陳東乾 張長飛 林端琳

(中國電建集團福建省電力勘測設計院有限公司 福建福州 350003)

0 引言

自從Mandelbrot引進分形幾何理論后，分形幾何被認為在各個學科研究領域(如化學、物理、材料科學、地球科學、土壤科學、地下水研究等)是一個十分強大的方法。當前，分形理論已被廣泛用來研究巖土微觀結構參數(shù)與巖土物理力學參數(shù)之間的關系，該方向為分形理論的一大研究熱點[1-2]。

趙安平等[3]研究了季節(jié)性凍土區(qū)路基土粒分形參數(shù)與液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)、粘聚力和摩擦角之間的關系，并得出分形參數(shù)與液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)的回歸方程。

梁維等[4]研究了散體云母片巖粒度分形特征與抗剪強度參數(shù)(粘聚力和內摩擦角)的關系，分析了分形參數(shù)與不均勻系數(shù)和曲率系數(shù)之間的定量關系，并建立了內摩擦角和分形參數(shù)的回歸方程。

張靜等[5]研究了吉林省西部分散性土的分形特征與土的分散性，發(fā)現(xiàn)土的顆粒越粗分形維數(shù)越小，土的分散性越大，當土的顆粒越細分形維數(shù)越大，分散性越小。

向貴府等[6]分析了昔格達地層巖土顆粒組成分形參數(shù)與不均勻系數(shù)、曲率系數(shù)、含水量、干密度之間的關系，并得到了分形參數(shù)與不均勻系數(shù)、曲率系數(shù)、含水量之間的函數(shù)關系。

韓琳[7]分析了細粒土分形參數(shù)與不均勻系數(shù)、滲透率、液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)的相關曲線，并進行曲線關系分析。

以上研究成果開展了部分土的物理力學參數(shù)與粒度分形維數(shù)之間的關系研究，存在一定局限性。從以上研究可發(fā)現(xiàn)，土粒度分形維數(shù)與土的物理力學參數(shù)存在一定的回歸關系,粒度分形維數(shù)在一定程度上表征土的工程地質特征，其分形維數(shù)的物理意義顯示了土粒度成分的復雜性特點及非線性作用的特征,對認識不同區(qū)域的工程地質特征有重要作用。

基于此，本文較為系統(tǒng)地研究了土粒度分形維數(shù)與多物理力學參數(shù)(含水率、土粒比重、濕密度、干密度、飽和度、孔隙比、孔隙率、液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)、液性指數(shù)、壓縮系數(shù)、壓縮模量、粘聚力和內摩擦角)之間的關系，得到了土顆粒粒度分形參數(shù)與各物理力學參數(shù)之間的回歸方程，并分析了它們之間的關系，期為該地區(qū)的巖土工程實踐能提供一定的幫助。

1 分形理論

大量研究表明，土壤中不僅存在孔隙大小分形特征，而且存在土壤粒度自相似分形特征，即土顆粒粒徑大于或等于R的累積土顆?？傎|量和土顆粒粒徑大小滿足分形標度關系式(1)[8]。粒度分形維數(shù)可以用來描述土顆粒分布情況，可用來定性或定量研究土的巖土工程性質，為工程實踐提供一定的理論依據(jù)。

根據(jù)分形理論[9]可知：

(1)

其中，M(r≥R)為顆粒直徑大某粒徑R的固體顆粒質量(量綱：g)；

GS為土顆粒比重(無量綱)；

Cn，λi為顆粒形狀和計算標度有關的常量；

D為粒度分形維數(shù)(無量綱，0

當R=0時，可得：

(2)

其中,M為開展粒度分析的土顆?？傎|量(量綱：g)。將式(1)除以式(2)可得：

(3)

當土顆粒粒徑達到最大的顆粒粒徑(RM)時，即R=RM，可得：

M(r≥R)=0

(4)

將式(4)代入式(1)可得：

λi=RM

(5)

式(5)代入式(3)可得：

(6)

當顆粒粒徑小于R時，即r≤R，可得:

(7)

將式(7)兩邊取對數(shù)，可得：

(8)

在雙對數(shù)坐標上，以粒徑為橫坐標，以小于某一粒徑的累計質量含量為縱坐標，通過擬合曲線，獲得斜率B，通過式(8)進行對比3-D=B，可求的顆粒大小分形維數(shù)：

D=3-B

(9)

2 海滄某區(qū)域變電站花崗巖殘積土粒度分形特征

試樣為2019年1月在廈門市海滄區(qū)海滄街道古樓村附近取樣，取樣地點為兩個110kV變電站(A，B)，距離較近(直線距離約1650 m)。該區(qū)域基巖都為花崗巖，地層類似，殘積土都為花崗巖殘積土；該土層為主要地基持力層，總共取樣12件進行室內土工試驗[10-11]。按照《土工試驗方法標準》(GB/T 50123-2019)進行顆分實驗，實驗過程中添加分散劑六偏磷酸鈉，土樣顆分曲線如圖1所示。

