李鵬 高述勇 楊杰 遲潔茹

摘要：??針對關(guān)節(jié)型機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問題，本文設(shè)計了基于反步法的控制器。利用反步法將復(fù)雜的非線性機(jī)器人系統(tǒng)分解成兩個子系統(tǒng)，借助Lyapunov函數(shù)設(shè)計中間虛擬控制量，一直后推到整個系統(tǒng)，獲取控制系統(tǒng)實(shí)際的控制律，同時利用積分環(huán)節(jié)將每個子系統(tǒng)串聯(lián)起來，從而形成對整個系統(tǒng)的控制，并利用Lyapunov穩(wěn)定性定理，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時，以兩自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對象，搭建仿真控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明，反步法控制不僅具有良好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，而且魯棒性較強(qiáng)，說明該控制方法的軌跡跟蹤控制有效可行。該研究具有良好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：??關(guān)節(jié)型機(jī)器人;?反步法控制;?跟蹤控制;?穩(wěn)定性

中圖分類號：?TP242.2?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：?A

收稿日期：?2018-11-27;?修回日期：?2019-09-20

作者簡介：??李鵬（1991-），男，山東臨沂人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闇y控技術(shù)及智能儀器。

通信作者：??楊杰（1967-），男，山東青島人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闇y控技術(shù)及智能儀器。Email：?jackiey69@sina.com

關(guān)節(jié)型機(jī)器人（即機(jī)械手臂），是工業(yè)領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的機(jī)器人類型之一，在裝配、搬運(yùn)、焊接等工業(yè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[1]。但由于機(jī)器人系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，耦合性強(qiáng)，傳動的轉(zhuǎn)矩控制以及PID等控制方法已經(jīng)難以滿足工業(yè)化快速發(fā)展對機(jī)器人控制精度和速度的要求[2]。由于現(xiàn)代智能控制的快速發(fā)展，其在控制速度和精度上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)控制，但是在現(xiàn)代智能控制中仍然存在一些問題[3-4]。模糊控制無需建立精確的數(shù)學(xué)模型，魯棒性較強(qiáng)，但是在實(shí)際控制中卻存在穩(wěn)態(tài)精度不夠的問題[5-8]。反饋線性化控制能夠?qū)?fù)雜的非線性系統(tǒng)解耦，線性化準(zhǔn)確度高，但是易受外界干擾，魯棒性較差[9-10];無源控制具有全局穩(wěn)定性且不存在奇異點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)，但是一般只能借助阻尼的注入來設(shè)計控制器，使用其他方法，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性將難以得到保證，且期望的哈密頓函數(shù)、互聯(lián)矩陣以及阻尼矩陣比較復(fù)雜[11-14];反步法，即后推法，通過設(shè)計虛擬控制律保證系統(tǒng)內(nèi)核在穩(wěn)定性等方面的性能，并通過不斷的修正虛擬控制律，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定的跟蹤，控制系統(tǒng)的搭建和系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析比較簡單，控制系統(tǒng)的動、靜性能優(yōu)良。潘月斗等人[15]將反步法應(yīng)用到矩陣變換器輸入側(cè)電流的控制，實(shí)現(xiàn)在負(fù)載變化存在的情況下對輸入側(cè)電流的快速跟蹤，有效的提高了控制系統(tǒng)的魯棒性;劉燕斌等人[16]將反步法應(yīng)用到高超音速飛機(jī)縱向逆飛行控制中，實(shí)現(xiàn)了在具有嚴(yán)重非線性、強(qiáng)耦合的飛機(jī)縱向飛行控制以及對外界干擾的抑制，且能夠保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性;賀躍幫等人[17]將反步法應(yīng)用到無人直升機(jī)的跟蹤控制中，實(shí)現(xiàn)了外界干擾以及建模誤差等存在情況下的軌跡跟蹤控制，使控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性?；诖?，本文設(shè)計了基于反步法的控制器，借助Lyapunov函數(shù)得到控制系統(tǒng)實(shí)際的控制律，同時利用Lyapunov穩(wěn)定性定理，分析了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并以二自由關(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對象，搭建了機(jī)器人仿真控制系統(tǒng)，驗(yàn)證了反步法控制的有效性。

1?關(guān)節(jié)型機(jī)器人系統(tǒng)

