陳茜瑤，張 海，馬俊風(fēng)

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

分?jǐn)?shù)階微積分是由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分兩部分組成。分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)是一個(gè)非常有前景的研究課題，動(dòng)力學(xué)分析、穩(wěn)定性分析及控制理論都已成為熱門的研究課題[1-7]。雖然經(jīng)典控制方法廣泛運(yùn)用于工業(yè)上，但是因非線性系統(tǒng)的控制性能和控制方法不完善，所以經(jīng)典控制方法并不理想，而滑模控制（SMC）可以保證具有不確定性的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性[8-11]。文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)出基于憶阻器的具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)一致同步性判據(jù)。文獻(xiàn)[13]根據(jù)分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)、線性矩陣不等式及Laplace變換，得出下列具有全/欠驅(qū)動(dòng)的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于滑模控制的同步性：

其中分?jǐn)?shù)階階數(shù)α ∈(0,1)，對(duì)于非線性函數(shù)fj(xj(t))，n表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)單元數(shù)，bij是在第i神經(jīng)元中第j神經(jīng)元的常數(shù)連接權(quán)重，xi(t)是t時(shí)刻第i單元的狀態(tài)，ai為當(dāng)?shù)趇神經(jīng)元與網(wǎng)絡(luò)未連接時(shí)，重置其電位至靜態(tài)的速率，Ii為外部輸入。

受文獻(xiàn)[12-13]啟發(fā)，本文利用分?jǐn)?shù)階微分方程、Volterra-integral等式和不等式技巧，討論基于滑模控制的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)一致同步問(wèn)題，推廣了文獻(xiàn)[12-13]中的相應(yīng)結(jié)果。將(1)式作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，令x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T，A=diag(a1,a2,…,an)，I=[I1,I2,…,In]T，B=(bij)n×n，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)可表為

1 預(yù)備知識(shí)

為了更好地描述相關(guān)模型，這里給出相關(guān)重要的定義和引理。

定義1[2]對(duì)于函數(shù)f (t)∈C[[0,+∞),?]，且α ＞0，則稱d-α的α階分?jǐn)?shù)階積分，其中Γ(α)=e-ttα-1dt。

定義2[2]對(duì)于在[0,+∞)上的所有n 階連續(xù)可微函數(shù)的集合函數(shù)f (t)∈Cn+1[[0,+∞),?]，則Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)表示為其中α ＞0，n 為一個(gè)正整數(shù)，且n-1＜α ＜n，特別有，當(dāng)0 ＜α ＜1時(shí)，有

引理1[7]如果f (t)∈Cn[0,∞)，t ∈[0,T]且n-1＜α ＜n，n ∈?+,則（i）d-αd-βf (t)=d-(α+β)f (t)，α，β ≥0；（ii）dαd-βf (t)=f (t)，α=β ≥0；（iii）d-αdβf (t)=f (t)-(0)，α=β ≥0。

為了考慮分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)一致同步性，其響應(yīng)系統(tǒng)為

其中G為控制增益矩陣，且為未知的。

同步誤差為e(t)=x(t)-y(t)，則誤差系統(tǒng)為定義3[12]對(duì)誤差系統(tǒng)(4)，如果對(duì)?ε ＞0，存在兩個(gè)常數(shù)0 ＜δ ＜ε，T ＞0，當(dāng)‖ ‖e(t0) ＜δ 時(shí)，有‖ ‖e(t) ＜ε，對(duì)?t ∈J=[t0,t0+T]，其中t0為初始觀測(cè)時(shí)間，則稱分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)(3)能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步。

引理3[15]若x ≥-1，0 ＜α ＜1，則(1+x)α≤1+αx。

引理4[16]令z(t),a(t)和h(t)為?+上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，又令1≤p ＜∞為一實(shí)數(shù)，若

假設(shè)（H1）函數(shù)fj(·)滿足Lipschitz條件，即對(duì)于所有的x，y ∈?，存在正標(biāo)量Fj，則

其中F=diag(F1,F2,…,Fn)。

2 主要結(jié)果

文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)出一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階滑模表面，定義為

