彭先龍，徐琪超，喬心州

(西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710054)

0 引 言

面齒輪具有重合度大、傳動平穩(wěn)且噪音小等特點[1]，主要用于汽車差速器、直升機(jī)主減速器等重要的傳動系統(tǒng)中。傳統(tǒng)上用插齒法定義面齒輪的理論齒面，因此面齒輪的各種加工方法，如銑齒、滾齒、磨齒[2-5]，都是對假想小輪(插齒刀)與面齒輪嚙合過程的模擬。導(dǎo)致各種刀具必須以假想小輪漸開線作為產(chǎn)形線，若小輪的基本參數(shù)有稍許變化，就必須重新設(shè)計、制造、修整刀具，從而刀具的適用性、通用性較差，導(dǎo)致制造成本增加。

用產(chǎn)形線為直線的平面刀具或錐面刀具(統(tǒng)稱為直刃刀具)加工面齒輪[6]，可以大幅提高刀具的通用性，加工各種規(guī)格的面齒輪。利用直刃刀具加工面齒輪有2種加工方法：其一為點接觸雙參數(shù)包絡(luò)法[7]，利用刀具外緣加工面齒輪(其可行性已得到驗證)，所加工的齒面與理論齒面完全相同，其加工效率與具有漸開線的碟形刀具加工面齒輪相當(dāng)；其二為線接觸單參數(shù)包絡(luò)法[6，8-9]，利用刀具平面加工面齒輪，屬于近似加工，為了綜合直刃刀具運(yùn)動規(guī)律，需要預(yù)設(shè)接觸路徑，由于用產(chǎn)形平面與被加工齒面的空間接觸直線代替假想小輪與理論齒面的空間接觸曲線，將引入一定的齒面偏差。因此近似齒面與理論齒面的幾何接觸特性、承載接觸特性有所不同，在近似齒面建模和幾何接觸分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步揭示近似齒面的承載接觸特性就十分必要。

LTCA可以在一定程度上反映實際應(yīng)用中的齒輪強(qiáng)度、動態(tài)品質(zhì)等性能指標(biāo)，廣泛應(yīng)用于齒輪傳動設(shè)計中[10-11]。唐進(jìn)元等人用赫茲接觸應(yīng)力確定面齒輪傳動有限元分析模型的網(wǎng)格密度，考慮了多載荷對面齒輪傳動承載特性的影響[12]。付學(xué)中等人基于自主開發(fā)的LTCA程序研究變位面齒輪傳動的承載特性，并獲得優(yōu)化的變位系數(shù)[13]。LITVIN利用商用有限元軟件研究多種面齒輪傳動的強(qiáng)度特性，以及齒面修形對強(qiáng)度特性的影響[14-15]。BARONE等人基于曲面擬合研究齒面修形參數(shù)、安裝誤差對面齒輪承載特性的影響[16]。ZANZI提出一種面齒輪傳動的齒面修形方法，并用商用有限元軟件驗證齒面修形對降低彎曲與接觸應(yīng)力的有益效果[17]。郭輝等人的LTCA結(jié)果表明蝸桿刀具拋物線修形可以有效降低面齒輪傳動的邊緣接觸[18]。方宗德等人利用LTCA程序研究弧線齒面齒輪的承載接觸特性，并考慮安裝誤差對強(qiáng)度的影響，表明弧線齒面齒輪強(qiáng)度高于直齒面齒輪[19]。

借鑒以上面齒輪傳動的LTCA方法，對比直刃刀具線接觸單參數(shù)包絡(luò)法加工的面齒輪近似齒面與插齒法定義的理論齒面的承載接觸特性的異同，分析預(yù)設(shè)接觸路徑、安裝誤差等因素對近似齒面承載接觸特性的影響，以指明基于這種加工方法的面齒輪傳動設(shè)計方向。

1 面齒輪近似齒面及TCA

表1所示為面齒輪近似齒面的傳動參數(shù)，近似齒面的具體建模過程可以參考文獻(xiàn)[8-9，20]。

表1 面齒輪基本參數(shù)

為綜合刀具運(yùn)動規(guī)律，需先預(yù)設(shè)接觸路徑。如圖1所示，cp為預(yù)設(shè)接觸路徑，L2p為平面刀具與近似齒面的接觸線，cp的傾角由η表示，其參考點Fμ位置由Rμ，Lμ這兩個參數(shù)控制[21]，3種算例的參數(shù)見表2。預(yù)設(shè)接觸路徑的具體計算過程可參考文獻(xiàn)[9]，文中只就3種算例的承載接觸特性進(jìn)行討論。

表2 預(yù)設(shè)接觸路徑參數(shù)

