譚 頓, 陶建峰, 陳良深, 王旭永

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院， 上海 200240)

凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)具有體積小、結(jié)構(gòu)工藝簡單、輸出轉(zhuǎn)矩小、瞬時流量脈動小、工作壽命長、轉(zhuǎn)動慣量小以及動作靈敏等特點，在全液壓三軸無磁轉(zhuǎn)臺等領(lǐng)域凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)得到了廣泛應(yīng)用[1-4].

文獻(xiàn)[5]建立了凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)阻力矩的數(shù)學(xué)模型，為馬達(dá)在控制策略上的摩擦補償?shù)却胧┨峁┝艘欢ǖ膮⒖?文獻(xiàn)[6]研究了葉片端面對葉片與凸輪轉(zhuǎn)子之間正壓力和阻力矩的影響.文獻(xiàn)[7]討論了凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)干擾力矩與過渡曲線中心角的關(guān)系.文獻(xiàn)[8]證明了干擾力矩是基于凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)工作原理的脈動轉(zhuǎn)矩，可減小葉片厚度以及減壓油路壓力，從而減小干擾轉(zhuǎn)矩.在保證加工以及潤滑良好的情況下，葉片與凸輪轉(zhuǎn)子之間正壓力和摩擦力是馬達(dá)低速特性的決定性因素[9].葉片與葉片槽之間的摩擦系數(shù)會影響凸輪轉(zhuǎn)子施加于葉片的正壓力以及葉片施加于凸輪轉(zhuǎn)子的阻力矩，從而影響馬達(dá)轉(zhuǎn)矩特性.

目前，對于馬達(dá)轉(zhuǎn)矩特性的研究大多集中在馬達(dá)結(jié)構(gòu)設(shè)計方面，例如設(shè)計不同的葉片端面、葉片厚度和過渡曲線中心角.此外，已有的研究對凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)干擾力矩的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真時，馬達(dá)葉片與葉片槽之間的摩擦系數(shù)被設(shè)置為定值，忽略摩擦系數(shù)對馬達(dá)轉(zhuǎn)矩特性的影響.本文建立了基于凸輪轉(zhuǎn)子連續(xù)回轉(zhuǎn)電液伺服葉片馬達(dá)的轉(zhuǎn)矩力學(xué)模型，推導(dǎo)了凸輪轉(zhuǎn)子阻力矩與葉片和葉片槽之間摩擦系數(shù)的關(guān)系式，并進(jìn)行了仿真與實驗.本研究可為馬達(dá)葉片材料的選擇提供一定的理論依據(jù).

1 凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)結(jié)構(gòu)原理

凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)的結(jié)構(gòu)如圖1所示.互相垂直的左、右凸輪轉(zhuǎn)子與主軸通過鍵聯(lián)接，凸輪轉(zhuǎn)子長徑和定子內(nèi)孔系滑動配合.凸輪轉(zhuǎn)子將作用在凸輪外表面的高壓油產(chǎn)生的驅(qū)動力矩傳遞至主軸，從而驅(qū)動連接至主軸的負(fù)載.

圖1 凸輪轉(zhuǎn)子葉片馬達(dá)的結(jié)構(gòu)原理圖Fig.1 Structural schematic diagram of cam-rotor vane motor

馬達(dá)腔內(nèi)兩個定子和兩個凸輪轉(zhuǎn)子被定子之間的隔板隔開，形成封閉腔.凸輪轉(zhuǎn)子馬達(dá)運轉(zhuǎn)時，葉片在定子上的葉片槽內(nèi)徑向運動.葉片根部的減壓油對葉片施加壓力，使葉片與凸輪轉(zhuǎn)子保持貼合.因此葉片隔離了吸、壓油腔.凸輪轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)一圈就完成吸壓油各兩次.兩個凸輪在空間上呈90°，使得馬達(dá)在 360° 內(nèi)始終等效作用有1個恒值驅(qū)動力矩，該力矩由凸輪轉(zhuǎn)子在吸、壓油腔壓差作用下產(chǎn)生.若凸輪轉(zhuǎn)子施加于葉片的正壓力過小，將會影響到凸輪轉(zhuǎn)子與葉片的緊密貼合，甚至造成兩者脫離，引起馬達(dá)故障.若葉片施加于凸輪轉(zhuǎn)子的阻力矩相對于對馬達(dá)輸出力矩的影響已經(jīng)不能忽略，將造成馬達(dá)輸出力矩波動明顯，嚴(yán)重影響馬達(dá)的低速特性.

2 葉片受力分析

2.1 凸輪轉(zhuǎn)子過渡曲線

凸輪轉(zhuǎn)子的輪廓如圖2所示.圖中，葉片11與葉片12為左凸輪上的一對葉片；葉片21與葉片22為右凸輪上的一對凸輪；φ為凸輪轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角；ω為凸輪轉(zhuǎn)子角速度；R和r分別為大、小圓弧的半徑；ρ1和ρ2分別為葉片11、21處的凸輪曲率半徑.兩段大圓弧和兩段小圓弧以及4個過渡曲線組成了凸輪轉(zhuǎn)子的輪廓曲線.大圓弧和小圓弧所對應(yīng)的中心角相等，記為β.過渡曲線的中心角相等，記為α，滿足α+β=90°.為了簡化分析過程，將兩個凸輪轉(zhuǎn)子上的兩對葉片及其相對位置疊加在一個凸輪轉(zhuǎn)子上.

