黃 達(dá)，魏 亞，郭為強(qiáng)，汪林兵

(1.清華大學(xué) 土木工程系，土木工程安全與耐久教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2.北京科技大學(xué) 國家材料服役安全科學(xué)中心，北京 100083)

0 引言

道路結(jié)構(gòu)持續(xù)受到車輛的振動、沖擊荷載作用，這些機(jī)械能若不能被利用將直接使道路受迫振動與變形，甚至是疲勞破壞，并最終以內(nèi)能的形式散失。因此，利用能量收集技術(shù)吸收機(jī)械能并轉(zhuǎn)化為交通附屬設(shè)施可利用的電能[1]，是實(shí)現(xiàn)廢棄能量向高效潔凈、可利用的能量轉(zhuǎn)化的有效途徑。由壓電換能器、能量收集電路等電路元件組合形成的路面振動能量收集系統(tǒng)，可有效地將環(huán)境中的振動機(jī)械能轉(zhuǎn)換成可供低能耗電子器件利用的電能[2]。

介質(zhì)損耗指絕緣材料在電場作用下，由于介質(zhì)電導(dǎo)和介質(zhì)極化的滯后效應(yīng)，在其內(nèi)部引起的能量損耗，普遍存在于各類壓電材料。目前對于壓電材料的理論分析大多采用的是不考慮介質(zhì)損耗的理想模型[3-5]，利用該理想模型推導(dǎo)的開路輸出電壓公式與荷載頻率無關(guān)[6]，而已有的試驗(yàn)結(jié)論分析表明，實(shí)際壓電陶瓷的開路電壓隨荷載頻率變化明顯。黃斌等[7]、楊海露[8]發(fā)現(xiàn)壓電換能器在不同頻率下開路輸出電壓與加載頻率有明顯正相關(guān)關(guān)系。Yang等[9]依托云南麻昭高速公路的實(shí)地試驗(yàn)也表明：預(yù)埋置于路面的壓電換能器在承受相同車輛軸載的條件下，隨車輛行駛速度的增加，示波器收集到的電壓信號明顯增大。

為修正理想模型的開路輸出電壓值與實(shí)際輸出值的差異，本文推導(dǎo)考慮介質(zhì)損耗影響的開路輸出電壓與荷載頻率的關(guān)系式，并設(shè)計了驗(yàn)證性試驗(yàn)及采用有限元模擬方法，分別在不同換能器結(jié)構(gòu)、不同荷載幅值及不同加載頻率下驗(yàn)證公式預(yù)測值與試驗(yàn)值的吻合性。研究壓電陶瓷的實(shí)際開路輸出電壓，對于將路面壓電能量收集系統(tǒng)應(yīng)用于多場景、復(fù)雜道路環(huán)境具有重要的意義。

1 壓電換能器的等效電路圖

1.1 問題描述

在機(jī)械約束、電學(xué)短路的條件下，采用第一類壓電方程可推導(dǎo)理想條件下壓電材料開路輸出電壓[10]：

(1)

式中：i,j=1,2,…,6;m,k=1,2,3;S為應(yīng)變張量；T為應(yīng)力張量；sE為恒定電場條件下壓電材料柔度系數(shù)張量；E為外電場張量；D為電位移張量；d為壓電應(yīng)變常數(shù)張量；εT為恒定應(yīng)力條件下節(jié)點(diǎn)常數(shù)張量。鋯鈦酸鉛(PZT)類壓電陶瓷由于制作方便、電學(xué)性能參數(shù)優(yōu)越，是使用最廣泛的壓電陶瓷材料[6]。由此可推導(dǎo)以PZT-5H壓電陶瓷為典型的d33型理想條件下，壓電換能器開路輸出電壓公式[11]：

(2)