對具有n個關(guān)節(jié)的剛性關(guān)節(jié)型機(jī)器人，其動態(tài)方程可用如下二階非線性微分方程描述[18]為

τ=M（q）+C（q，）（1）

式中，τ∈Rn為控制力矩;∈Rn為關(guān)節(jié)角位置矢量;∈Rn為關(guān)節(jié)角速度矢量;q∈Rn為關(guān)節(jié)角加速度矢量;M（q）∈Rn×n為機(jī)器人慣性矩陣;C（q，）∈Rn為機(jī)器人哥氏力與向心力矩陣。

2?關(guān)節(jié)型機(jī)器人反步法控制器設(shè)計

關(guān)節(jié)機(jī)器人的控制問題是指利用各關(guān)節(jié)的控制量，使各個關(guān)節(jié)能夠在較短的時間內(nèi)跟蹤輸入信號，同時保證控制輸出的穩(wěn)定性。定義如下非線性控制系統(tǒng)

1=f1（x1）+x22=f2（x1，x2）+x3i=fi（x1，…，xi）+xi+1n=fn（x1，…，xn-1，xn）+u（2）

式中，x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u=u（x）控制系統(tǒng)的反饋控制輸入。

反步法的基本思想是通過將每個子系統(tǒng)i中的xi+1作為虛擬控制量，并通過適當(dāng)?shù)奶摂M反饋xi+1=αi（i=1，2，…，n），使前面的狀態(tài)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。但由于一般難以滿足xi+1=αi，因此需要引入誤差，從而通過控制作用保證xi+1與αi之間漸進(jìn)穩(wěn)定[19-20]。

利用系統(tǒng)的狀態(tài)與虛擬反饋，定義n個誤差為

e1=x1e2=x2-α1（x1）en=xn-αn-1（x1，x2，…，xn-1）（3）

式中，αi（i=1，2，…，n）為待定。通過Lyapunov函數(shù)構(gòu)造，可以使每一個狀態(tài)分量能夠漸進(jìn)的穩(wěn)定。

為了便于使用反步法，定義機(jī)器人控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量x1=q，x2=，系統(tǒng)的輸出y=x1，則非線性系統(tǒng)（1）可以表示為

1=x22=M-1（x1）τ-M-1（x1）Cx2y=x1（4）

采用反步法，設(shè)計關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制器，其步驟如下：

步驟1?定義關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制系統(tǒng)的輸出誤差為

e1=y-yd（5）

其中，yd為控制系統(tǒng)期望的輸出。對式（5）求導(dǎo)，可得

1=1-d=x2-d（6）

定義第1個子系統(tǒng)的虛擬控制量為

α1=-c1e1+d（7）

其中，c1為可調(diào)整的參數(shù)，且c1>0。

定義關(guān)節(jié)型機(jī)器人的虛擬控制誤差為

e2=x2-α1（8）

對第1個子系統(tǒng)定義Lyapunov函數(shù)為

V1=12e21（9）

則對式（9）求導(dǎo)，并結(jié)合式（6）可得

1=e11=e1（x2-d）=e1（e2+α1-d）（10）

將式（8）代入式（10）可得

1=-c1e21+e1e2（11）

如果e2=0，則1≤0，為此，進(jìn)行下一步設(shè)計。

步驟2?對式（8）求導(dǎo)，并結(jié)合式（4）可得

2=M-1（x1）τ-M-1（x1）Cx2-1（12）

對第2個子系統(tǒng)定義Lyapunov函數(shù)為

V2=V1+12e22（13）

對式（13）求導(dǎo)可得

2=1+e22=-c1e21+e1e2+e22=-c1e21+e1e2+e2（M-1（x1）τ-M-1（x1）Cx2+c11-d1）（14）

為使2≤0，設(shè)計關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制器的實(shí)際控制律為

τ=Cx2+M（x1）d-M（x1）c11-M（x1）e1-c2e2（15）

其中，c2為可調(diào)整的參數(shù)，且c2>0。則

2=-c1e21-c1e22≤0（16）

關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制律的設(shè)計滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理的條件，使e1和e2漸進(jìn)穩(wěn)定，從而可以保證系統(tǒng)具有全局的漸進(jìn)穩(wěn)定。

3?仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證多關(guān)節(jié)機(jī)器人反步法控制的有效性，選取了二自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對象，在Matlab/Simulink搭建仿真控制系統(tǒng)，仿真控制系統(tǒng)如圖1所示。

二自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人的動力學(xué)方程為

M11M12M21M2212+C11C12C21C2212=τ（17）

其中，M11=0.006?012cos?q2-0.005?07sin?q2+0.065，M12=M21=0.003?006cos?q2-0.002?535sin?q2+0.029?34，M22=0.029?34;