圖2 凸輪轉(zhuǎn)子輪廓示意圖Fig.2 Outline of the cam-rator

本文中凸輪轉(zhuǎn)子過渡曲線選用二次余弦曲線：

(1)

0≤φ≤α

2.2 葉片受力分析

葉片運動時的加速度不大，且其質(zhì)量較輕，因此慣性力可以忽略.設(shè)定馬達(dá)順時針旋轉(zhuǎn).當(dāng)葉片處于凸輪轉(zhuǎn)子圓弧段時受力情況比較簡單，本文僅對葉片處于過渡曲線段(0≤φ≤α)的受力情況進(jìn)行分析.

當(dāng)葉片處于過渡曲線段時，其受力情況如圖3所示.圖中Fi1和Fi8分別為葉片上、下端面所受的壓力(i=1代表左凸輪，i=2代表右凸輪，下同)；Fi3和Fi4為葉片槽表面對葉片的正壓力；Fi2和Fi5為葉片槽表面對葉片產(chǎn)生的摩擦力；Fi6和Fi7分別為凸輪轉(zhuǎn)子對葉片的摩擦力和正壓力；Fi9為葉片處于油腔段側(cè)面所受液壓力；γ1和γ2分別為左、右凸輪上的壓力角.

圖3 葉片受力分析示意圖Fig.3 Schematic diagram of force analysis of the vane

由圖3可知：

式中：s為葉片厚度；b為葉片寬度;pa、pb以及pc分別為進(jìn)油口油壓、減壓閥出口油壓以及回油口油壓.

首先對左凸輪進(jìn)行分析，建立圖中所示的直角坐標(biāo)系，由受力平衡條件可以得到x方向上力的平衡條件為

F14+F19=F13+F16cosγ1+F17sinγ1

(5)

y方向上力的平衡條件為

F11+F12+F15+F16sinγ1=F18+F17cosγ1

(6)

以葉片和凸輪之間的接觸點作為中心點建立轉(zhuǎn)矩平衡方程：

(7)

式中：h為葉片槽長度.聯(lián)立式(2)～(7)可得：

F17=[F19(R+h-ρ1)f+h(F11-F18)]/

[(2fcosγ1+2sinγ1)(R-ρ1)f+

h(f2+1)cosγ1]

(8)

式中：f為材料摩擦系數(shù).

對右凸輪進(jìn)行類似的分析，同理可得：

F27=[F29(R+h-ρ2)f-h(F21-F28)]/

[(2fcosγ2-2sinγ2)(R-ρ2)f+

h(f2cosγ2-cosγ2-2fsinγ2)]

(9)

葉片對凸輪轉(zhuǎn)子的阻力矩主要來自正壓力和摩擦力，左、右凸輪轉(zhuǎn)子對葉片的正壓力產(chǎn)生的阻力矩分別為

摩擦力產(chǎn)生的阻力矩分別為

M12=-fF17ρ1cosγ1

(12)

M22=-fF27ρ2cosγ2

(13)

由于每個凸輪有兩個葉片，所以葉片對凸輪轉(zhuǎn)子的總干擾阻力矩為

Ms=2(M11+M12+M21+M22)

(14)

聯(lián)立式(10)～(14)可以得到：

Ms=2F17r1(sinγ1-fcosγ1)-

2F27r2(sinγ2+fcosγ2)

(15)

3 仿真與結(jié)果分析

馬達(dá)的相關(guān)參數(shù)為：R=45 mm，r=39 mm，s=3 mm，b=25 mm，h=15 mm，油源壓力ps=5 MPa，并設(shè)定pa=5 MPa，pc=0.

改變材料的摩擦系數(shù)的值，利用第2節(jié)中的葉片受力分析結(jié)果，通過MATLAB仿真得到不同f下葉片受到凸輪轉(zhuǎn)子的正壓力和凸輪轉(zhuǎn)子受到葉片的阻力矩的變化情況分別如下：

(1)f對葉片所受正壓力的影響(取pb=5 MPa)

圖4為不同f條件下凸輪轉(zhuǎn)子對葉片正壓力的變化曲線圖.可以看出，葉片處于不同的曲線段時，f對正壓力的影響情況不同.當(dāng)φ為0°～45° 時，隨著f的增大，凸輪轉(zhuǎn)子對葉片的正壓力不斷增大；當(dāng)φ為45°～90° 和135°～180° 時，f對正壓力影響比較??；當(dāng)φ為 90°～135° 時，隨著f的增大，凸輪轉(zhuǎn)子對葉片的正壓力不斷減小.