式中：h為壓電陶瓷片厚度；A為壓電陶瓷片的受壓面積；F0為壓電陶瓷片表面所受力；Cp為理想條件下壓電陶瓷片電容。

式(2)不含荷載頻率參數(shù)，這表明理想壓電陶瓷的開路輸出電壓與荷載頻率無關(guān)，這顯然與黃斌等[7]、楊海露[8]、Yang等[9]的試驗(yàn)結(jié)果不符。這說明存在某種因素使實(shí)際開路輸出電壓并不符合理想條件下壓電陶瓷開路輸出電壓與頻率無關(guān)的特征。因此，研究者分析了介質(zhì)損耗對壓電陶瓷輸出電能的影響[10-11]。如KIM等[12]在研究中引入效率指標(biāo)綜合考慮介質(zhì)損耗與其他各種因素對壓電陶瓷輸出電能的損失，但該方法僅利用一個參數(shù)描述輸出電能損失，物理意義不明確。

本文將建立考慮介質(zhì)損耗影響的實(shí)際壓電換能器的等效電路圖，并基于該電路圖定量推導(dǎo)實(shí)際壓電換能器開路輸出電壓理論公式。

1.2 考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電陶瓷等效電路圖

Ottman等[13]對能量收集電路進(jìn)行研究時采用壓電陶瓷單元的簡化模型：將壓電陶瓷等效為一個電流源與電容器并聯(lián)，并由該系統(tǒng)向外供電(見圖1(a))。Ottman模型不考慮介質(zhì)損耗，為理想條件的壓電陶瓷等效電路圖。然而，電介質(zhì)在電壓或電場的作用下都會產(chǎn)生介質(zhì)損耗，主要是由極化弛豫和漏電引起的。通過電介質(zhì)的電流由3部分組成：

1) 無損極化電流，即電容電流IC0。

2) 有損極化電流，即吸收電流Ia。

3) 電介質(zhì)電導(dǎo)電流，即泄漏電流Ig[14]，可表示為

I=IC0+Ia+Ig

(3)

由此可將實(shí)際電容器等效為3支路并聯(lián)等效電路(見圖1(b))。其中通過C支路的為IC0，通過電阻R1及電容ΔC支路的為Ia，通過電阻R支路的為Ig。根據(jù)進(jìn)一步變換，該電容器可等效為RC并聯(lián)等效電路(見圖1(c))。該電路由等效電阻支路Rp與電容支路Cp構(gòu)成，圖中U為壓電陶瓷的開路輸出電壓。

圖1 等效電路圖

根據(jù)RC并聯(lián)等效電路模型，定義介質(zhì)損耗角的正切值來表示介質(zhì)損耗的大小，稱為介質(zhì)損耗因子或介質(zhì)損耗角正切，其定義式為

(4)

式中：IR為RC并聯(lián)等效電路通過Rp的電流；IC為通過Cp的電流(見圖1(c))。

將 Ottman模型中的理想電容器替換為RC并聯(lián)等效電路可得到考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電換能器的等效電路圖(見圖1(d))。

2 考慮介質(zhì)損耗的PZT-5H壓電陶瓷實(shí)際開路輸出電壓公式推導(dǎo)

采用1.2節(jié)定義的實(shí)際壓電換能器等效電路圖，推導(dǎo)不同加載頻率下開路輸出電壓。設(shè)加載過程壓電陶瓷所受正弦荷載F(t)=F0sin(ωt+φ)，其中F0為荷載峰值，ω為荷載頻率，φ為荷載初相位。由于路面交通荷載頻率一般為1～20 Hz且遠(yuǎn)低于壓電陶瓷共振點(diǎn)，加載過程可視為準(zhǔn)靜態(tài)加載。

壓電陶瓷的輸出電流由材料受到機(jī)械荷載作用時內(nèi)部電荷定向移動產(chǎn)生：

(5)

由于加載過程中不存在外電場，載荷方向極化轉(zhuǎn)移的電荷量可由下式確定：

Q=?Ad33T3(t)dA=d33F(t)

(6)

式中T3(t)為3方向壓電陶瓷表面所受應(yīng)力。

(7)

由圖1(d)可知，由于實(shí)際壓電換能器的等效電路圖存在電阻支路及電容支路，根據(jù)基爾霍夫定理：

(8)

可得

(9)

設(shè)φ=0，并進(jìn)一步化簡得

(10)