圖1 近似齒面的預(yù)設(shè)接觸路徑

3種算例的參考點均位于齒面中央，算例a的預(yù)設(shè)接觸路徑是面齒輪傳動修形齒面的常見接觸路徑，算例b，c是比較特殊的2種接觸路徑，分別沿齒面對角線接觸和沿齒面節(jié)錐面接觸。

根據(jù)預(yù)設(shè)接觸路徑綜合刀具運(yùn)動規(guī)律，確定直刃刀具加工的近似齒面，3種算例近似齒面如圖2藍(lán)線所示，紅線為插齒法定義的理論齒面(假想小輪與小輪齒數(shù)相同)，3種算例對應(yīng)的最小齒面偏差分別為-1.431，-1.097，-1.011 mm，最大齒面偏差均為0.000 mm。

圖2 近似齒面與理論齒面之間的偏差及TCA接觸路徑

3種算例中的近似齒面與小輪漸開線齒面嚙合的TCA接觸路徑如圖2所示，齒面接觸路徑與預(yù)設(shè)接觸路徑基本一致，若考慮邊緣接觸情況，3種算例均存在邊緣接觸，算例a、b的邊緣接觸位于齒頂齒根，算例c的邊緣接觸位于大端小端。圖3為3種算例的幾何傳動誤差，齒面接觸的傳動誤差接近于0″，邊緣接觸的傳動誤差較大，這與理論齒面和小輪漸開線齒面(假想小輪比小輪多1～3個齒)嚙合的幾何傳動誤差類似。

圖3 幾何傳動誤差

2 有限元前處理與后處理

2.1 有限元前處理

分別將面齒輪近似齒面(如圖2所示)和小輪齒面離散點坐標(biāo)變換到TCA固定坐標(biāo)系Sf中，(其變換過程和坐標(biāo)系參考文獻(xiàn)[22])，從而在LTCA和TCA中可以考慮相同的安裝誤差且能保證微米級的齒面精度；按照某一接觸點兩齒面的轉(zhuǎn)角φ1、φ2，在Sf中分別轉(zhuǎn)動面齒輪和小輪接觸齒面(對應(yīng)下文觀察齒對齒面)，對于另一側(cè)齒面也做相應(yīng)處理；分別在面齒輪和小輪的接觸齒面、另一側(cè)齒面之間利用繞各自軸線的坐標(biāo)變換填充節(jié)點，形成單齒有限元節(jié)點；分別將面齒輪、小輪單齒有限元節(jié)點繞各自軸線旋轉(zhuǎn)整數(shù)齒的轉(zhuǎn)角，形成多齒有限元節(jié)點；根據(jù)ABAQUS關(guān)于八節(jié)點六面體單元的編寫規(guī)則，分別對面齒輪、小輪多齒有限元節(jié)點依次編號，構(gòu)建8節(jié)點單元并對其編號，形成多齒有限元網(wǎng)格模型。

設(shè)置前處理條件，分別如下：材料密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.29，彈性模量為206.8 GPa；以TCA接觸齒面同側(cè)的齒面作為各齒對的主從接觸面；將小輪內(nèi)圓柱面和輪體兩側(cè)面網(wǎng)格點與其軸線上任意參考點RP-1固連，在該點施加1 600 N·m的扭矩并釋放該點繞軸線的旋轉(zhuǎn)自由度，將面齒輪底面和輪體兩側(cè)面網(wǎng)格點與其軸線上任意參考點RP-2固連并約束該點的所有自由度；選用靜力學(xué)通用算法，分析步的時長為1 s；以接觸應(yīng)力、彎曲應(yīng)力、角位移量、正應(yīng)力為場輸出量[23]。

通過編程軟件將觀察齒自嚙入至嚙出的每個接觸點的網(wǎng)格模型、前處理條件等信息輸出到單個inp文件，構(gòu)成承載接觸問題靜態(tài)有限元計算的批處理文件，利用基于Windows的批處理程序?qū)⑦@些inp文件導(dǎo)入ABAQUS并提交計算，即可無人值守的完成計算過程。由圖3可知，由黑點標(biāo)記的觀察齒對在嚙入嚙出時，其前后參與嚙合的齒對僅有2對，因此采用5齒模型即可得到準(zhǔn)確的計算結(jié)果。圖4所示為算例a中某接觸點的有限元裝配示例模型。

圖4 面齒輪傳動的有限元模型

實際計算中齒高、齒寬和齒厚方向上的節(jié)點數(shù)分別為：51，81，7，總節(jié)點數(shù)為159 732，共計133 280個單元。

2.2 有限元后處理及結(jié)果

求解結(jié)束后，通過ABAQUS內(nèi)嵌的Python語言編寫腳本文件，可獲得承載接觸印痕、齒面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力、小輪角位移量，經(jīng)適當(dāng)處理可得載荷分布系數(shù)[11]、承載傳動誤差[12]。

