劉建剛，杜風(fēng)嬌

(1.武夷學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，福建 南平 354300；2.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，浙江 杭州 310018)

弧齒錐齒輪可分為：等頂隙收縮齒和雙重收縮齒的零度弧齒錐齒輪(格里森齒制)，等頂隙收縮齒的弧齒錐齒輪(格里森齒制、埃尼姆斯齒制)，等齒高弧齒錐齒輪(洛-卡氏齒制)?；↓X錐齒輪被廣泛應(yīng)用于機(jī)械傳動(dòng)。劉志鋒等[1]從弧齒錐齒輪的熱處理對(duì)非公路重載機(jī)車差速器弧齒錐齒輪進(jìn)行了失效分析，提出了改進(jìn)的弧齒熱處理工藝，采用冷處理對(duì)淬火后齒輪進(jìn)行二次處理，可減少磨削裂紋的產(chǎn)生，延長差速器的使用壽命。呂剛磊等[2]建立了機(jī)床的數(shù)學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)位置的求解，對(duì)弧齒錐齒輪四軸展成加工進(jìn)行了切齒仿真，并對(duì)其進(jìn)行了切齒加工實(shí)驗(yàn)。牟彥銘等[3]為避免表面研磨弧齒錐齒輪在重載情況下發(fā)生邊緣接觸，改善齒面應(yīng)力分布，用弧線刃刀具替換展成齒輪齒面的直線刃刀具。李承恩等[4]構(gòu)建了拖拉機(jī)后橋重要零件弧齒錐齒輪的網(wǎng)格實(shí)體，建立了基于虛擬碰撞體的弧齒錐齒輪網(wǎng)格實(shí)體搭建拖拉機(jī)后橋仿真模型，還對(duì)后橋工況和裝配流程進(jìn)行人機(jī)交互式的虛擬仿真試驗(yàn)，利用虛擬現(xiàn)實(shí)軟件Unity3D和三維模型完成了虛擬環(huán)境下后橋的重合試驗(yàn)。廖平等[5]改進(jìn)了弧齒錐齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法，在傳統(tǒng)計(jì)算方法上引入單個(gè)節(jié)點(diǎn)嚙合剛度，將工作齒面各個(gè)節(jié)點(diǎn)嚙合剛度疊加，得到單齒嚙合剛度，計(jì)算精度更高。祁燔等[6]對(duì)NGW行星齒輪減速器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，以及對(duì)減速器的行星架進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)。肖望強(qiáng)等[7-8]提出在工作齒面采用大壓力角，在非工作齒面采用標(biāo)準(zhǔn)壓力角的非對(duì)稱弧齒錐齒輪，并利用雙壓力角非對(duì)稱弧齒錐齒輪對(duì)弧齒錐齒輪減速器進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)，輕量化效果明顯，輕量化后的非對(duì)稱弧齒錐齒輪能夠替代原減速器對(duì)稱齒輪。蘇進(jìn)展等[9]從齒面結(jié)構(gòu)上提出了通過優(yōu)化差曲面全曲率來改善弧齒錐齒輪的安裝誤差敏感性問題的方法，優(yōu)化后的齒輪副在嚙合過程中的敏感性系數(shù)控制在較小范圍之內(nèi)，傳動(dòng)誤差的幅值和對(duì)稱性均滿足設(shè)計(jì)要求，改善了齒輪副的嚙合質(zhì)量。

綜上所述，已有不少學(xué)者已經(jīng)對(duì)弧齒錐齒輪展開了一些研究，大多數(shù)都是從事弧齒錐齒輪的加工工藝的研究及熱處理工藝的研究。牟彥銘等[3]以承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值最小進(jìn)行了相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，目前還未發(fā)現(xiàn)有學(xué)者對(duì)洛-卡氏制弧齒錐齒輪的差速器進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。基于此，本文基于非線性規(guī)劃法對(duì)洛-卡氏齒制對(duì)弧齒差速器進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。