由式(2)、(10)得出開路輸出電壓的幅值為

(11)

式中：R為RC并聯(lián)等效電路中的等效電阻；C為RC并聯(lián)等效電路中的等效電容。

含有介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電陶瓷片的開路輸出電壓與ω存在關(guān)系式(11)。對比式(2)可知，由于實(shí)際壓電陶瓷片介質(zhì)損耗的存在，極化電荷通過極化弛豫與漏電部分耗散，導(dǎo)致壓電陶瓷片實(shí)際開路輸出電壓低于理想值，且當(dāng)電流頻率，即加載頻率增大時，這種漏電現(xiàn)象被抑制，有利于極化電荷累積于等效電容器，從而產(chǎn)生更高的開路電壓，這也是實(shí)際壓電陶瓷片開路輸出電壓隨外荷載頻率增大而增大的根本原因。

3 實(shí)際開路輸出電壓測試

3.1 材料與加載試驗(yàn)

本試驗(yàn)采用INSTRON8874高精度萬能材料試驗(yàn)機(jī)作為加載設(shè)備，并采用示波器采集電壓信號。萬能材料試驗(yàn)機(jī)的最大加載荷載為5 kN，荷載控制精度為0.05 kN，頻率控制精度為0.1 Hz。試驗(yàn)中加載頻率為1～20 Hz，考慮到壓電陶瓷的脆性，實(shí)際加載荷載為300～1 000 N。

本試驗(yàn)采用PZT-5H壓電陶瓷片的材料參數(shù)如表1所示。

表1 PZT-5H材料參數(shù)表

圖2 試驗(yàn)材料

本試驗(yàn)在單片及多片堆棧(見圖2(a))兩種換能器結(jié)構(gòu)條件下分別對實(shí)際輸出電壓公式進(jìn)行驗(yàn)證。單片試驗(yàn)材料采用環(huán)形PZT-5H壓電陶瓷片，其外徑為34 mm，內(nèi)徑為10 mm，h=5 mm(見圖2(b))；堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)材料采用圓形PZT-5H壓電陶瓷片，其沿軸向極化，直徑為20 mm，h=7.5 mm(見圖2(c))。多片試驗(yàn)由3片壓電陶瓷堆疊成堆棧式壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)，由于并聯(lián)結(jié)構(gòu)需要引出中間電極，為保證導(dǎo)電性，將導(dǎo)電銀漆均勻涂抹于電極片和壓電陶瓷片表面，按同極并聯(lián)的方式將陶瓷片和電極片粘結(jié)。

3.2 基于試驗(yàn)結(jié)果求解試驗(yàn)材料的RC參數(shù)

為確定式(11)中的參數(shù)RC，本文選用部分荷載頻率下的試驗(yàn)值作為開路輸出電壓值結(jié)果，進(jìn)而反算出參數(shù)RC，并用于預(yù)測其他荷載頻率下實(shí)際壓電換能器的開路輸出電壓。

將單片試驗(yàn)的荷載頻率為5 Hz時得到的實(shí)測值U5 Hz=18 V作為電壓輸出結(jié)果，代入式(11)，可得單片試驗(yàn)材料的參數(shù)R2C2=0.024 0 s2，并由此得到300 N、500 N、1 000 N荷載條件下的單片材料開路輸出電壓分別為

(12)

(13)

(14)

將堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)中采用荷載為15 Hz和1 Hz條件下的實(shí)測值分別為U15 Hz=721.1 V及U1 Hz=505.4 V作為電壓輸出結(jié)果，代入式(11)可得堆棧式結(jié)構(gòu)參數(shù)U0=722.77 V及R2C2=0.956 8 s2，并得出堆棧式并聯(lián)結(jié)構(gòu)在1 500 N時的開路輸出電壓為

(15)

