張芳芳，段永川，高安娜

(1.燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室(燕山大學(xué))，河北 秦皇島 066004)

0 引言

編織復(fù)合材料是由兩股或多股纖維束在空間按一定規(guī)則相互編織纏繞，形成編織預(yù)制件后，經(jīng)樹脂浸漬固化而成。成型過程中纖維束保持連續(xù)，成型件的整體性能好，并具有比模量大、比強度高以及性能可設(shè)計等突出優(yōu)點[1]，在航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2]。但航天環(huán)境晝夜溫差大，容易使編織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件產(chǎn)生一定的變形和內(nèi)應(yīng)力，進而影響結(jié)構(gòu)件間的連接匹配和安裝精度，因此編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)和熱膨脹性能的預(yù)測及設(shè)計研究具有重要的意義。

目前許多學(xué)者通過有限元方法建立細(xì)觀模型從而研究其熱物理性能[3-4]。程偉等[5]建立了一種單胞模型，稱之為簡化“米”字型，應(yīng)用于復(fù)合材料導(dǎo)熱性能的研究。劉振國等[6]為了預(yù)測材料的熱學(xué)性能，建立了一種更加貼近實際工程的單胞模型，基于該模型對三維四向編織復(fù)合材料在熱載荷下的熱學(xué)性能進行了模擬預(yù)測。而Soheil[7]從細(xì)觀尺度出發(fā)，運用有限單元法，創(chuàng)建了細(xì)觀的單胞模型，應(yīng)用于三維復(fù)合材料的等效熱膨脹系數(shù)的獲取。夏彪等[8]基于有限單元方法，選取了三維四向和三維五向兩種復(fù)合材料，研究了固定角度下的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)和等效熱膨脹系數(shù)。姜黎黎[3]采用螺旋型纖維等效模型研究了熱載荷對三維四向編織復(fù)合材料拉伸性能的影響。目前學(xué)者們采用的模型有兩點要求：一是要求纖維束與基體界面處節(jié)點共用；二是要求單胞模型相對面上節(jié)點一一對應(yīng)。同時基體是由流動到纖維束相互擠壓縫隙中的樹脂固化而成，為空間多邊形的復(fù)雜體(如圖1(b)所示)。這樣建立單胞模型時很難自動完成網(wǎng)格劃分，需要反復(fù)調(diào)整網(wǎng)格密度。成功的模型往往計算規(guī)模較大，如果進一步對復(fù)合材料的熱物理性能進行優(yōu)化將更加困難。迫切需要尋找新的方法預(yù)測復(fù)合材料熱物理性能。

本文提出基于耦合思想的編織復(fù)合材料熱學(xué)性能快速預(yù)測方法，在該方法中，利用數(shù)學(xué)約束方程替代纖維束與基體界面處節(jié)點共用的網(wǎng)格約束，放松了原模型中的第一條要求。在邊界上通過耦合關(guān)系轉(zhuǎn)化了周期性邊界條件，放松了原模型中的第二條要求。同時整體區(qū)域模型采用六面體為主的網(wǎng)格劃分，提高了計算精度、降低了計算規(guī)模。利用該方法對三維四向編織復(fù)合材料熱物理性能進行了快速預(yù)測，經(jīng)與試驗和傳統(tǒng)方法對比，驗證了該方法的精度和可行性，同時為提高復(fù)合材料優(yōu)化設(shè)計的效率奠定了基礎(chǔ)。

圖1 復(fù)合材料共節(jié)點網(wǎng)格模型建立過程

Fig.1 Process of establishing composite co-node mesh model

1 單胞模型的建立

1.1 網(wǎng)格模型的建立

首先采用六面體網(wǎng)格建立編織復(fù)合材料中的纖維束模型，利用編制的網(wǎng)格切割程序提取單胞區(qū)域內(nèi)的纖維束模型，當(dāng)六面體單元經(jīng)過單胞模型的邊界面切割提取時，余下的部分可以采用六面體、三棱柱或者四面體單元重新進行網(wǎng)格劃分，根據(jù)切割面與單元的位置關(guān)系，一共有14種相對位置關(guān)系；當(dāng)三棱柱單元再次被單胞邊界面切割提取時，切割面與單元的相對位置關(guān)系共有19種；當(dāng)四面體單元再次被單胞邊界面切割提取時，切割面與單元的相對位置關(guān)系共有3種。根據(jù)這些單元可能的被切割情況，進行單元結(jié)構(gòu)形式的重新構(gòu)建，并編寫了相應(yīng)程序[9]，在該程序中，通過讀入模型的單元節(jié)點坐標(biāo)、單元節(jié)點連接關(guān)系和要進行切割提取的單胞邊界面坐標(biāo)，該程序便可進行自動的判斷和網(wǎng)格重組劃分，并最終輸出為有限元軟件可快速讀入的代碼數(shù)據(jù)文件。本文利用該方法進行單胞模型區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格模型的切割提取。為了便于觀看，此處只顯示一個方向的纖維束模型提取，如圖2所示。

