楊宏偉，劉玉潔，朱成科

（南京農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京210095）

近年來，關(guān)于光子傳播特性的研究引起了人們的重視。在傳播過程中，如何控制光子的運(yùn)動(dòng)軌跡，讓其在滿足人們需求的前提下，按照一定的規(guī)律輸運(yùn)，形成了一個(gè)很有意義的研究方向。1987 年,Eli Yablonovitch和Sajeev John各自獨(dú)立地提出了光子晶體的概念[1-2]，在文章中，他們分別討論了具有周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)的材料對光傳播行為的影響。他們的研究表明，光子晶體的結(jié)構(gòu)變化，可以控制光子的流動(dòng)規(guī)律。而光子晶體的結(jié)構(gòu)，又可以設(shè)計(jì)為折射率周期性變化的一種材料排列，在這種材料的折射率可以呈周期性變化的電介質(zhì)結(jié)構(gòu)中，電磁波的某些波段因周期性結(jié)構(gòu)的強(qiáng)散射效應(yīng)而受到影響，將無法在電介質(zhì)材料中正常傳播，因而形成光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)[3-4]。進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，光子晶體的這種帶隙結(jié)構(gòu)可以使電磁波的傳播發(fā)生巨大的變化，從而可以實(shí)現(xiàn)新的傳輸功能[5-6]。

波導(dǎo)是一種約束或引導(dǎo)電磁波能量和信息定向傳輸?shù)膫鬏斁€。光子晶體波導(dǎo)作為一種新型波導(dǎo)結(jié)構(gòu)迅速得到廣泛關(guān)注[7-10]。研究發(fā)現(xiàn)，將缺陷引入到光子晶體結(jié)構(gòu)中，形成點(diǎn)缺陷或線缺陷，可以形成具有一定特性的光子晶體波導(dǎo)結(jié)構(gòu)。光子晶體波導(dǎo)的原理是利用光子帶隙特性來控制光的傳播，在光子禁帶內(nèi)的電磁波入射到光子晶體波導(dǎo)時(shí)，電磁波將沿著缺陷的方向傳播，當(dāng)偏離缺陷時(shí)，能量將迅速衰減，并且光子晶體波導(dǎo)幾乎不受轉(zhuǎn)角的限制，而且在傳輸過程中有著很小的彎曲損耗。而傳統(tǒng)波導(dǎo)不能很好地實(shí)現(xiàn)90度的垂直轉(zhuǎn)彎，在實(shí)現(xiàn)90度垂直轉(zhuǎn)彎時(shí)，理論上會(huì)出現(xiàn)30%的傳輸能量損失，而光子晶體波導(dǎo)的損耗很小，只有2%左右[11]。因此，光子晶體波導(dǎo)引起了科學(xué)工作者的關(guān)注，它的特性在光通信、光集成電路等方面具有十分重要的意義[12]。本文主要應(yīng)用時(shí)域有限差分（FDTD）法數(shù)值模擬和分析線缺陷波導(dǎo)[13]和耦合點(diǎn)缺陷波導(dǎo)[14]的能量傳輸特性。

1 數(shù)值方法

研究表明，宏觀麥克斯韋（Maxwell）方程組的求解，可以很好地研究光在光子晶體中的傳播問題，光子晶體的理論研究，主要是求解下列方程組：

各向同性線性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為D=εE，B=μH，式中，H為磁場強(qiáng)度，D為電通量密度，E為電場強(qiáng)度，B為磁通量密度，ε為介質(zhì)的介電常數(shù)，μ為磁導(dǎo)系數(shù)。

本文的時(shí)域有限差分方法[15-17]的主要思想來自1966 年Kane S.Yee 提出的二維時(shí)域有限差分方法[18]，用對空間和時(shí)間的差分格式代替麥克斯韋方程組中的微分形式，采用中心差分表達(dá)式代替方程組（1）中的微分表達(dá)方法，將麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為具有迭代形式的FDTD方程[19-20]:

從上述表達(dá)式可以看出，假如我們知道了在每個(gè)離散格點(diǎn)上的介電常數(shù)ε、磁導(dǎo)系數(shù)μ0與電場和磁場的初始分布值E和H，那么就可以根據(jù)離散的FDTD時(shí)間離散步長公式（2）～（4）獲得電場和磁場的時(shí)間演化規(guī)律，從而分析其傳播特性。但是，由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量和計(jì)算速度的限制，F(xiàn)DTD計(jì)算方法只能在有限區(qū)域空間里進(jìn)行。因此，為了能數(shù)值模擬仿真開域區(qū)間的電磁波演變推進(jìn)過程，在計(jì)算區(qū)域的截?cái)噙吔缤?，還必須設(shè)計(jì)給出合適的吸收邊界條件，這樣才有利于計(jì)算問題的合理收斂。本文在計(jì)算過程中，利用了計(jì)算電磁學(xué)中普遍采用的并且效果很好的完美匹配層（PML）吸收邊界條件[21]。

2 模型與計(jì)算結(jié)果

2.1 光子晶體線缺陷波導(dǎo)

光子晶體線缺陷波導(dǎo)的實(shí)質(zhì)是引入線缺陷。引入線缺陷的常用方式是去掉某方向的一排光子晶體，以背景介質(zhì)替代。當(dāng)線缺陷是直線時(shí)，光波導(dǎo)也是相應(yīng)的直線，當(dāng)缺陷呈一定角度時(shí)，光波導(dǎo)也呈現(xiàn)一定的角度，即電磁波將嚴(yán)格地按照缺陷的方向傳播，可以實(shí)現(xiàn)低能量損耗的高品質(zhì)波導(dǎo)。在這里，通過在完整的光子晶體結(jié)構(gòu)中移除部分介質(zhì)柱以引入線缺陷，分別設(shè)計(jì)構(gòu)造了L型、U型兩種線缺陷光子晶體波導(dǎo)。

