張 坤，邸 憶，顧曉輝

（1.武漢數(shù)字工程研究所，武漢 430074；2.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院，武漢 430205；3.南京理工大學(xué)，南京 210094）

0 引言

坦克與直升機(jī)火力猛、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)并具備良好裝甲防護(hù)能力，目前聲目標(biāo)識(shí)別技術(shù)廣泛應(yīng)用于這兩類目標(biāo)的智能識(shí)別［1］。聲信號(hào)特征提取是采用模式識(shí)別方法對目標(biāo)分類的關(guān)鍵步驟之一。區(qū)分度高的特征將直接影響分類器的設(shè)計(jì)，對提高分類精度具有重要意義。近年來，非線性特征因其計(jì)算簡便，能體現(xiàn)不同一維信號(hào)的區(qū)別而被廣泛采用，分形維數(shù)是表征信號(hào)非線性的常用參數(shù)，但一組聲信號(hào)只能得到一個(gè)分形維數(shù)，并不能充分反映信號(hào)之間的非線性區(qū)別［2］。目前解決該問題有兩種方法：1）采用多重分形維數(shù)；2）將分形維數(shù)與信號(hào)分解方法結(jié)合［3］。這兩種方法的共同點(diǎn)是得到更多反映信號(hào)非線性特征的分形維數(shù)。

奇異值分解（SVD）是一種廣泛應(yīng)用的信號(hào)處理方法，具有計(jì)算量小，原理簡單，對信號(hào)進(jìn)行線性分解的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理領(lǐng)域。SVD 分解前首先需要將信號(hào)重構(gòu)為矩陣形式，文獻(xiàn)［4-5］對Hankel 矩陣形式的SVD 分解方法進(jìn)行了深入的研究，發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)噪聲信號(hào)與有效信號(hào)在奇異值上有不同的特性，由于SVD 實(shí)質(zhì)是一種線性分解，選擇有效信號(hào)的特征值能重構(gòu)信號(hào)，達(dá)到信噪分離的目的。SVD 還能根據(jù)需要控制分解的分量個(gè)數(shù)，這使分解方法更具靈活性。但SVD 分解重構(gòu)的信號(hào)分量的與信號(hào)頻率的關(guān)系卻不如小波與EMD 方法清晰。文獻(xiàn)［6］發(fā)現(xiàn)對信號(hào)構(gòu)建Hankel 矩陣后進(jìn)行SVD 分解，當(dāng)Hankel 矩陣維數(shù)大于信號(hào)中頻率數(shù)量的兩倍，每一個(gè)頻率成分產(chǎn)生兩個(gè)有效奇異值，這有效地彌補(bǔ)了SVD 分解的不足。文獻(xiàn)［7］對SVD 提取頻率分量的條件進(jìn)行了探索，發(fā)現(xiàn)信號(hào)中加入一定的噪聲更有利于信號(hào)頻率分量的提取。又由于SVD 重構(gòu)具有線性疊加性，將這種方法與分形維數(shù)相結(jié)合，能夠得到足夠的分形維數(shù)，這些分形維數(shù)能夠更清晰地反映信號(hào)的非線性特征。

本文的分形維數(shù)計(jì)算方法采用了形態(tài)學(xué)計(jì)算方法。形態(tài)學(xué)分形維數(shù)估計(jì)方法首先由Petros Maragos 等［9］提出，李兵［10］將這種方法應(yīng)用于仿真信號(hào)的分形維數(shù)估計(jì)，并與傳統(tǒng)的盒計(jì)數(shù)法進(jìn)行對比，驗(yàn)證了形態(tài)學(xué)方法具有更好的精度和運(yùn)算效率。

為了反映出信號(hào)分量對整個(gè)信號(hào)非線性的影響，本文提出了一種SVD 與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)譜（Singular Value Decomposition and Mathematical Morphological Fractal Dimensions Spectrum，SVD-MMFDS）。SVD-MMFDS 首先對信號(hào)重構(gòu)Hankel 矩陣進(jìn)行SVD 分解，根據(jù)頻率分量與奇異值的關(guān)系，重構(gòu)信號(hào)分量。這些信號(hào)分量按照幅值從大到小分布，計(jì)算第1 個(gè)分量的分形維數(shù)，再疊加第2 個(gè)信號(hào)分量，計(jì)算第2 個(gè)分形維數(shù)，之后每疊加一個(gè)分量就用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法計(jì)算一次分形維數(shù)，直到完全重構(gòu)信號(hào)，得到原信號(hào)的形態(tài)學(xué)分形維數(shù)。得到的分形維數(shù)的集合即為分形維度譜。同時(shí)將本文方法與文獻(xiàn)［2］提出的VMD 與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)結(jié)合的方法進(jìn)行對比，說明本文方法提取的特征具有更好的區(qū)分度且運(yùn)算效率更高。

