周坤濤，楊 濤，葛 根

(1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300399；2.天津理工大學(xué)工程訓(xùn)練中心，天津 300384)

變截面懸臂梁的振動(dòng)在工程中有著廣泛的應(yīng)用，近年來(lái)被集中應(yīng)用于微機(jī)電系統(tǒng)[1-2](MEMS)和振動(dòng)能量收集系統(tǒng)[3-4]。變截面梁的振型方程和等截面懸臂梁[5]有著根本性不同。由此導(dǎo)致的振動(dòng)固有頻率以及大振幅下的非線性特征也有巨大的差別。

目前，主要有四大類方法計(jì)算變截面懸臂梁的模態(tài)函數(shù)和固有頻率。

1) 采用攝動(dòng)法的思想。在均勻懸臂梁的振型函數(shù)的基礎(chǔ)上攝動(dòng)，將變截面懸臂梁分成相互連接的若干段的組合，將每一小段近似等截面懸臂梁的疊加，從而得到新的頻率[6-8]，顯然無(wú)論頻率還是變形程度都不理想。

2) 利用有限元(FE)半解析法。該方法采用有限元(finite element)模擬出振型圖形，再用多項(xiàng)式函數(shù)逼近此振型圖像以此作為振型函數(shù)進(jìn)行計(jì)算[9]，此方法對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)較有優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于簡(jiǎn)單構(gòu)件且要求精度的非線性振動(dòng)而言，F(xiàn)E失之繁瑣。

3) 采用瑞利-里茲法，通過(guò)選取滿足邊界條件的預(yù)設(shè)振型函數(shù)(通常還是均勻懸臂梁的振型函數(shù))，不斷修改項(xiàng)數(shù)直到頻率收斂[10-11]，此方法求固有頻率尚可，當(dāng)用伽遼金法時(shí)空分離時(shí)，由于振型函數(shù)的不吻合，對(duì)變形的預(yù)測(cè)能力較差。

4) 無(wú)須近似逼近，直接將方程的解設(shè)為特殊函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)[12-13]和Meijer-G函數(shù)[14]。文獻(xiàn)[14]中，作者通過(guò)將振型函數(shù)視為四個(gè)Meijer-G函數(shù)的線性組合，研究了變截面懸臂梁的線性自由振動(dòng)，然而該方法在求解振型函數(shù)的系數(shù)時(shí)可能是復(fù)數(shù)，導(dǎo)致畫振型圖不便。

針對(duì)以上研究現(xiàn)狀，本文提出一種超幾何函數(shù)及Meijer-G函數(shù)的線性組合的振型函數(shù)。并用有限元、有限元半解析法與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該模態(tài)函數(shù)的精確性。隨后考慮了變截面不可伸縮懸臂梁的非線性振動(dòng)方程，探討變截面梁在大振幅下的自由振動(dòng)幅頻關(guān)系，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文采用的模態(tài)函數(shù)無(wú)論在求解頻率還是在預(yù)測(cè)振幅方面的有效性。

1 模型建立

1.1 動(dòng)力學(xué)建模

如圖1(a)所示，該歐拉-伯努利梁為等厚度且沿長(zhǎng)度方向逐漸變窄的懸臂梁，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，厚度為h，固定端和自由端的寬度分別為wA和wB。建立圖示直角坐標(biāo)系，x軸位于梁的中性軸，y軸沿梁厚度方向，z軸沿梁寬度方向，s軸為沿梁長(zhǎng)度方向固定在中性軸上的弧坐標(biāo)。圖1(b)為坐標(biāo)s處微段ds的變形圖。

圖1 歐拉-伯努利梁理論Fig.1 Euler-Bernoulli beam theory

定義截面形狀參數(shù)p=1-wB/wA，則其隨長(zhǎng)度變化的橫截面積和截面慣性矩分別為A(s)、I(s)，表示如下[14]：

選取圖1(b)中的微元段進(jìn)行變形與受力分析，如圖2所示，其中x、y為直角坐標(biāo)系，ξ、η為自然軸系。圖2(a)所示微元變形包含沿x軸的位移u、沿y軸的位移w以及微段的轉(zhuǎn)角θ3。根據(jù)變形前后梁的微段幾何關(guān)系可得：

圖2 微元段幾何變形與受力圖Fig.2 Differential element geometric deformation and free-body diagram

( ′ )表示對(duì)s的偏導(dǎo)數(shù)，(·)表示對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)。因懸臂梁無(wú)軸向載荷，由圖2(b)中受力分析可知，在s=L處滿足(微段在x方向合力為零)[15]：