4 有限元模擬預(yù)測

4.1 有限元分析模型

為輔助驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果，采用有限元分析軟件ANSYS對理想條件下壓電換能器開路輸出電壓進(jìn)行模擬。該模型包括實(shí)驗(yàn)用單片環(huán)形壓電陶瓷片，采用SOLID5三維耦合場體單元。由于實(shí)際加載中壓電陶瓷上表面為加載面，因此，在該環(huán)形壓電陶瓷片的底面設(shè)置了位移邊界條件。輸入尺寸參數(shù)和受力情況與試驗(yàn)相同，PZT-5H壓電陶瓷片材料特性輸入?yún)?shù)為

(16)

(C/m2)

(17)

(18)

式中:εS為機(jī)械約束條件下介電常數(shù)矩陣；e為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣；CE為剛度矩陣。

圖3為有限元分析結(jié)果電勢分布圖。由圖可知，荷載幅值為300 N時，單片環(huán)形壓電陶瓷片受壓面最大電勢為29.4 V；荷載幅值為500 N時，單片環(huán)形壓電陶瓷片受壓面最大電勢為49.9 V；荷載幅值為1 000 N時，單片環(huán)形壓電陶瓷片受壓面最大電勢為97.9 V。

圖3 單片環(huán)形壓電陶瓷片電勢分布圖

4.2 單片壓電陶瓷片試驗(yàn)值、理論預(yù)測值與有限元模擬值比較

對比3組數(shù)據(jù),即

1) 示波器電壓信號實(shí)測值。

2) 壓電換能器開路輸出電壓預(yù)測值。

3) 通過有限元分析理想條件下的開路輸出電壓模擬值。由于有限元分析不涉及介質(zhì)損耗，符合理想式(2)。

圖4為3組數(shù)據(jù)對比。當(dāng)ω<10 Hz，壓電換能器開路輸出電壓隨著ω的增加而顯著增加，但仍遠(yuǎn)低于其在高頻加載時的開路輸出電壓。

圖4 單片結(jié)構(gòu)在不同荷載下的試驗(yàn)值、預(yù)測值及有限元模擬值對比

當(dāng)ω>10 Hz，開路輸出電壓隨ω增加逐漸趨近于理想壓電換能器開路輸出電壓。這說明理想模型不適用于低頻加載的情況，只有在ω較高時，壓電陶瓷開路輸出電壓才接近于理想開路輸出電壓。在實(shí)際應(yīng)用過程中，車速越快，開路輸出電壓越高，因此，將路面能量收集系統(tǒng)應(yīng)用于高速公路，發(fā)電效果將得到提升。

4.3 堆棧式多片并聯(lián)壓電陶瓷片試驗(yàn)值、理論預(yù)測值比較

圖5為堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)值與預(yù)測值對比。多片壓電陶瓷片開路輸出電壓特性與單片相似，當(dāng)ω<5 Hz，開路輸出電壓隨著ω的增加而增加。當(dāng)ω>5 Hz，開路輸出電壓逐漸趨近于理想壓電換能器開路輸出電壓。

圖5 堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)值與預(yù)測值的對比

5 結(jié)論

本文通過加載試驗(yàn)表明低頻荷載條件下壓電陶瓷開路輸出電壓與荷載頻率間具有正相關(guān)關(guān)系，不能采用理想開路電壓輸出公式計算。針對該問題，推導(dǎo)了可考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電換能器開路輸出電壓公式。主要結(jié)論如下：

1) 與理想條件下的壓電換能器相比，介質(zhì)損耗引起的漏電現(xiàn)象使壓電陶瓷受壓極化電荷產(chǎn)生損失，從而導(dǎo)致其開路輸出電壓降低。隨著荷載頻率增大，通過漏電耗散的極化電荷量降低，這是開路輸出電壓隨荷載頻率增大而上升的根本原因。

2) 基于等效電路模型，理論推導(dǎo)了考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電換能器開路輸出電壓公式，其與實(shí)測結(jié)果吻合良好。

3) 采用萬能材料試驗(yàn)機(jī)模擬了實(shí)際道路交通條件下壓電換能器的受荷載情況。結(jié)果表明,在某些特定場景低頻荷載條件下，如城市主干道行駛速度不超過60～80 km/h，對應(yīng)荷載頻率約為5 Hz，此時壓電陶瓷開路輸出電壓約為最大開路輸出電壓的61%。