圖5為算例a中自齒根開始第11個接觸點的面齒輪、小輪的接觸應(yīng)力云圖，該點為三齒對嚙合狀態(tài)，三齒對都產(chǎn)生了相應(yīng)的接觸應(yīng)力，觀察齒對的接觸應(yīng)力云圖位于節(jié)錐面附近，而相鄰的齒對在齒根、齒頂處均出現(xiàn)了較明顯的邊緣接觸，且接觸應(yīng)力偏大。

圖5 面齒輪和小輪的齒面接觸應(yīng)力

2.3 有限元仿真與實驗結(jié)果的對比

上述基于編程軟件輸出面齒輪傳動有限元網(wǎng)格模型及前處理設(shè)置的方法具有較強(qiáng)的通用性，所以分別采用文獻(xiàn)[24]的表3、文獻(xiàn)[25]的表1及文獻(xiàn)[26]的表2所示面齒輪理論齒面參數(shù)構(gòu)建算例Ⅰ、算例Ⅱ、算例Ⅲ，并將算例的齒面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力最大值同文獻(xiàn)[24-26]的仿真及實驗結(jié)果進(jìn)行對比，從表3看出，其誤差最大均不超過7%。

表3 應(yīng)力結(jié)果對比

圖6(a)為文獻(xiàn)[25]的滾檢實驗結(jié)果。采用文獻(xiàn)[25]的面齒輪基本參數(shù)構(gòu)建有限元網(wǎng)格模型，并進(jìn)行TCA與LTCA分析，接觸路徑和印痕如圖6(b)所示。由于邊緣接觸位置的接觸印痕較寬，為在旋轉(zhuǎn)投影面上清晰展示承載接觸印痕，間隔一個接觸點繪制一個接觸橢圓。對比圖6(a)、圖6(b)可知算例的有限元結(jié)果與文獻(xiàn)[25]的滾檢實驗結(jié)果吻合度較高。

圖6 面齒輪接觸路徑及印痕結(jié)果

由于全部算例所采用的網(wǎng)格密度及前處理條件均相同，所以上述應(yīng)力和印痕結(jié)果間接說明了前述有限元建模方法及前處理設(shè)置的正確性。

3 計算結(jié)果及分析

3.1 對準(zhǔn)安裝的承載接觸特性

圖7所示為3種算例中面齒輪近似齒面的承載接觸印痕，與圖2相比，在齒面上TCA與LTCA的接觸路徑是相同的，但是在LTCA中，TCA的部分邊緣接觸點并未承載。盡管施加的載荷達(dá)到了1 600 N·m，3種算例中的承載接觸橢圓長度都比較短，反映出了較大的齒面接觸應(yīng)力。

圖7 承載接觸印痕

圖8為齒面接觸應(yīng)力，近似齒面和理論齒面都產(chǎn)生了不同程度的邊緣接觸，算例a，b的邊緣接觸應(yīng)力大于理論齒面的邊緣接觸應(yīng)力，算例c的邊緣接觸應(yīng)力最小。3種算例的近似齒面接觸應(yīng)力均大于理論齒面接觸應(yīng)力，反映近似齒面接觸強(qiáng)度低于理論齒面接觸強(qiáng)度，算例b的齒面接觸應(yīng)力是近似齒面3種算例中最小的。

圖8 齒面接觸應(yīng)力

圖9(a)所示為近似齒面的齒根彎曲應(yīng)力，算例a，c的最大齒根彎曲應(yīng)力接近相等，比算例b的最大齒根彎曲應(yīng)力約高23.45 MPa。3種算例中，都是當(dāng)接觸橢圓中心在節(jié)錐面附近時出現(xiàn)最大齒根彎曲應(yīng)力，表明載荷主要由節(jié)錐面附近的齒面承受。理論齒面的最大齒根彎曲應(yīng)力小于算例a，c的最大齒根彎曲應(yīng)力，但大于算例b的最大齒根彎曲應(yīng)力。

圖9(b)所示為小輪齒根彎曲應(yīng)力，在4種計算情況中小輪的最大齒根彎曲應(yīng)力總是大于面齒輪的最大齒根彎曲應(yīng)力，同樣算例b中小輪的最大齒根彎曲應(yīng)力在圖9(b)中也是最小的。

圖9 面齒輪和小輪的齒根彎曲應(yīng)力

圖10為面齒輪近似齒面與理論齒面的承載傳動誤差，其波形存在一定差異，是由于預(yù)設(shè)接觸路徑不同，嚙入嚙出過程中轉(zhuǎn)角不等所致。算例a中承載傳動誤差顯示出明顯的階躍特性，這是由于三齒到兩齒嚙合過渡區(qū)剛好位于不承載的邊緣接觸點上(如圖3所示)。從承載傳動誤差的均值上看，輪齒綜合變形最小的為面齒輪理論齒面(均值為-9.85″)，其次為算例b(均值為-11.57″)。從承載傳動誤差的幅值上看，理論齒面的波動幅度最小(幅值為1.95″)，其次為算例b(幅值為2.21″)。因此算例b的綜合嚙合剛度變化、沖擊與振動強(qiáng)度均小于算例a,c，但大于理論齒面的情況。