式中：F1為軸力；F2為剪力；ρ為梁的密度。

根據(jù)剪力方程可得[15]：

式中：彎矩方程M3=EI(sin-1w′)′，E表示彈性模量，為慣性矩；為梁橫截面繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性項(xiàng)明顯低于橫向振動(dòng)情況，故本文忽略梁截面的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)(j3=0)。

y方向微分形式的平衡方程為：

將式(6)、式(7)代入式(8)，并將方程進(jìn)行Taylor展開，保留w非線性部分至最高三次方得到梁的非線性自由振動(dòng)偏微分方程如下：

假設(shè)第i階梁的位移可表示為：

式中：φi(s)為暫時(shí)待定的模態(tài)空間分布函數(shù)；qi(t)為模態(tài)坐標(biāo)。引入無(wú)量綱變換：

則式(9)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

1.2 基于超幾何函數(shù)和Meijer-G函數(shù)的振型函數(shù)

為求解梁的模態(tài)頻率和振型，首先計(jì)算線性特征值問題，并令式(9)中阻尼項(xiàng)和非線性項(xiàng)系數(shù)為零，得到變截面梁無(wú)阻尼線性微分方程：

考慮懸臂梁的邊界條件，固定端約束處即s=0時(shí)撓度與轉(zhuǎn)角分別為零；在自由端即s=L處，彎矩與剪力分別為零，即：

采用上述相同的無(wú)量綱變換，將式(10)代入式(12)可得：

本文采用超幾何函數(shù)和Meijer-G函數(shù)的線性組合形式來(lái)表達(dá)振型函數(shù)，如下：

式中，Cji(i=1,2,…,n)為待定系數(shù)：

超幾何函數(shù)pFq[13]和梅哲G函數(shù)[14]定義如下：

式中：z為獨(dú)立自變量；a1-ap和b1-bq均為實(shí)常數(shù)。梅哲G函數(shù)中η為一個(gè)復(fù)變量，m、n、p、q為滿足0≤m≤q, 0≤n≤p的整數(shù)，Γ()表示歐拉Gamma函數(shù)。

這里需要注意的是，這種振型函數(shù)和均勻懸臂梁振型函數(shù)有著根本性不同，均勻懸臂梁振型函數(shù)如下：

顯然式(20)由三角函數(shù)和雙曲函數(shù)線性組合而成，但式(16)由超幾何函數(shù)和梅哲G函數(shù)線性組合而成。

為確定待定系數(shù)Cji和βi，需考慮式(15)后的四個(gè)邊界條件。

想要式(21)有非零解，必須使系數(shù)矩陣的特征行列式等于零，即可求得待定的βi。固定Cji中的任何一個(gè)，可求解出另三個(gè)。通過(guò)歸一化條件可以確定這四個(gè)常數(shù)Cji。本文選取了p=0.3,0.5,0.7三種情況作為例，前兩階振型的系數(shù)Cji和βi，得到了一、二階固有頻率，模態(tài)振型。

1.3 理論分析

1.2節(jié)已經(jīng)確定了振型函數(shù)φi(?)，采用伽遼金法對(duì)式(11)進(jìn)行時(shí)空分離：對(duì)各項(xiàng)乘以φ沿著無(wú)量綱量程梁長(zhǎng)對(duì)?從0到1積分，則式(11)可以重新表達(dá)如下：

表1 前二階模態(tài)的系數(shù)βi和CjiTable 1 βiand Cji coefficients of the first two modes

式中：ωi表示無(wú)量綱的固有頻率；α1i表示無(wú)量綱彎曲非線性項(xiàng)系數(shù)；α2i表示無(wú)量綱慣性非線性項(xiàng)系數(shù)，具體參數(shù)如下：

形如式(22)的方程在以往的等截面懸臂梁非線性振動(dòng)中極為常用。但在變截面懸臂梁的變形系數(shù)p的不同取值下，無(wú)量綱的頻率、彎曲非線性系數(shù)、慣性非線性系數(shù)取值各不相同。眾所周知，彎曲非線性系數(shù)導(dǎo)致漸硬特性，慣性非線性系數(shù)導(dǎo)致漸軟特性。這兩項(xiàng)對(duì)研究非線性振動(dòng)極為重要。而式(23)中三項(xiàng)系數(shù)都由振型函數(shù)的積分而來(lái)，因此只有足夠精確的振型函數(shù)才能得到足夠精確的非線性系數(shù)，本文振型函數(shù)代入式(23)得到的非線性系數(shù)如表2所示。反之如果驗(yàn)證這些系數(shù)的有效性也就充分說(shuō)明了本文采用的振型函數(shù)的正確性。