1 洛-卡氏制弧齒差速器方案設(shè)計(jì)及其校核

某差速器設(shè)計(jì)要求如下：齒輪的傳動(dòng)比i=373，小齒輪的額定轉(zhuǎn)矩T1=205.3 N·m，本文基于洛-卡氏制的弧齒錐齒輪幾何系數(shù)[10]對(duì)差速器進(jìn)行設(shè)計(jì)，優(yōu)化前的設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 優(yōu)化前后錐齒輪副參數(shù)對(duì)比Tab.1 Comparison of bevel gear pair parameters before and after optimization

1.1 錐齒輪的強(qiáng)度校核

分別基于理論計(jì)算和Kisssoft軟件對(duì)弧齒錐齒輪進(jìn)行校核[11]，對(duì)齒面接觸強(qiáng)度σH、許用接觸應(yīng)力σHP、齒根彎曲應(yīng)力σF、許用齒根應(yīng)力σFP的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 齒輪強(qiáng)度校核Tab.2 Gear strength check

由表2可知，錐齒輪的接觸疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)滿足設(shè)計(jì)要求；弧齒錐齒輪的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求，通過對(duì)比分析可知：理論強(qiáng)度計(jì)算校核與Kisssoft軟件仿真的強(qiáng)度校核誤差率為5%。產(chǎn)生誤差的原因?yàn)槔碚撚?jì)算過程中存在對(duì)所選參數(shù)小數(shù)點(diǎn)后兩位的舍入誤差，而Kisssoft軟件計(jì)算精度更高。

2 弧齒錐齒輪副的優(yōu)化

非線性規(guī)劃是一種求解目標(biāo)函數(shù)或約束條件中有一個(gè)或幾個(gè)非線性函數(shù)的最優(yōu)化問題的方法，其模型如式(1)所示。

minf(x)
s.t.gi(x)≥0i=1，…，m
hj(x)=0j=1，…，p

(1)

式中:f(x) 為優(yōu)化目標(biāo)；gi(x)與hj(x)分別為不等式約束和等式約束，x=(x1，…，xn)屬于定義域D。

2.1 設(shè)計(jì)變量

優(yōu)化設(shè)計(jì)變量：

X=[z1，βm，b，mt]T=[x1，x2，x3，x4]

(2)

式中：x1為小弧齒錐齒輪的齒數(shù)z1；x2為齒寬中點(diǎn)螺旋角βm；x3為齒寬b；x4為大端的端面模數(shù)mt。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

以錐齒輪體積最小為目標(biāo)函數(shù)，錐齒輪的體積公式[11]為：

(3)

由式(3)計(jì)算可得體積目標(biāo)函數(shù)：

(4)

2.3 約束條件

弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)約束條件分別為齒面接觸強(qiáng)度、齒根疲勞強(qiáng)度、齒數(shù)、螺旋角、齒寬及模數(shù)、小弧齒錐齒輪的齒數(shù)z1(取值范圍為8～25)、齒寬中點(diǎn)螺旋角βm(取值范圍為20°～35°)、齒寬b(約束范圍與齒數(shù)和模數(shù)相聯(lián)系)、大端面模數(shù)m(約束范圍為3～15)，約束條件[12]如式(5)～式(15)。

弧齒接觸強(qiáng)度要求：

(5)

輪齒齒根疲勞強(qiáng)度要求：

(6)

小齒輪齒數(shù)設(shè)計(jì)范圍約束為8≤x1≤25：

G(3)=8-x1≤0

(7)

G(4)=x1-25≤0

(8)

齒寬中點(diǎn)螺旋角螺旋角要求20≤x2≤35：

G(5)=20-x2≤0

(9)

G(6)=x2-35≤0

(10)

齒寬的約束要求20≤x3≤35：

G(7)=0.26x4x1-x3≤0

(11)

G(8)=x3-0.52x4x1≤0

(12)

弧齒大端面模數(shù)要求3≤x4≤15：

G(9)=3-x4≤0

(13)

G(10)=x4-15≤0

(14)

等式約束處理的裝配條件為：

G(11)=x4(1+μ)-T1=0

(15)