1 基于Hankel 矩陣的奇異值分解與重構(gòu)

由式（6）可知利用Hankel 矩陣進(jìn)行SVD 分解后，將信號(hào)分解為個(gè)信號(hào)分量的線性疊加，這種優(yōu)良的線性疊加性可使信號(hào)的重構(gòu)更加簡單高效，同時(shí)構(gòu)造的分量個(gè)數(shù)可根據(jù)需要控制，相比EMD 小波等分解方法具有更好的靈活性。

2 非零奇異值與信號(hào)頻率成分的關(guān)系

式（7）中，m=N-n+1，N 為信號(hào)的長度。根據(jù)文獻(xiàn)［5］提出的第2 個(gè)規(guī)律可得：xi（j）假設(shè)所對應(yīng)的兩個(gè)奇異值為σk與σk+1，根據(jù)SVD 分解的線性疊加性滿足：

對兩邊取平方，利用uk，vk的正交性以及三角函數(shù)求和公式可得：

3 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)譜估計(jì)方法

4 SVD-MMFDS 與VMD-數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)算法流程

原始信號(hào)僅能得到一個(gè)分形維數(shù)，通過SVD 分解重構(gòu)后可以得到具有物理意義的頻率分量，利用這些頻率分量與分形維數(shù)結(jié)合可以得到信號(hào)的分形維度譜。流程圖如下頁圖1 所示。

圖1 SVD-MMFDS 聲特征提取流程圖

構(gòu)造步驟如下：

1）首先根據(jù)文獻(xiàn)［4］得到的結(jié)論，重構(gòu)的Hankel 矩陣的秩越大，噪聲對各頻率分量奇異值的影響就越小，故當(dāng)信號(hào)長度為N，可取行數(shù)m=N/2+1，列n=N/2（N 是偶數(shù)）或行m=（N+1）/2、列（N+1）/2（N 是奇數(shù)）。

2）再將信號(hào)的Hankel 矩陣進(jìn)行SVD 分解，根據(jù)1 個(gè)頻率分量對應(yīng)兩個(gè)緊密排列的奇異值的規(guī)律，依次重構(gòu)出頻率分量。第1 個(gè)頻率分量幅值最大，之后依次排列。

3）運(yùn)用形態(tài)學(xué)方法先求第1 個(gè)頻率分量的分形維數(shù)，再疊加第2 個(gè)頻率分量后計(jì)算疊加信號(hào)的分形維數(shù)，之后每疊加一次分量，求一次分形維數(shù)，直至得到原信號(hào)的分形維數(shù)，由此組成信號(hào)的形態(tài)學(xué)分形維度譜。

VMD- 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)算法流程如圖2所示：

圖2 VMD-數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)算法流程圖

1）獲取聲信號(hào)，對信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，確定能量的主要集中頻段0～fmaxHz。

2）在對信號(hào)進(jìn)行VMD 分解，初始化分解的IMF 個(gè)數(shù)k=2。

2008年美國因?yàn)榉康禺a(chǎn)市場泡沫破裂而出現(xiàn)大規(guī)模金融危機(jī)，對實(shí)體經(jīng)濟(jì)也產(chǎn)生了很大的影響。究其原因，一是因?yàn)槊绹用癯暗南M(fèi)意識(shí)，二是對于金融創(chuàng)新尚未有完善的監(jiān)管機(jī)制，于是產(chǎn)生危機(jī)。最終房地產(chǎn)市場泡沫被緊縮的財(cái)政和貨幣政策刺破，危機(jī)進(jìn)一步擴(kuò)大并傳導(dǎo)至實(shí)體經(jīng)濟(jì)。