圖2 纖維束切割提取過程示意圖

Fig.2 Schematic diagram of fiber bundle extraction process

將切割提取出的增強相模型與整體區(qū)域模型疊合，得到復(fù)合材料單胞網(wǎng)格模型。如圖3所示。

圖3 基于耦合思想的單胞網(wǎng)格模型建立過程

Fig.3 Process of establishing composite unit cell mesh model by coupling method

1.2 自由度協(xié)調(diào)關(guān)系的處理

從圖3模型建立過程中可以看出，增強相網(wǎng)格和整體區(qū)域網(wǎng)格在空間上會存在區(qū)域的重疊，因此在疊合區(qū)域內(nèi)節(jié)點的自由度會被重復(fù)定義，需要協(xié)調(diào)自由度。本文基于耦合法，對單胞模型重合區(qū)域自由度進行協(xié)調(diào)處理，處理的對象分別是增強相和整體區(qū)域這兩個模型，對兩者形狀函數(shù)、位移場以及溫度場的協(xié)調(diào)處理分別如式(1)～(3)所示：

(1)

其中，x、y、z為增強相單元節(jié)點在整體區(qū)域單元中的形狀函數(shù)；xi、yi、zi和Ni分別為整體區(qū)域的單元節(jié)點坐標(biāo)和形狀函數(shù)值；m為整體區(qū)域單元節(jié)點個數(shù)。

(2)

其中，ui，vi，wi為整體區(qū)域單元的節(jié)點位移，u、v、w為增強相單元節(jié)點位移。

(3)

其中，T和Ti分別為增強相和整體區(qū)域的單元節(jié)點溫度。

1.3 材料熱學(xué)性能匹配

復(fù)合材料由增強相和基體相組成，在建模過程中需要對兩相的網(wǎng)格模型分別賦予增強相和基體相材料屬性。從圖3建模過程中可見，由于整體區(qū)域網(wǎng)格與增強相網(wǎng)格重疊區(qū)域的基體材料屬性的存在，使得單胞網(wǎng)格模型中，產(chǎn)生了附加剛度，故需要對增強相單元剛度進行修正，修正公式為

(4)

2 單胞模型溫度場周期性邊界條件

六面體單胞模型如圖4所示，建立坐標(biāo)系，分別對它的12條棱和8個頂點進行命名，對應(yīng)單胞模型的各邊及節(jié)點。為了便于有限元軟件處理計算，將施加在節(jié)點的溫度載荷與單胞網(wǎng)格模型的某一方向的自由度進行對應(yīng)并逐一進行替換。即三維空間中三個坐標(biāo)軸上的節(jié)點溫度載荷與對應(yīng)的自由度替換：x軸方向與節(jié)點4對應(yīng)，y軸方向與節(jié)點5對應(yīng)，z軸方向與節(jié)點2對應(yīng)。為了便于溫度載荷的施加，令節(jié)點1上的溫度T1為0，三個坐標(biāo)方向的平面約束方程為

(5)

對于x=x1和x=x2與y=y1和y=y2面的相交棱邊l1～l4上，應(yīng)分別滿足

(6)

對于x=x1和x=x2與z=z1和z=z2面的相交棱邊l5～l8上，應(yīng)分別滿足

(7)

對于y=y1和y=y2與z=z1和z=z2面的相交棱邊上l9～l12，應(yīng)分別滿足

(8)

對角節(jié)點約束方程，變換為

(9)

圖4 六面體單胞模型邊及節(jié)點標(biāo)號

Fig.4 Signs of hexahedral unit cell model edges and nodes

3 傳熱及熱膨脹系數(shù)的計算方法

材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)Ki隨著單胞模型施加的邊界條件的不同而變化，建立邊界條件與Ki的函數(shù)關(guān)系，即可求出不同情況下的Ki，公式如下

(10)

其中，qi為熱流輸出面在i方向的平均熱流密度，ai為單胞i方向的邊長，溫度差ΔT為用戶輸入?yún)?shù)。由于未涉及非線性問題，因此在計算材料的等效熱物理性能時不需要考慮ΔT的取值大小。