2.4 優(yōu)化結(jié)果及分析

優(yōu)化前后齒輪參數(shù)如表1所示，可知優(yōu)化后體積為245.25 mm3。比優(yōu)化前體積減少16.52 mm3。差速器的體積比優(yōu)化前減小6.3%。

2.5 優(yōu)化前強(qiáng)度校核的對(duì)比

根據(jù)表1所示優(yōu)化前后弧齒錐齒輪的參數(shù)，可得優(yōu)化前后錐齒輪強(qiáng)度校核如表3所示?？芍?，優(yōu)化后錐齒輪強(qiáng)度校核參數(shù)滿足材料使用要求。

表3 優(yōu)化前后弧齒錐齒輪強(qiáng)度對(duì)比Tab.3 Strength comparison of spiral bevel gears before and after optimization

3 差速器外殼和弧齒錐齒輪的有限元分析

3.1 弧齒錐齒輪的靜態(tài)分析

弧齒錐齒輪材料采用20MnCr5，其物性參數(shù)[13]如下：密度為7 850 kg·m-3，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3；屈服強(qiáng)度為1 232 MPa。由理論計(jì)算，在齒輪嚙合，大齒輪添加固定約束，小齒輪添加扭矩425 N·m，齒輪嚙合面添加接觸副，仿真計(jì)算后可得錐齒輪副有限元仿真的應(yīng)力云圖、應(yīng)變?cè)茍D、變形云圖如圖1～圖3所示?？芍↓X錐齒輪的總變形量最大為0.18 mm，齒輪受到的最大的應(yīng)力為298 MPa，而齒輪材料的屈服強(qiáng)度為1 232 MPa，齒輪應(yīng)變最大值0.000 7，滿足材料使用要求。

3.2 差速器外殼的靜態(tài)分析

差速器外殼采用45#鋼，內(nèi)部受到軸承扭矩的力，殼的內(nèi)表面添加扭矩分別為425.6、1 596 N·m，并將端蓋和2個(gè)孔用固定約束，如圖4所示。

由圖4～圖7可知，差速器外殼的總變形量最大為0.099 8 mm，最大應(yīng)力為138.01 MPa，而外殼材料的屈服強(qiáng)度為355 MPa，外殼的應(yīng)變最大值為0.000 66，滿足材料使用要求。

3.3 弧齒錐齒輪進(jìn)行疲勞分析

大小齒輪的孔內(nèi)添加固定約束，分別對(duì)相互嚙合的一對(duì)齒面添加11 581 N的圓周力，疲勞分析結(jié)果如圖8～圖11所示。

由圖8可知，大小齒輪的齒根安全系數(shù)最低，但都大于1.25；由圖9可知，錐齒輪副的最低壽命循環(huán)次數(shù)大于1.48×105；由圖10可知，由于小齒輪的所承受扭矩更大，錐齒輪破壞最大處為小齒輪齒根處；由圖11可知，小齒輪局部的應(yīng)力集中在齒根位置，大齒輪局部應(yīng)力也基本集中在齒根位置，少部分集中在齒面上。

4 結(jié)論

本文根據(jù)某機(jī)車工況要求，基于洛-卡氏制的弧齒錐齒輪對(duì)后橋差速器進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并基于理論計(jì)算和Kisssoft軟件對(duì)差速器的弧齒錐齒輪副強(qiáng)度校核進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)二者誤差在5%以內(nèi)。再以弧齒錐齒輪的參數(shù)為變量，以錐齒輪的體積最小為目標(biāo)，基于非線性規(guī)劃優(yōu)化方法對(duì)弧齒錐齒輪副進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后錐齒輪的體積減少6.3%。根據(jù)優(yōu)化后的錐齒輪副的參數(shù)，對(duì)弧齒錐齒輪副嚙合及差速器殼體進(jìn)行有限元分析、疲勞分析，得出錐齒輪副及差速器殼體的應(yīng)力云圖、變形云圖、應(yīng)變?cè)茍D，及錐齒輪副的安全因子、壽命云圖、破壞云圖、雙軸指示云圖，根據(jù)有限元及疲勞分析仿真結(jié)果驗(yàn)證了優(yōu)化設(shè)計(jì)后的差速器滿足要求。