4）確定k 值后，再計(jì)算每個(gè)IMF 分量的容量維數(shù)與信息維數(shù)作為特征量。

5 戰(zhàn)場聲目標(biāo)的特征提取

為了驗(yàn)證該方法在聲目標(biāo)特征提取上的可行性與有效性，進(jìn)行半實(shí)物仿真試驗(yàn)。試驗(yàn)原理圖與裝置實(shí)物圖如圖3 所示。4 個(gè)相同的聲傳感器S1、S2、S3、S4均勻布置在半徑為25 cm 的圓盤平臺(tái)上，聲源距圓盤圓心處距離為333 cm。

圖3 試驗(yàn)裝置示意圖與實(shí)物圖

聲源及裝置均保持靜止。采用PXI 數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)對聲信號(hào)進(jìn)行采集，采樣頻率為20 kHz，量程-4 V～+4 V。用該裝置分別采集多組坦克聲信號(hào)與直升機(jī)聲信號(hào)，坦克信號(hào)聲音信號(hào)包含了坦克行駛的多種情況，直升機(jī)聲信號(hào)為遠(yuǎn)處高速飛行的聲音，聲音信號(hào)經(jīng)過調(diào)理電路處理，保證了信號(hào)強(qiáng)度的一致性。

該裝置除了利用聲信號(hào)進(jìn)行目標(biāo)識(shí)別，同時(shí)還可利用4 組信號(hào)間的相位差進(jìn)行目標(biāo)的定位。測量信號(hào)的長度均為1 024 個(gè)采樣點(diǎn)，信號(hào)在處理前經(jīng)過了調(diào)理電路進(jìn)行了濾波預(yù)處理，所得的一組典型的坦克與直升機(jī)的聲信號(hào)與頻譜如下頁圖4 所示。

圖4 聲信號(hào)時(shí)域與頻域圖

通過兩種聲音的頻譜圖可知，坦克與直升機(jī)聲的主要能量集中在0 Hz～3 000 Hz 左右，同時(shí)直升機(jī)聲較坦克聲有著更多高頻分量，這為利用分形維數(shù)區(qū)分兩種聲信號(hào)提供了可能。由于截取的信號(hào)長度為1 024，按照奇異值分解與重構(gòu)規(guī)則，構(gòu)建的Hankel 矩陣維數(shù)為513 512，則奇異值數(shù)量為512個(gè)，產(chǎn)生的信號(hào)分量為256 個(gè)。分別得到直升機(jī)與坦克聲信號(hào)的奇異值序列如圖5 所示。

圖5 直升機(jī)與坦克聲信號(hào)的奇異值序列

由圖5 所示，這組坦克與直升機(jī)聲信號(hào)經(jīng)過SVD 分解后，奇異值逐漸減小，前幾個(gè)較大的奇異值呈現(xiàn)出兩兩緊密排列的特點(diǎn)。隨著奇異值序號(hào)增大，這種緊密排列的特點(diǎn)不再明顯，采用與上述方法重構(gòu)信號(hào)分量，提取該組坦克與直升機(jī)聲信號(hào)的前10 個(gè)的奇異值重構(gòu)了5 個(gè)頻率分量。如圖6，圖7 所示。

圖6 坦克聲信號(hào)SVD 分解示意圖

圖7 直升機(jī)聲信號(hào)SVD 分解示意圖

圖8 兩種聲信號(hào)形態(tài)學(xué)覆蓋圖

完成形態(tài)學(xué)覆蓋后，求解SVD-MMFDS 的分形維數(shù)譜。首先計(jì)算第1 個(gè)頻率分量的形態(tài)學(xué)維數(shù)，在疊加第2 個(gè)頻率分量后，計(jì)算第2 個(gè)分形維數(shù)，直至將所有的分量疊加成原信號(hào)，計(jì)算最后1個(gè)分形維數(shù)，構(gòu)建出信號(hào)的分形維數(shù)譜。作出10組典型的坦克與直升機(jī)聲信號(hào)的分形維數(shù)譜，如圖9 所示。