C11=（-0.017?88sin?q2）2，C21=（0.000?893?4sin?q2）1，C12=（-0.000?893?4sin?q2）2，C22=0。

采用反步法控制時，系統(tǒng)仿真參數(shù)分別為c1=50，c2=1?000。采用PD時，機(jī)器人控制系統(tǒng)的力矩或者力控制輸出為

τ=kpe+kd（18）

其中，τ為控制力矩或力;e為軌跡跟蹤誤差;kp為比例系數(shù);kd為微分系數(shù)。

給定關(guān)節(jié)型機(jī)器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的期望角度為qr1=qr2=1。采用反步法控制時，反步法控制關(guān)節(jié)1期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖2所示，反步法控制關(guān)節(jié)2期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖3所示。由圖2和圖3可以看出，反步法控制的跟蹤速度較快，能夠較快的到達(dá)穩(wěn)態(tài)，而且到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，反步法控制的穩(wěn)態(tài)精度較高，說明反步法控制具有良好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

采用PD控制時，PD控制關(guān)節(jié)1期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖4所示，PD控制關(guān)節(jié)2期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖5所示。由圖4和圖5可以看出，PD控制的跟蹤速度比反步法控制跟蹤速度慢，且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，PD控制比反步法控制的穩(wěn)態(tài)精度低。

當(dāng)t=0.6?s時，施加一個持續(xù)時間為0.01?s的干擾后，采用反步法控制時，干擾對反步法控制關(guān)節(jié)1軌跡曲線的影響如圖6所示，干擾對反步法控制關(guān)節(jié)2軌跡曲線的影響如圖7所示。

由圖6和圖7可以看出，在給各關(guān)節(jié)施加干擾后，采用反步法控制的波形波動較小，再次達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時間較短，說明反步法控制具有較強(qiáng)的魯棒性。

采用PD控制時，干擾對PD控制關(guān)節(jié)1軌跡曲線的影響如圖8所示，干擾對PD控制關(guān)節(jié)2軌跡曲線的影響如圖9所示。由圖8和圖9可以看出，采用PD控制的波形波動比反步法控制大，再次達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時間比反步法控制長。

由以上仿真結(jié)果可知，反步法控制具有更好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，且控制系統(tǒng)能夠更明顯的減弱外界干擾對機(jī)器人控制系統(tǒng)輸出的影響，魯棒性更強(qiáng)，說明該控制方法有效，符合設(shè)計的要求。

4?結(jié)束語

本文針對多關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制，提出了反步法控制。選取二自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對象，在Matlab/Simulink中搭建控制系統(tǒng)，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并將反步法控制與傳統(tǒng)的PD控制進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)存在外界干擾時，與傳統(tǒng)的PD控制相比，反步法控制系統(tǒng)的輸出波形變化較小，說明反步法控制能夠更強(qiáng)的抑制外界干擾影響，具有更強(qiáng)的魯棒性;同時與傳統(tǒng)PD控制相比，反步法控制的輸出能夠更快的跟蹤輸入信號，且穩(wěn)態(tài)精度更高，說明反步法控制具有更好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，因此該控制方法是可行有效的。

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Control?and?Simulation?of?MultiLink?Robots?Based?on?Backstepping

LI?Penga，?GAO?Shuyonga，?YANG?Jiea，?CHI?Jierub

（a.?School?of?Electromechanic?Engineering;?b.?School?of?Electronic?Information，?Qingdao?University，?Qingdao?266071，?China）

Abstract：??Aiming?at?the?tracking?control?of?multilink?robots，?a?controller?based?on?backstepping?is?designed.?Backstepping?method?can?decompose?the?nonlinear?robot?system?into?two?subsystems.?And?by?the?use?of?Lyapunov?function，?we?can?design?inter?virtual?control?variables，?until?back?to?the?whole?system.?Then?by?the?use?of?the?Lyapunov?function，?we?can?obtain?the?actual?control?law?of?the?control?system.?Each?subsystem?is?connected?in?series?by?the?use?of?integral?part，?thus?it?can?realize?the?control?of?entire?system.?The?Lyapunov?stability?theorem?is?used?to?prove?the?stability?of?the?system.?The?simulation?results?show?that?the?backstepping?method?not?only?has?good?dynamic?and?steadystate?performance，?but?also?has?strong?ability?to?suppress?the?external?interference.?The?simulation?results?indicate?that?the?trajectory?tracking?control?of?backstepping?is?effective?and?feasible.?The?control?method?has?a?good?application?prospect.

Key?words：??multilink?Robots;?backstepping?control;?tracking?control;?stability