張聰 孫莉敏

【摘要】本文從樣本出發(fā)，通過繪制散點圖的方式，對樣本峰度和樣本協(xié)方差的統(tǒng)計意義進行討論，最終達到理解總體峰度和協(xié)方差的目的.

【關(guān)鍵詞】峰度;相關(guān)系數(shù);Matlab;教學(xué)探討

【 基金項目】河南省教師教育課程改革研究項目2017-JSJYZD-068;信陽學(xué)院校級教育教學(xué)改革項目2018ZJG02.

數(shù)學(xué)定義是深入學(xué)習數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，對進一步理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，形成嚴密的數(shù)學(xué)思維，扎實推理能力起著關(guān)鍵作用.峰度和協(xié)方差是概率論中兩個重要的數(shù)字特征，在醫(yī)學(xué)影像、信號處理、金融工程中有廣泛應(yīng)用.如果學(xué)生沒有對定義本身深刻的認識，何談應(yīng)用概率思想和統(tǒng)計手段解決實際問題.

現(xiàn)有的概率統(tǒng)計教材中，借助矩來定義方差和偏度，有效刻畫了“波動”和“偏離”的含義，使其定義清晰易懂.但對峰度和協(xié)方差，為什么借助于二階混合中心距和四階中心矩來定義，這是教學(xué)過程中的一個盲點，且?guī)缀鯖]有教材展開相關(guān)的討論.課堂教學(xué)如果僅僅在給出公式后提供兩個例子計算了事，顯然達不到良好的教學(xué)效果.

本文計劃從一組樣本出發(fā)，借助數(shù)學(xué)軟件，討論樣本的峰度、協(xié)方差，直觀展示上述數(shù)字特征的統(tǒng)計意義，進而幫助學(xué)生理解總體數(shù)字特征的含義.

一、峰度的含義

隨機變量（總體）X峰度的定義為

K=E（X-E（X））4[E（X-E（X））2]2-3.

設(shè)x1，x2，…，xn是來自總體X的樣本，若記x=1n∑ni=1xi，v4n=1n∑ni=1（xi-x）4，v2n=1n∑ni=1（xi-x）2，

則樣本峰度可以定義為

kn=v4n（v2n）2-3=n∑ni=1（xi-x）4∑ni=1（xi-x）22-3.

若將X的觀測值從小到大排列后得到

x1=-0.5，x2=-0.4，x3=-0.3，x4=-0.2，x5=-0.1，x6=0.1，x7=0.2，x8=0.3，x9=0.4，x10=0.5，

繪制散點圖1-1.

為討論方便，這里添加的數(shù)據(jù)x11=-1，x12=1關(guān)于原始樣本的均值0對稱，繪制圖1-2.對比圖1-1和圖1-2可知，所添加的數(shù)據(jù)x11，x12，明顯偏離了原始數(shù)據(jù)這個“群”，數(shù)據(jù)添加后，樣本數(shù)據(jù)的離群程度從k10=-1.3818變大到k12=-0.2581.進一步，在均值附近添加x13=-005，x14=0.05后，x11，x12相對x1，x2，…，x14這個數(shù)據(jù)“群”的偏離程度更大且樣本峰度從k12=-0.2581增大到k14=0.1886.在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加x15=-0.01，x16=001后，x11，x12相對x1，x2，…，x16這個數(shù)據(jù)“群”的偏離程度再次加大且樣本峰度從k14=0.1886增大到k16=0.6436.

從上述演變過程，學(xué)生可以清晰地觀察樣本數(shù)據(jù)對樣本峰度的影響——在均值附近x13，x14或無窮遠（為作圖方便，我們?nèi)×穗x群較遠的孤立數(shù)據(jù)x11，x12）處添加數(shù)據(jù)，可以增加樣本峰度.注意到，我們所添加的數(shù)據(jù)x11，…，x16是帶有隨機性的，圖1-3和圖1-4表明總體X在0的附近取值的可能性較大（尖峰情形）;圖1-2表明總體在無窮處也有取值可能（重尾情形）.樣本峰度kn作為總體峰度K的近似，學(xué)生就很容易通過直觀觀察，理解總體峰度K是刻畫峰值位置尖峭性和尾部粗細程度的一個特征數(shù).

二、相關(guān)系數(shù)的含義

隨機變量（X，Y）的協(xié)方差通常定義為

Cov（X，Y）=E（X-EX）（Y-EY）.

設(shè)（xi，yi），i=1，2，…，n是來自（X，Y）的一組樣本，若記x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，則樣本協(xié)方差為

cn=1n∑ni=1（xi-x）（yi-y）.

若將（X，Y）視為二維平面上的隨機點對，考慮如下一組數(shù)據(jù)（0.2，2.2），（0.6，2.6），（0.9，3.8），（1.5，4），（1.8，5.5），（2.2，6.3），（2.9，7.6），（3.1，7.3），（3.8，8.9），（39，9.1），（4.2，10），（5，11.1），且x≈2.51，y≈6.53.

繪制散點圖2，利用x和y將平面分為四個區(qū)域，不妨記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ.容易發(fā)現(xiàn)，絕大部分數(shù)據(jù)落在了Ⅰ，Ⅲ兩個區(qū)域，此時（xi-x）>0，（yi-y）>0，cn=4095.這表明，cn>0時，X取值增大的同時，Y的趨勢有增大的趨勢，即X與Y正相關(guān).類似地，可以給學(xué)生展示大部分數(shù)據(jù)落入Ⅱ，Ⅳ區(qū)域時，cn<0，X與Y負相關(guān).由此，我們發(fā)現(xiàn)協(xié)方差是刻畫兩個隨機變量關(guān)聯(lián)程度的一個量.

三、結(jié)?論

我們以峰度和協(xié)方差為例，探討了如何應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件直觀展示抽象定義的含義和本質(zhì).學(xué)生不再需要死記硬背抽象的定義式，研究內(nèi)容一目了然.教學(xué)過程中，體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，在觀察發(fā)現(xiàn)隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律的同時，深刻理解了定義本身，課堂內(nèi)容也更形象生動.

【參考文獻】

[1]張微.對數(shù)學(xué)定義教學(xué)的一點思考[J].現(xiàn)代教育科學(xué).2012（12）：152-153.

[2]張萍.均值-方差-峰度資產(chǎn)組合優(yōu)化模型[J].科學(xué)技術(shù)與工程.2008（1）：16-20.