圖1 土樣顆粒分析曲線

從顆粒分析曲線可以看出，B變電站不同花崗巖殘積土土樣顆分曲線大部分比較集中，粗顆粒含量較多，細顆粒含量較少，只有土樣B-5，主要以細顆粒為主，含少量粗顆粒。A變電站不同花崗巖殘積土土樣顆分曲線較為集中，相比較于B變電站，粗顆粒含量略少，細顆粒含量略多。

通過擬合不同土樣顆分數(shù)據(jù)曲線，獲得每個土樣的粒度分形維數(shù)(見圖2～圖3，詳細數(shù)據(jù)見表1)，計算出來的花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)范圍在2.616-2.900，相關系數(shù)范圍在0.851-0.996，擬合效果較好，線性相關較好。

表1 土樣粒度成分[10-11]和粒度分形維數(shù)計算結果

從圖2～圖3可以看出，不同土樣擬合直線的相關系數(shù)較好，A變電站的粒度分形維數(shù)略大于B變電站的分形維數(shù)，可見粒度分形維數(shù)越小顆粒粒徑越大，粒度分形維數(shù)越大顆粒粒徑越小，與相關研究結論一致。

因此，可以通過粒度分形維數(shù)的大小來評價顆粒大小的分布情況。當粒度分形維數(shù)越小，粗顆粒含量越多；當粒度分形較大，細顆粒含量越多，該粒度分形維數(shù)也和土的物理參數(shù)有一定關系(具體分析見第4部分)。

(a)土樣A-2

(b)土樣A-6

圖2 海滄區(qū)A變電站不同土樣粒度分形特征

(a)土樣B-1

(b)土樣B-4

3 粒度分形特征與物理力學參數(shù)關系分析

將12個土樣開展相關土工試驗，實驗過程嚴格按照規(guī)范要求進行，以獲得較為可靠的物理力學參數(shù)(表2)。

通過將粒度分形維數(shù)設置為橫坐標，相關物理力學參數(shù)為縱坐標進行數(shù)據(jù)點直線擬合，并分析粒度分形特征與土的物理力學參數(shù)之間的關系。

表2 土樣粒度分形維數(shù)與物理力學參數(shù)[10-11]

土的含水率為土中水的質量與土粒質量之比。從圖 4可以看出，花崗巖殘積土的含水率與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大，含水量越高，此時細粒土越多，整體土樣的含水率就越大，其回歸方程為：W=97.425D-237.673；相關系數(shù)為r=0.859，兩者有強的相關性。

圖4 含水率與分形維數(shù)的關系曲線圖

土粒比重為土粒質量與同體積的4℃時純水的質量之比。從圖5可以看出土粒比重與分形維數(shù)相關系數(shù)為r=0.135，相關系數(shù)小于0.3，可認為無相關性。

圖5 土粒比重與分形維數(shù)的關系曲線

濕密度為單位體積濕土(取樣土)的質量。從圖6可以看出，濕密度與分形維數(shù)成負相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的濕密度越小，其回歸方程為：ρ0=-0.445D+3.124；相關系數(shù)為r=-0.612，相關性弱。

圖6 濕密度與分形維數(shù)的關系曲線

干密度為單位體積中固體顆粒部分的質量。從圖7可以看出，干密度與分形維數(shù)成負相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的干密度越小，其回歸方程為：ρd=-1.347D+5.169；相關系數(shù)為r=-0.811，相關性強。

圖7 干密度與分形維數(shù)的關系曲線

圖8 飽和度與分形維數(shù)的關系曲線

飽和度為土中孔隙水的體積與孔隙總體積之比。從圖8可以看出，飽和度與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的飽和度越大，其回歸方程為：Sr=67.703D-91.678；相關系數(shù)為r=0.833，相關性強。

孔隙比為土中孔隙體積與土粒體積之比。從圖9可以看出，孔隙比與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的孔隙比越大，其回歸方程為：e=1.964D-4.550，相關系數(shù)為r=0.760，相關性弱。

圖9 孔隙比與分形維數(shù)的關系曲線圖

孔隙率為土中孔隙體積與總體積之比。從圖10可以看出，孔隙率與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的孔隙率越大，其回歸方程為：n=52.843D-99.734；相關系數(shù)為r=0.754，相關性弱。