圖9 坦克與直升機(jī)聲的SVD-MMFDS 譜圖

由圖9 可知兩種聲信號(hào)的分形維數(shù)均會(huì)隨著疊加的信號(hào)分量的個(gè)數(shù)而上升，且直升機(jī)的分形維數(shù)一般要高于坦克聲的分形維數(shù)。當(dāng)奇異值序號(hào)較低時(shí)，分形維數(shù)增加顯著，信號(hào)分量疊加較多后，分形維數(shù)增加緩慢，幾乎趨于平直。說明前幾個(gè)分量對信號(hào)的非線性影響很大，而序號(hào)靠后的信號(hào)頻率分量對整個(gè)信號(hào)的非線性影響已經(jīng)很小了?；诖耍?dāng)奇異值序號(hào)增大時(shí)，可以一次多疊加幾個(gè)分量后再計(jì)算分形維數(shù)。故重新構(gòu)造新的分形維數(shù)譜，前8 個(gè)分量每疊加一次，計(jì)算一次分形，后面248 個(gè)分量每個(gè)8 分量疊加后計(jì)算一次分形，一共得到39 個(gè)分形維數(shù)，如圖10 所示。

圖10 精簡后的坦克與直升機(jī)聲的SVD-MMFDS 譜圖

采用文獻(xiàn)［2］提出的方法與SVD-MMFDS 提取的特征進(jìn)行對比。首先對信號(hào)進(jìn)行VMD 分解，根據(jù)分解的要求的，1 組信號(hào)進(jìn)行一次VMD 分解產(chǎn)生3個(gè)分量，再計(jì)算這3 個(gè)分量的容量維數(shù)與信息維數(shù)，分別計(jì)算再使用盒計(jì)數(shù)法計(jì)算各個(gè)分量的分形維數(shù)，作為信號(hào)的特征提取。隨機(jī)抽取10 組坦克聲與直升機(jī)聲按上述步驟提取特征，得到各分量的分形維數(shù)如圖11 所示。

圖11 坦克與直升機(jī)聲的分形維數(shù)分布

如圖11 所示，樣本中直升機(jī)聲的容量維數(shù)與信息維數(shù)均大于坦克聲相應(yīng)IMF 的維數(shù)，具有較好區(qū)分性，但每個(gè)分量得到的特征值較少，作為特征量不夠充足。而本文方法可以得到充足的特征量，能較好反映分量對信號(hào)非線性的影響情況，且具有良好的區(qū)分性。坦克聲與直升機(jī)聲的非線性差異較明顯，故文獻(xiàn)［2］提出的方法也能夠適用，但當(dāng)兩種信號(hào)比較接近時(shí)，SVD-MMFDS 譜圖能反映兩種信號(hào)更多的差異性，還能通過靈活控制疊加分量數(shù)得到不同數(shù)量的特征量，算法具有更好的適用性。

6 結(jié)論

由于單一的分形維數(shù)不足以充分反映信號(hào)的非線性特征，多重分形與目前常用的信號(hào)分解、分形維數(shù)結(jié)合的方法有著計(jì)算量大、提取特征數(shù)目有限、特征區(qū)分度弱等問題，本文提出了SVD-MMFDS的方法來提取信號(hào)的非線性特征。

將信號(hào)進(jìn)行SVD 分解后，需計(jì)算信號(hào)的分形維數(shù)作為信號(hào)非線性特征的度量。本文選擇了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)估計(jì)方法。不同于傳統(tǒng)的盒計(jì)算方法采用的規(guī)格劃分，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法采用形態(tài)學(xué)覆蓋的方式，計(jì)算出的分形維數(shù)具有更高的精度與運(yùn)算速度。

SVD-MMFDS 為了揭示分量信號(hào)與原信號(hào)非線性的關(guān)系，先計(jì)算第1 個(gè)分量的形態(tài)學(xué)分形維數(shù)，再疊加第2 個(gè)分量，計(jì)算第2 個(gè)分形維數(shù)，每次疊加都計(jì)算1 次分形維數(shù)，直到將所有信號(hào)疊加構(gòu)成原信號(hào)。這樣就得到與信號(hào)分量個(gè)數(shù)相同的分形維數(shù)譜，該分形維數(shù)譜能夠成功揭示出分量對原信號(hào)非線性的影響。

為了驗(yàn)證SVD-MMFDS 在提取信號(hào)非線性特征上的有效性與可行性，將該方法應(yīng)用于戰(zhàn)場聲信號(hào)的特征提取，并與VMD 和分形維數(shù)結(jié)合的方法進(jìn)行對比，結(jié)果表明SVD-MMFDS 能提取更多的特征量，且具有良好的區(qū)分度，能夠反映出信號(hào)更多的非線性特征，具有更好的適用性。