圖4 不同f條件下凸輪轉(zhuǎn)子對葉片正壓力變化Fig.4 Positive pressure curve of cam-rotor applied to vane under different friction coefficients

圖5 F17的平均值和最小值與f關(guān)系曲線Fig.5 The relationship between the average value and minimum value of F17 and friction coefficient

(2)f對阻力矩的影響(取pb=5 MPa)

圖6 不同f時葉片對凸輪轉(zhuǎn)子總阻力矩變化Fig.6 The variation of resistance torque applied by vane to the cam-rotor under different friction coefficients

圖7 馬達(dá)理論轉(zhuǎn)矩和合成轉(zhuǎn)矩比較(f=0.1)Fig.7 Comparison of motor theoretical torque and combined torque (f=0.1)

圖8 Ms，max和與f關(guān)系曲線Fig.8 The relationship between Ms，max, and f

因此，在加工條件允許的情況下，應(yīng)該盡量提高葉片和葉片槽的形位公差和表面粗糙度，減小其材料摩擦系數(shù)，從而達(dá)到改善伺服馬達(dá)性能的目的.

4 試驗結(jié)果

基于上述馬達(dá)葉片摩擦系數(shù)對馬達(dá)阻力矩的分析，本文對試制的凸輪轉(zhuǎn)子液壓伺服馬達(dá)的葉片和葉片槽加工質(zhì)量進(jìn)行了有針對性的控制，并進(jìn)行了該馬達(dá)的低速實驗測試.凸輪轉(zhuǎn)子馬達(dá)驅(qū)動負(fù)載，用22位光柵編碼器作角位置反饋傳感器.馬達(dá)實驗系統(tǒng)的外觀和馬達(dá)葉片的側(cè)面分別見圖9和10.

圖9 帶負(fù)載的凸輪轉(zhuǎn)子馬達(dá)伺服系統(tǒng)Fig.9 Cam-rotor motor servo system with load

圖10 葉片和葉片槽實物圖Fig.10 Physical picture of vanes and vane slots

對馬達(dá)葉片和葉片槽進(jìn)行配合研磨以降低摩擦系數(shù).馬達(dá)伺服控制系統(tǒng)的采樣頻率為1 kHz.輸入信號為0.001 °/s的低速斜坡信號，得到馬達(dá)葉片和葉片槽配合研磨之前、之后馬達(dá)實時位置跟隨曲線,如圖11及12所示.

圖11 研磨前輸入為0.001°/s的斜坡信號時系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.11 Response curve of the system when the input is a ramp signal of 0.001°/s before being ground

圖12 研磨后輸入為0.001°/s的斜坡信號時系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.12 Response curve of the system when the input is a ramp signal of 0.001°/s after being ground

實驗表明，經(jīng)過葉片和葉片槽研磨后的凸輪轉(zhuǎn)子伺服馬達(dá)低速性能有所改善.圖13和14分別為對馬達(dá)葉片和葉片槽進(jìn)行配合研磨之前、之后馬達(dá)低速跟隨時的角位置誤差(E).圖13中位置誤差在±0.001°.圖14中位置誤差控制在 ±0.000 5°.這表明，經(jīng)過葉片和葉片槽精磨后的凸輪轉(zhuǎn)子伺服馬達(dá)阻力矩波動較小，馬達(dá)輸出力矩波動也較小，有助于改善馬達(dá)的低速性能.

圖13 研磨前輸入為0.001°/s的斜坡信號時系統(tǒng)跟蹤誤差曲線Fig.13 System tracking error curve when the input is a ramp signal of 0.001°/s before being ground

圖14 研磨后輸入為0.001°/s的斜坡信號時系統(tǒng)跟蹤誤差曲線Fig.14 System tracking error curve when the input is a ramp signal of 0.001°/s after being ground

5 結(jié)論

(1) 材料摩擦系數(shù)會影響凸輪轉(zhuǎn)子和葉片之間的正壓力.當(dāng)葉片處于凸輪轉(zhuǎn)子的不同位置時，材料摩擦系數(shù)對其影響程度不同.隨著材料摩擦系數(shù)的增大，凸輪轉(zhuǎn)子和葉片之間正壓力的最小值不斷減小.當(dāng)材料摩擦系數(shù)達(dá)到一定數(shù)值，凸輪轉(zhuǎn)角為 90°～135° 時，正壓力最小值出現(xiàn)負(fù)值，馬達(dá)高壓腔和低壓腔串通，馬達(dá)因吸、壓油腔無法建立起壓差而喪失驅(qū)動能力.

(2) 隨著材料摩擦系數(shù)增大，葉片對凸輪轉(zhuǎn)子的阻力矩的平均值和最大值均增大，導(dǎo)致馬達(dá)輸出力矩出現(xiàn)明顯波動.摩擦系數(shù)的增大不利于馬達(dá)低速性能的改善.

(3) 仿真計算表明，葉片與葉片槽之間的摩擦系數(shù)與凸輪轉(zhuǎn)子馬達(dá)阻力矩基本呈線性正相關(guān).

(4) 實驗結(jié)果表明，對葉片和葉片槽采取研磨等措施降低摩擦阻力，有利于改善對馬達(dá)的低速性能.