表2 前兩階模態(tài)的方程系數(shù)Table 2 The coefficients of first two modes

2 模態(tài)頻率和振型函數(shù)的驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文理論的正確性，采用東華動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)(DH5927N)，利用錘擊法進(jìn)行了模態(tài)實(shí)驗(yàn)，分別選取p=0.3,0.5,0.7 三根變截面梁(鋁合金)，并將其劃分29等份，其中一端緊固在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，另一端自由，將質(zhì)量為1 g的加速度傳感器(1A801E，靈敏度為2.488 mV/g)粘接在11號(hào)節(jié)點(diǎn)，如圖3所示。

圖3 模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)Fig.3 Model experiment setup

由于其質(zhì)量非常小，不考慮它對(duì)振型及頻率的影響。試件特性如表3和表4所示。

表3 懸臂梁的材料和幾何特性Table 3 Material and geometric properties of the cantilever beams

表4 懸臂梁的寬度Table 4 Width of the cantilever beams

實(shí)驗(yàn)時(shí)將測(cè)試系統(tǒng)采樣頻率設(shè)置為100 Hz，采用多點(diǎn)激勵(lì)，單點(diǎn)拾振的方法，用力錘(型號(hào)為L(zhǎng)C02 5 kN)依次敲擊各點(diǎn)，同時(shí)觀測(cè)力信號(hào)、加速度信號(hào)、頻響函數(shù)、相干函數(shù)等指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)力錘敲擊的有效性，如圖4所示為錘擊后的頻響曲線圖。由圖4可知，該曲線為p=0.5的試件頻響，在探測(cè)范圍內(nèi)，出現(xiàn)兩個(gè)清晰的峰值，分別為一階頻率和二階頻率，其具體值如表5所示。

通過(guò)理論、有限元及實(shí)驗(yàn)的方法分別得到了p=0.3,0.5,0.7三根梁的固有頻率。固有頻率其中特征時(shí)間尺度為從表2中得到的無(wú)量綱頻率ωi即可得到表5中實(shí)際試件的固有頻率理論值。從表5中可以看出三種方法結(jié)論吻合較好，隨著p的不斷增大，梁的一階和二階固有頻率也逐漸增大，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差小于3%，充分說(shuō)明本文表1中計(jì)算出的β有很好的精度。

圖4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試頻響函數(shù)Fig.4 Frequency response function of experiment test

表5 試件的基頻Table 5 The fundamental frequency of specimens

為了證實(shí)表1中計(jì)算出的C1、C2、C3、C4系數(shù)的正確性。筆者對(duì)比有限元模擬、有限元半解析法[16]及模態(tài)實(shí)驗(yàn)的振型結(jié)果。本文以p=0.5的梁為例，并將梁長(zhǎng)與振幅均歸一化，其中ymax為y方向位移最大值，得到了一階和二階振型圖，如圖5所示，其中實(shí)線加圓圈為有限元結(jié)果，實(shí)線加十字為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)線加三角形為有限元半解析解結(jié)果，實(shí)線加短橫為理論結(jié)果，可以看出二階振型四種方法均高度吻合；因一階頻率較低，實(shí)驗(yàn)時(shí)由于沒有考慮傳感器質(zhì)量出現(xiàn)了誤差，但整體趨勢(shì)一致。

3 非線性幅頻響應(yīng)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖5 p=0.5時(shí)四種方法得到的前二階振型圖Fig.5 Results for the first and second mode of the beam with p=0.5 using four methods

利用錘擊法得到的頻率僅為梁在小振幅、近似線性情況下的結(jié)果。下面將驗(yàn)證上述振型函數(shù)導(dǎo)出的彎曲非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)的精確性。這兩項(xiàng)系數(shù)在研究非線性振動(dòng)時(shí)常用于多尺度法[15]。但是值得注意的是，基于攝動(dòng)的多尺度法一般適用于弱非線性振動(dòng)，其在處理大振幅的非線性時(shí)有其局限性，然而基于系統(tǒng)哈密爾頓函數(shù)能量平衡法，既可以適用于弱非線性也適用于強(qiáng)非線性。因此，本文采用能量平衡法(EBM)[17]來(lái)研究振動(dòng)的幅頻關(guān)系，其計(jì)算過(guò)程相比攝動(dòng)法簡(jiǎn)單易操作而且精度較高。然后用得到的理論方法再次和大振幅的自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