圖10 孔隙率與分形維數(shù)的關系曲線

液限和塑限可以通過液塑限聯(lián)合測定儀來測定。液限為儀器錐尖下沉深度為17mm所對應的含水量。從圖11可以看出，液限與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的液限越大，其回歸方程為：Wl=106.494D-256.275；相關系數(shù)為r=0.802，相關性強。

圖11 液限與分形維數(shù)的關系曲線

塑限為儀器錐尖下沉深度為2mm處所對應的含水量。從圖12可以看出，塑限與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的塑限越大，其回歸方程為：Wp=66.775D-157.997；相關系數(shù)為r=0.741，相關性弱。

圖12 塑限與分形維數(shù)的關系曲線

塑性指數(shù)為液限和塑限的差值(省去%)，即土處在可塑狀態(tài)的含水量變化范圍。從圖13可以看出，塑性指數(shù)與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的塑性指數(shù)越大，其回歸方程為：IP=39.719D-98.279；相關系數(shù)為r=0.813，相關性強。

圖13 塑性指數(shù)與分形維數(shù)的關系曲線

液性指數(shù)為土的天然含水量和塑限的差值與塑性指數(shù)之比。從圖14可以看出，液性指數(shù)與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的液性指數(shù)越大，其回歸方程為：IL=2.032D-5.193；相關系數(shù)為r=0.416，相關性弱。

圖14 液性指數(shù)與分形維數(shù)的關系曲線

壓縮系數(shù)為土體在無側向膨脹條件下，孔隙比減少量與垂直壓應力增量的比值。從圖15可以看出，壓縮系數(shù)與分形維數(shù)成正相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的壓縮系數(shù)越大，壓縮性越高，其回歸方程為：av=1.121D-2.594；相關系數(shù)為r=0.504，相關性弱。

圖15 壓縮系數(shù)與分形維數(shù)的關系曲線

壓縮模量為土在無側向膨脹條件下，壓縮時垂直壓應力與垂直總應變的比值。從圖16可以看出，壓縮模量與分形維數(shù)成負相關。當粒度分形維數(shù)越大時，土的壓縮模量越小，壓縮性越高，其回歸方程為：Es=-7.507D+24.784；相關系數(shù)為r=-0.552，相關性弱。

圖16 壓縮模量與分形維數(shù)的關系曲線

以上情況也和一般研究成果相同，土的壓縮系數(shù)越大，壓縮模量越小，土的壓縮性越高[12-13]。

土的粘聚力和內摩擦角為土的抗剪強度指標，表示土體的抗剪強度，一般情況下，粘聚力、內摩擦角越大，土的抗剪強度越大[12-13]。通過直接快剪試驗獲得內摩擦角和粘聚力，通過數(shù)據(jù)擬合。從圖17可以發(fā)現(xiàn)，內摩擦角與分形維數(shù)成負相關，其回歸方程為：φ=-16.831D+71.182；相關系數(shù)為r=-0.261。從曲線和數(shù)據(jù)分布點可以看出，內摩擦角隨著粒度分形維數(shù)的增大而減少，表明土顆粒越細，內摩擦角越小，這與已有研究成果相同。

圖17 內摩擦角與分形維數(shù)的關系曲線

通過數(shù)據(jù)點擬合，發(fā)現(xiàn)內粘聚力與分形維數(shù)擬合的相關系數(shù)為r=-0.152，無相關性。從圖18可以看出，數(shù)據(jù)點關系較為分散，擬合出的關系曲線存在一定誤差，主要是因為在剪切試驗中，局部需要克服顆粒間的咬合，造成粘聚力不同大小程度的分布；另外，由于試驗過程不同剪切面和花崗巖殘積土中的原巖結構面的夾角不同，造成得出的粘聚力數(shù)據(jù)較為分散。后期可以進一步開展相關區(qū)域土樣數(shù)據(jù)采集，進行更為詳細的研究。

圖18 粘聚力與分形維數(shù)的關系曲線

4 結論

(1)花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)的大小可以定性評價土顆粒大小的分布情況，粒度分形維數(shù)與所含粗顆粒的含量負相關，即粒度分形維數(shù)越小，粗顆粒含量越多，粒度分形越大，細顆粒含量越多。

(2)該區(qū)域花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)與該土層多物理力學參數(shù)存在較為明顯的線性相關性。本次分析可以發(fā)現(xiàn)，花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)與含水率、飽和度、孔隙比、孔隙率、液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)、液性指數(shù)、壓縮系數(shù)正相關；與濕密度、干密度、壓縮模量、內摩擦角負相關，其中粒度分形維數(shù)與含水率、干密度、飽和度、液限、塑性指數(shù)相關性強。

在實際應用中，巖土工程師可根據(jù)粒度分形維數(shù)預估巖土體的狀態(tài)及力學指標等，快速掌握場地巖土條件，對實際生產(chǎn)具有一定的參考意義。