進行溫度周期邊界條件施加時，只需在單胞模型中的4、5和2節(jié)點上施加溫度載荷即可。將這三個節(jié)點的溫度載荷分別代入到式(10)，可得單胞模型在x,y、z三個方向的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)

(11)

單胞模型在x、y、z三個主軸方向的等效熱膨脹系數(shù)為

(12)

其中，u41、u51、u21分別表示節(jié)點4、5、2在x方向的位移。

纖維與樹脂材料相互混合形成的束狀的混合物定義為纖維束。纖維束的橫向?qū)嵝阅軈?shù)，可通過Hashin的上限估計公式[10]求得，即

(13)

纖維束縱向?qū)嵝阅軈?shù)用混合定律公式[10]來確定，即

KL=Kf 1Vf+Km(1-Vf),

(14)

利用Schapery(SH)公式計算纖維束的熱膨脹系數(shù)[11]

(15)

α2=(1+μm)αm(1-Vf)+

(1+μf12)αf1Vf-αf1μf12,

(16)

其中，Kf1，Kf2，Km分別為纖維束軸向、橫向以及基體的導(dǎo)熱系數(shù)，Vf為纖維束中的纖維體積百分比，上標(biāo)+表示上限值，μm,μf12，分別為基體的泊松比和纖維的主泊松比，αf 1,αf 2分別為纖維的軸向和橫向熱膨脹系數(shù)，αm為基體的熱膨脹系數(shù)。

4 有限元分析結(jié)果的驗證與對比

為驗證本文采用耦合法預(yù)測復(fù)合材料熱物理性能的正確性，本文采用三維四向編織復(fù)合材料試件，進行熱膨脹系數(shù)測試試驗。

三維四向編織復(fù)合材料的組成成分是T300纖維和環(huán)氧樹脂，熱物理性能參數(shù)見表1[5]。

采用全橋方式連接應(yīng)變片，利用因瓦合金(又名不脹鋼)進行溫度補償。貼片位置示意圖如圖5所示，其中應(yīng)變片1、2、3、4組成全橋電路，用于測量試件的軸向熱應(yīng)變；應(yīng)變片5、6、7、8組成全橋電路,用于測量復(fù)合材料試件的橫向熱應(yīng)變。

表1 組分材料熱物理性能參數(shù)

Tab.1 Thermo-physical properties of constituents

材料熱傳導(dǎo)系數(shù)W·K-1·m-1熱膨脹系數(shù)10-6K-1K11K22α11α22T300纖維8.001.00-0.33.1環(huán)氧樹脂0.180.1831.731.7

圖5 應(yīng)變片粘貼位置示意圖

Fig.5 Schematic diagram of the position of strain gauges

復(fù)合材料試件與因瓦合金組成的全橋電路如圖6所示。

圖6 應(yīng)變片組成的全橋電路圖

Fig.6 Full-bridge circuit diagram composed of strain gauges

圖6中C代表在復(fù)合材料試件上粘貼的應(yīng)變片，I代表在因瓦合金上粘貼的應(yīng)變片，UI為輸入端電壓，UO為測量端電壓。當(dāng)環(huán)境溫度改變時，應(yīng)變片的阻值會因為溫度的變化而發(fā)生改變，從而引起測量端電壓的改變，若將因瓦合金上的應(yīng)變片與復(fù)合材料試件上的應(yīng)變片并聯(lián)，當(dāng)環(huán)境溫度改變時，粘貼在因瓦合金上的應(yīng)變片與粘貼在復(fù)合材料試件上的應(yīng)變片的阻值發(fā)生相同的改變，因此測量端電壓不變化，消除了由于應(yīng)變片本身阻值改變而引起的附加應(yīng)變。

復(fù)合材料熱物理性能試驗現(xiàn)場如圖7所示，進行復(fù)合材料試件的等效熱膨脹系數(shù)測量時，采用德國INSPEKT Table100 kN電子萬能高溫試驗機，利用德維創(chuàng)動態(tài)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對應(yīng)變進行記錄測量。

圖7 熱物理性能測試平臺

Fig.7 Thermal physical performance test platform

首先對因瓦合金的溫度補償性能進行測試，在單獨的因瓦合金上采用全橋方式粘貼應(yīng)變片，將恒溫箱中的溫度從室溫逐漸升高到42 ℃左右，溫度保持一段時間后，繼續(xù)升溫到62 ℃左右，記錄整個過程中因瓦合金的應(yīng)變曲線，發(fā)現(xiàn)上下波動量小于1×10-6ε，驗證了因瓦合金的溫度補償性能。

