合。第一，數(shù)集。對(duì)于由初中剛升高中的學(xué)生，對(duì)自然數(shù)、整數(shù)和無(wú)理數(shù)比較了解，高中數(shù)學(xué)集合里又出現(xiàn)了復(fù)數(shù)集C、實(shí)數(shù)集R、有理數(shù)集Q等，這些都需要高中生掌握。第二，方程或方程組的解集。如：在高中數(shù)學(xué)里，方程的解集可以看作是滿足某種性質(zhì)O數(shù)學(xué)的有限集。第三，不等式的解集。不等式的解可以看作是滿足某種性質(zhì)P的數(shù)學(xué)的一種無(wú)窮集合。第四，點(diǎn)集。人們習(xí)慣研究數(shù)集和幾何圖形，并沒(méi)有把幾何看成是由點(diǎn)組成的集合。而根據(jù)康托爾的集合思想，可以把高中數(shù)學(xué)的任何一個(gè)幾何圖看作是三維空間點(diǎn)集的某個(gè)子集。

最后，高中數(shù)學(xué)中的并集、交集、補(bǔ)集與空集的教學(xué)。第一，并集。屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，比如說(shuō)：集合 A=｛1，2，3，4｝，集合 B=｛2，3，5｝，那么集合 A和集合 B的并集為｛1，2，3，4，5｝。第二，交集。也就是說(shuō)這個(gè)集合的元素既屬于集合 A，又屬于集合 B。如：集合 A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，3，5｝，那么集合A和集合B的交集為｛2，3｝。第三，補(bǔ)集。補(bǔ)集是總集合除去應(yīng)有的集合。如：總集合為 C=｛1，3，4，5，6｝，集合 A=｛1｝，那么集合 A的補(bǔ)集就是｛3，4，5，6｝。第四，空集。不含任何元素的集合為空集。比如：｛｝就是空集。｛｝=空集，但不等于｛0｝?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。

2.高中數(shù)學(xué)集合中學(xué)生存在的問(wèn)題及原因分析

第一，問(wèn)題。大部分高中學(xué)生在學(xué)習(xí)集合時(shí)，對(duì)集合的概念理解不夠清楚，不會(huì)運(yùn)用集合的概念去解決實(shí)際問(wèn)題；有的學(xué)生不能舉出例子來(lái)表示集合；有的不理解集合的特征與性質(zhì)；有的學(xué)生混淆空集的性質(zhì)，不能正確解題；有的學(xué)生錯(cuò)解集合的表示方法等。

第二，問(wèn)題分析。首先，集合概念本身較為抽象。集合的抽象性需要學(xué)生具備抽象的思維能力，集合的一些符號(hào)術(shù)語(yǔ)，讓高中生不能很好地適應(yīng)，容易讓學(xué)生忘記或混淆，導(dǎo)致錯(cuò)誤的出現(xiàn)。其次，高中生的思維發(fā)展產(chǎn)生了變化。有的高中生思維發(fā)展還不夠成熟，進(jìn)而影響了他們的理解能力。最后，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)不足。由于數(shù)學(xué)教師對(duì)集合的概念引入簡(jiǎn)單，沒(méi)有做好習(xí)題練習(xí)的充分準(zhǔn)備，沒(méi)有讓學(xué)生深刻理解集合相關(guān)的定義，更不能很好地做好練習(xí)題。

3.高中數(shù)學(xué)集合教學(xué)的反思

首先，注重構(gòu)建高中生的集合概念過(guò)程。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際思維發(fā)展水平出發(fā)，為學(xué)生設(shè)置合理的教學(xué)情境，讓其新舊知識(shí)得到聯(lián)系，通過(guò)合理教學(xué)，運(yùn)用實(shí)例引入集合的概念。

其次，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，及時(shí)糾正高中生的錯(cuò)誤理解。比如：讓學(xué)生清楚知道空集是｛｝，而不是｛0｝，不能讓學(xué)生混淆。

最后，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)高中生反思。比如：價(jià)值反思、思想方法反思、數(shù)學(xué)概念與符號(hào)的反思。

4.高中數(shù)學(xué)集合知識(shí)的應(yīng)用

首先，高中數(shù)學(xué)集合知識(shí)與各章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系。第一，集合知識(shí)與不等式的聯(lián)系。這兩者的聯(lián)系主要體現(xiàn)在：不含參數(shù)的問(wèn)題，可以直接求解；含參數(shù)的問(wèn)題，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論。第二，集合與函數(shù)的關(guān)系。通過(guò)集合的形式，利用這個(gè)載體解答函數(shù)知識(shí)。第三，集合與數(shù)列、排列組合的關(guān)系。如：數(shù)列與排列組合的問(wèn)題可以通過(guò)一些應(yīng)用題型進(jìn)行考查，進(jìn)而考察其方方面面的知識(shí)。第四，集合與圓錐曲線、三角函數(shù)的關(guān)系。運(yùn)用集合的語(yǔ)言和符號(hào)來(lái)設(shè)計(jì)圓錐曲線和三角函數(shù)的題型，進(jìn)而全面考查數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)。

其次，運(yùn)用集合概念構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)。第一，用集合的包含關(guān)系構(gòu)建數(shù)學(xué)概念?？梢酝ㄟ^(guò)概念的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)這個(gè)概念是另一個(gè)概念的特殊情形，如：正方體、正四棱柱、長(zhǎng)方體等存在一個(gè)概念系統(tǒng)。第二，通過(guò)集合關(guān)系建立數(shù)學(xué)的概念系統(tǒng)。

總之，要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)集合的知識(shí)，不僅要掌握其相關(guān)情況、問(wèn)題與反思教學(xué)，而且還要學(xué)會(huì)將集合知識(shí)運(yùn)用到數(shù)學(xué)的其他章節(jié)中，這樣利于高中數(shù)學(xué)的教學(xué)。