圖10 承載傳動誤差

3.2 安裝誤差對承載接觸特性的影響

限于篇幅，且由于在面齒輪傳動中軸夾角、軸向和偏置安裝誤差對嚙合特性的影響彼此相似，而軸夾角安裝誤差Δγ對嚙合特性的影響較明顯，算例a的預(yù)設(shè)接觸路徑是面齒輪傳動修形齒面常見的接觸路徑，因此以算例a為例考察軸夾角安裝誤差Δγ對面齒輪近似齒面承載接觸特性的影響，并與理論齒面的承載特性進(jìn)行對比。

圖11所示為軸夾角安裝誤差對齒面接觸應(yīng)力的影響，對于近似齒面，負(fù)值軸夾角安裝誤差使邊緣接觸應(yīng)力急劇增大(從左側(cè)縱坐標(biāo)軸看)，正值軸夾角安裝誤差則使邊緣接觸應(yīng)力有所減小。隨軸夾角安裝誤差絕對值的增大近似齒面接觸應(yīng)力相應(yīng)增大(從右側(cè)縱坐標(biāo)軸看)，而負(fù)、正值軸夾角安裝誤差分別使理論齒面接觸應(yīng)力增加和略有減小。

圖11 安裝誤差對接觸應(yīng)力的影響

圖12所示為齒根彎曲應(yīng)力隨軸夾角安裝誤差的變化情況，負(fù)值軸夾角安裝誤差使近似齒面齒根彎曲應(yīng)力先減小后增大，正值軸夾角安裝誤差使近似齒面齒根彎曲應(yīng)力按線性規(guī)律增大。理論齒面的齒根彎曲應(yīng)力隨軸夾角安裝誤差的變化曲線類似開口向下對稱軸為Δγ=0.01°的拋物線。

圖12 安裝誤差對齒根彎曲應(yīng)力的影響

如圖13所示，在軸夾角安裝誤差的作用下，面齒輪近似齒面算例a的承載傳動誤差由階躍波形變化為鋸齒波，并且其幅值和均值都明顯增大或減小，幅值由2.29″分別增加到4.77″和7.84″(從左側(cè)縱坐標(biāo)軸看)，均值由-13.86″分別減小到-25.79″和-25.93″(從右側(cè)縱坐標(biāo)軸看)，說明嚙合剛度的波動幅度變大，輪齒承載嚙合變形增大，剛度減小，預(yù)示沖擊振動趨勢增強(qiáng)，另一方面也說明輪齒承載嚙合接觸面積減小。

圖13 安裝誤差對承載傳動誤差的影響

如圖13所示，在軸夾角安裝誤差的作用下，面齒輪理論齒面的承載傳動誤差幅值均有所增加，均值有增有減，總體上它們變化的幅度均小于算例a。

4 結(jié) 論

1)提出了一種基于編程軟件輸出面齒輪傳動有限元網(wǎng)格模型及前處理設(shè)置的方法，將inp文件批處理導(dǎo)入有限元軟件ABAQUS中求解承載接觸問題，提高了齒面重構(gòu)和安裝精度，能夠充分考慮齒面修形、安裝誤差對面齒輪承載接觸特性的影響。

2)對3組不同面齒輪基本參數(shù)的理論齒面進(jìn)行有限元仿真分析，并將分析結(jié)果與文獻(xiàn)中的仿真及實驗結(jié)果進(jìn)行對比，間接證明了文中所述建模方法及前處理設(shè)置的正確性。

3)在直刃刀具加工的面齒輪近似齒面建模和TCA的基礎(chǔ)上，計算了由3種不同預(yù)設(shè)接觸路徑綜合出的近似齒面的承載接觸問題，幾何接觸路徑與承載接觸路徑相同，若不考慮邊緣接觸，從齒面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力、承載傳動誤差等方面考慮，按齒面對角線預(yù)設(shè)接觸路徑(算例b)綜合刀具運(yùn)動規(guī)律進(jìn)而加工面齒輪近似齒面，最可取。

4)與面齒輪理論齒面相比，近似齒面的接觸強(qiáng)度低，合理選取預(yù)設(shè)接觸路徑可使得近似齒面的齒根彎曲強(qiáng)度高于理論齒面。

5)安裝誤差對面齒輪近似齒面承載接觸特性的影響高于理論齒面，并導(dǎo)致接觸強(qiáng)度、彎曲強(qiáng)度降低，加劇沖擊與振動。