其中H ∈?m×n和G ∈?n×m是兩個(gè)實(shí)矩陣，則HG為非奇異，K ∈?n×m為常數(shù)矩陣。

根據(jù)引理1可知，所提出的滑模表面(5)式的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)方程定義為

若f (x(t))和f (y(t))是預(yù)先已知的，并且令dασ(t)=0，則等價(jià)控制信號(hào)ueq為

則滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為

其中Ω=I-G(HG)-1H。

引理5[13]對(duì)于給定的Lipschitz常數(shù)l= ‖ ‖F(xiàn) ，如果存在一個(gè)正定的n×n增益矩陣E和一個(gè)m×n增益矩陣K，滿足

則動(dòng)力學(xué)方程(6)式是漸近穩(wěn)定的，且Λ=-PA-AP-PGK -KTGTP。

根據(jù)引理1，可得

通過(guò)對(duì)(8)式運(yùn)用假設(shè)(H1)，可得

兩邊同時(shí)乘以e-t，得

其中V1=e-t‖φ ，V2‖=M。

根據(jù)引理4和（10）式可得

因此，結(jié)合（11）～（13）式有

所以，根據(jù)定義3可知，如果‖ φ ‖＜δ，則‖ e(t) ‖＜ε，即分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）將實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步。

接下來(lái)，討論分?jǐn)?shù)階滑模表面（5）式，K是矩陣不等式（7）的一個(gè)解，而分?jǐn)?shù)階滑模同步控制器為

時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）的準(zhǔn)一致同步問(wèn)題，其中K1＞0為增益矩陣，‖ F^ (t) ‖是未知常數(shù)‖ F(t)‖的估算值，并且由分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)率確定：dαl^(t)=ω1‖ HB ‖‖ e(t)‖|σi(t) |-ω1ω2l^(t)，其中σ1，σ2為正設(shè)計(jì)參數(shù)。結(jié)合（4）式和（20）式，所得同步誤差系統(tǒng)為

根據(jù)（8）式和（9）式，同理可得

定理2 在假設(shè)（H1）和引理5的基礎(chǔ)上，若0 ＜α ＜1，且1+

上式兩邊同時(shí)乘以e-t，得

根據(jù)引理4，結(jié)合（12）式、（13）式和（15）式，可得

即

‖ e(t) ‖≤Z1et+υZ1eteZ2υt(1-e-Z2υt)= ‖ φ ‖+υ‖ φ ‖e(SA+SB)υt(1-e-(SA+SB)υt)=[1+υe(SA+SB)υt(1-e-(SA+SB)υt)]‖ φ ‖，故而，由定義3可知，若‖ φ ‖＜δ，則‖ e(t) ‖＜ε，即分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）將實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步。

3 應(yīng)用舉例

為了驗(yàn)證所得定理的正確性以及可行性，現(xiàn)給出數(shù)值模擬。

例 討論以下作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的3維分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)dαxi(t)=-aixi(t)+bijfj(xj(t)) +Ii，i=1,2,3，則矩陣形式為

圖1、圖2分別表示系統(tǒng)（16）和（17）、（16）和（18）之間的同步誤差系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡，圖3、圖4分別表示系統(tǒng)（16）和（17）、（16）和（18）的同步誤差的模。

圖1 系統(tǒng)（16）和系統(tǒng)（17）同步誤差狀態(tài)軌跡

圖2 系統(tǒng)（16）和（18）同步誤差狀態(tài)軌跡

圖3 系統(tǒng)（16）和（17）的同步誤差的模

圖4 系統(tǒng)（16）和（18）的同步誤差的模

4 總 結(jié)

本文利用滑模控制策略、Volterra-integral等式和不等式技巧等,推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)路系統(tǒng)的準(zhǔn)一致同步性的充分性判據(jù),并推廣了先前工作，同時(shí)給出了仿真實(shí)例,以說(shuō)明所探討課題的可行性。接下來(lái)將進(jìn)一步探討基于滑模控制下的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)一直同步問(wèn)題、有限時(shí)間投影同步問(wèn)題及全局Mittag-Leffler同步問(wèn)題等。