計(jì)算中采用的二維光子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)：二維正方形晶格結(jié)構(gòu)，周期N=11，晶格常數(shù)為a=20 mm，背景介質(zhì)為空氣，介質(zhì)柱相對介電常數(shù)為11，介質(zhì)柱半徑R=0.2a，激勵(lì)源采用正弦波，頻率為564 GHz，模型四周邊界加入8層PML，運(yùn)用（2）～（4）式進(jìn)行FDTD算法編程與仿真。圖1為二維光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖，圖2和圖3分別給出了兩種波導(dǎo)的模型圖和時(shí)域電場分布圖。

從電場能量分布圖可以看出，線缺陷光子晶體波導(dǎo)能夠較好地引導(dǎo)并實(shí)現(xiàn)對能量的高品質(zhì)傳輸，體現(xiàn)在傳輸過程中，線缺陷光子晶體對能量的引導(dǎo)作用。

圖1 二維光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 L型線缺陷光子晶體波導(dǎo)。（a）L型模型圖，（b）L型電場分布圖

圖3 U型線缺陷光子晶體波導(dǎo)。（a）U型模型圖，（b）U型電場分布圖

2.2 光子晶體耦合點(diǎn)缺陷波導(dǎo)

光子晶體耦合點(diǎn)缺陷波導(dǎo)的設(shè)計(jì)是在完整的光子晶體中沿某一方向引入交替的點(diǎn)缺陷結(jié)構(gòu)，電磁波在點(diǎn)缺陷之間相互耦合，以此傳遞能量。光子晶體耦合點(diǎn)缺陷波導(dǎo)最早由Amnon Yariv 提出[14]，近年來，基于耦合缺陷設(shè)計(jì)的波導(dǎo)引起了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，因?yàn)檫@種耦合跳躍式傳輸，可以在設(shè)計(jì)大角度轉(zhuǎn)彎結(jié)構(gòu)的條件下達(dá)到接近100%的傳輸效率。所以，此類波導(dǎo)的特性，有希望被用于設(shè)計(jì)無損器件、無反射分束器件和特殊微波電路的組成元件。

首先依據(jù)耦合點(diǎn)缺陷原理設(shè)計(jì)一個(gè)直線型波導(dǎo)，完整光子晶體模型參數(shù)與圖2相同，僅在中間一排去掉奇數(shù)介質(zhì)柱，形成直線型點(diǎn)缺陷光子晶體波導(dǎo)，其結(jié)構(gòu)圖和時(shí)域電場圖如圖4所示。

圖4 直線耦合點(diǎn)缺陷光子晶體波導(dǎo)。（a）直線點(diǎn)缺陷型模型圖，（b）直線點(diǎn)缺陷電場分布圖

其次，基于耦合點(diǎn)缺陷光子晶體簡易設(shè)計(jì)一種光子晶體分束器。分束器是集成電路中的一個(gè)重要功能型器件，利用光子晶體的特性，就可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)功能，它主要用于能量分束。集成電路中常見的分束器有T型分束器和Y型分束器等。

2.3 基于點(diǎn)缺陷波導(dǎo)分束器

基于耦合點(diǎn)缺陷光波導(dǎo)可以設(shè)計(jì)傳輸效率很高的分光器件，主要依據(jù)兩點(diǎn)：第一，基于耦合缺陷波導(dǎo)的光傳輸，可以實(shí)現(xiàn)在大角度轉(zhuǎn)彎處的低損耗；第二，光波也是一種電磁波，電磁波在耦合缺陷波導(dǎo)中傳輸時(shí)，利用的是耦合傳輸原理。這兩點(diǎn)決定了基于耦合缺陷設(shè)計(jì)的波導(dǎo)分光器件效率高。基于上述對耦合點(diǎn)缺陷光子晶體的分析，這里以耦合點(diǎn)缺陷波導(dǎo)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)一個(gè)3 dB分束器。常見光子晶體分束器的基本結(jié)構(gòu)由直線波導(dǎo)和彎曲波導(dǎo)構(gòu)成，這里設(shè)計(jì)的光子晶體耦合點(diǎn)缺陷波導(dǎo)3 dB分束器主要由點(diǎn)缺陷直線波導(dǎo)和兩個(gè)L型點(diǎn)缺陷波導(dǎo)組成。

完整光子晶體模型結(jié)構(gòu)參數(shù)同上所述，僅在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出直線點(diǎn)缺陷與L型點(diǎn)缺陷結(jié)構(gòu)。FDTD數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 耦合點(diǎn)缺陷光子晶體波導(dǎo)3 dB分束器。（a）點(diǎn)缺陷型模型圖，（b）點(diǎn)缺陷電場分布圖

從圖5中可以看出，設(shè)計(jì)的3 dB光子晶體分束器能夠較好地實(shí)現(xiàn)能量的分配并進(jìn)行高效傳輸。

3 結(jié) 論

光子晶體是一種可以應(yīng)用于微波通訊、光通訊、光電集成和空間光電技術(shù)等領(lǐng)域的一種新概念材料。利用二維光子晶體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的波導(dǎo)，更是憑借其優(yōu)異的光學(xué)特性贏得了廣泛的關(guān)注和深入的研究。本文采用FDTD方法模擬仿真分析了具有耦合點(diǎn)缺陷和線缺陷結(jié)構(gòu)的光子晶體波導(dǎo)的傳輸特性，可以看出，電磁波在拐角處的能量損耗很小，表明二維光子晶體波導(dǎo)、功分器具有很高的能量傳輸效率，這為光子晶體器件的設(shè)計(jì)研究提供了一定的理論依據(jù)。