3.1 能量平衡法

式(22)的哈密爾頓能量為：

式中，第一項(xiàng)為動(dòng)能，后兩項(xiàng)為勢(shì)能，假設(shè)式(24)的自由振動(dòng)近似解的形式為：

式中：ω10為待定的響應(yīng)頻率；A為振幅。將式(25)代入式(24)可得：

令θ=ω10t分別等于和0，可得兩個(gè)情況下的哈密爾頓函數(shù)值：

令這兩個(gè)值H1、H2相等可解得：

為了驗(yàn)證式(29)的值。需要將理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)起來(lái)。首先，選取距離梁根部為s0處的某一靶點(diǎn)M，利用基于超幾何函數(shù)與Meijer-G函數(shù)的方法求得的振型函數(shù)，可以求得該點(diǎn)與自由端的振型函數(shù)值φ(s0)和φ(L)；隨后，將梁一端固定，另一端偏離平衡位置δ/mm，可得M點(diǎn)的物理位移wmax(s0)，又w(s0,t)=q(t)φ(s0)=y(t)Lφ(s0)，所以w(s0,t)=Acos[ω10t]Lφ(s0)，則無(wú)量綱振 幅A和s0處的物理振幅wmax(s0)的關(guān)系為A=wmax(s0)/Lφ(s0)。分別將A、ω、a1、a2代入式(29)可以得到無(wú)量綱的頻率ω10，由無(wú)量綱逆變換：f10=ω10/2πT，可以得到實(shí)際響應(yīng)的頻率。

考慮到實(shí)際情況中阻尼不可避免，在結(jié)果中添加了一個(gè)振幅衰減的阻尼因子η。則M點(diǎn)的橫向位移隨時(shí)間變化的函數(shù)可以表示為：

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖6所示，選取一根變截面梁將其等分29份，并將左側(cè)固定在實(shí)驗(yàn)裝置上，然后用紅外位移傳感器(IL065)對(duì)準(zhǔn)9號(hào)節(jié)點(diǎn)(距離固定端160 mm)，同時(shí)使傳感器與梁之間的距離保持為80 mm并將其固定在有機(jī)玻璃槽內(nèi)。以p=0.7的梁為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)時(shí)將自由端偏離平衡位置50 mm的位置，然后釋放使其自由振動(dòng)，通過(guò)紅外傳感器實(shí)時(shí)采集振動(dòng)位移信號(hào)，將電壓數(shù)據(jù)信號(hào)輸入示波器內(nèi)，即可得到實(shí)測(cè)的自由振動(dòng)位移曲線時(shí)間歷程圖，如圖7所示，虛線為理論計(jì)算得到的位移-時(shí)間歷程圖(式(30)中阻尼因子η取0.4)，實(shí)線為實(shí)測(cè)的自由振動(dòng)位移-時(shí)間歷程圖(0 s～5 s)。

圖6 變截面梁自由衰減振動(dòng)實(shí)驗(yàn)Fig.6 Free decay vibration experiment of beam with variable section

圖7 p=0.7時(shí)的振動(dòng)位移時(shí)間歷程圖Fig.7 Time history diagram of vibration displacement when p=0.7

從圖7中可以清晰地看到本文理論計(jì)算的振型函數(shù)結(jié)合能量平衡法(EBM)中得到的位移-時(shí)間歷程圖的周期和與實(shí)驗(yàn)得到的曲線基本吻合，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)在相位和振幅上存在微小的差別，誤差產(chǎn)生的原因可能是理論上采用的阻尼比與實(shí)驗(yàn)中實(shí)際阻尼有偏差，該阻尼直接對(duì)響應(yīng)的振幅和相位產(chǎn)生影響。本實(shí)驗(yàn)充分驗(yàn)證了能量平衡法中的非線性系數(shù)的正確性，從而也說(shuō)明了本文振型函數(shù)的正確性和可靠性。

4 結(jié)論

(1) 本文提出了采用超幾何函數(shù)和Meijer-G函數(shù)線性組合建立新的振型函數(shù)。通過(guò)理論計(jì)算得到的線性基頻和模態(tài)振型與有限元法、有限元半解析法和實(shí)驗(yàn)錘擊法得到的線性基頻和模態(tài)振型進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了理論的正確性，該方法可為變截面梁振型函數(shù)求解提供指導(dǎo)。

(2) 采用能量平衡法求解強(qiáng)非線性振動(dòng)，得到了振動(dòng)幅頻響應(yīng)關(guān)系。此外，通過(guò)自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)獲得了變截面懸臂梁在大變形下的自由振動(dòng)，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)獲得的振動(dòng)頻率與能量平衡方法獲得的頻率非常一致，且實(shí)驗(yàn)檢測(cè)的振動(dòng)波形與理論預(yù)測(cè)吻合良好。驗(yàn)證了本文振型函數(shù)和非線性系數(shù)的正確性，為大變形的振動(dòng)提供了有效依據(jù)。