將貼好應(yīng)變片的復(fù)合材料試件與因瓦合金一同放入測試環(huán)境中，通過溫度控制箱，將保溫箱中溫度從室溫逐漸升高到42 ℃，保持此溫度不變，待試件變形穩(wěn)定一段時間后，再將溫度逐漸升高到62 ℃，記錄沿復(fù)合材料試件軸向和橫向的應(yīng)變。試驗重復(fù)3次，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性較好，選取其中一組試驗數(shù)據(jù)曲線如圖8所示。

分別取42 ℃和62 ℃溫度保持期時復(fù)合材料試件的平均應(yīng)變，利用式(12)計算復(fù)合材料試件的熱膨脹系數(shù)。測得復(fù)合材料試件橫向熱膨脹系數(shù)為5.01×10-6K-1，軸向熱膨脹系數(shù)為-1.09×10-6K-1。

采用耦合法建立與試驗試件相同編織角即編織角為19.2°的三維四向編織復(fù)合材料模型，數(shù)值預(yù)測的橫向熱膨脹系數(shù)為4.76×10-6K-1，與試驗結(jié)果相差5.25%；數(shù)值預(yù)測的軸向熱膨脹系數(shù)為-1.01×10-6K-1，與試驗結(jié)果相差7.92%。

圖8 三維四向編織復(fù)合材料熱膨脹性能測試曲線

Fig.8 Test curve of thermal expansion performance of three-dimensional four-directional braided composites

將采用耦合法分析預(yù)測的材料熱傳導(dǎo)和熱膨脹系數(shù)，與采用傳統(tǒng)方法預(yù)測的結(jié)果進行對比，如表2所示。

表2 基于耦合法與傳統(tǒng)方法預(yù)測的熱物理性能結(jié)果對比

Tab.2 Comparison of thermo-physical properties predicted using cupling method and traditional FEM

傳統(tǒng)有限元法(收斂結(jié)果)耦合法粗網(wǎng)格中等密度網(wǎng)格細(xì)網(wǎng)格(收斂結(jié)果)相對誤差節(jié)點數(shù)132758121112900954348—單元數(shù)714407108492710352379—Kx/(W·K-1·m-1)0.820.790.810.820.0%Ky/(W·K-1·m-1)0.850.820.840.850.0%Kz/(W·K-1·m-1)4.094.074.094.100.2%αx/(10-6K-1)4.734.714.744.760.6%αy/(10-6K-1)4.734.714.744.760.6%αz/(10-6K-1)-1.00-0.87-1.00-1.011.0%

其中，采用耦合法建立的單胞模型，隨著網(wǎng)格密度的逐漸增大，模型對材料熱物理性能的預(yù)測結(jié)果沒有明顯差距，可認(rèn)為獲得收斂解。兩種方法預(yù)測結(jié)果之間的相對誤差較小，且本文建立的模型中耦合法的計算規(guī)模僅為傳統(tǒng)方法的40%，進一步驗證了耦合法用于復(fù)合材料熱物理性能分析的快速性。

另外，對表2中的數(shù)據(jù)進行橫觀比較，不難發(fā)現(xiàn)，所示的熱物理性能具有橫觀各向同性，分析認(rèn)為材料的截面屬性和形狀特征都會影響材料物理性能參數(shù)的分布特性及數(shù)值大小，其橫觀各向同性特征本質(zhì)上是由于材料的橫截面具有對稱性。

4 結(jié)論

1)提出了預(yù)測編織復(fù)合材料熱物理性能的耦合方法，模型采用六面體為主的網(wǎng)格劃分，建立了增強相單元與整體區(qū)域單元網(wǎng)格的溫度場自由度協(xié)調(diào)關(guān)系、增強相與整體區(qū)域疊合后的熱學(xué)性能匹配方法。

2)構(gòu)造了單胞模型的表面、棱邊上的節(jié)點與角節(jié)點之間的耦合關(guān)系，實現(xiàn)了僅在角節(jié)點處施加溫度載荷來完成整個單胞模型邊界條件的快速建立。

3)建立了復(fù)合材料試件熱膨脹性能測試及溫度補償實驗系統(tǒng)，在測試溫度范圍內(nèi)該系統(tǒng)的應(yīng)變偏差小于1×10-6ε，驗證了該系統(tǒng)的可靠性；經(jīng)數(shù)值預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果的對比，驗證了數(shù)值預(yù)測方法的可行性和正確性，為編織復(fù)合材料熱物理性能的快速優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。