楊蒼洲

(福建省泉州第五中學(xué) 362000)

一、題目呈現(xiàn)

題目(2015年高考全國(guó)Ⅰ卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

在求解函數(shù)、方程、不等式的一些問(wèn)題時(shí)，常常用到“參數(shù)分離”的方法，即把參數(shù)a與變量x完全分開(kāi)，分別置于不等式的兩邊，再研究不等式的兩邊函數(shù)的取值情況，最后作出判斷.但是本題若進(jìn)行參數(shù)分離，卻會(huì)使得問(wèn)題變得更加繁瑣，難以求解.因此，本題宜改變策略，為了破解此類題，我們需要掌握兩個(gè)求解技巧：一參數(shù)半分離法；二數(shù)形結(jié)合思想.

解設(shè)g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)在直線h(x)=ax-a的下方.

又直線h(x)=ax-a恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，且斜率為a，

二、數(shù)學(xué)思想與解題技巧

1.解題的技巧——參數(shù)半分離法

“化生為熟”是常見(jiàn)的解題方向，因此我們考慮把函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a分解成兩個(gè)熟悉的函數(shù)：g(x)=ex(2x-1)和h(x)=ax-a.其中h(x)為過(guò)定點(diǎn)(1,0)的動(dòng)直線，也可以導(dǎo)數(shù)為工具研究g(x)的大致圖象.作出兩個(gè)函數(shù)的圖象后，研究動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)情況，尋找滿足條件的動(dòng)直線，進(jìn)而限制出動(dòng)直線斜率a的取值范圍.

2.解法的內(nèi)涵——巧用數(shù)學(xué)思想

本題求解過(guò)程的本質(zhì)主要應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解題：化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

化歸與轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在：把“存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)<0”轉(zhuǎn)化為“存在唯一的整數(shù)x0，使得曲線g(x)=e(2x-1)在直線h(x)=ax-a的下方.”

數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在：先作出曲線g(x)=e(2x-1)與直線h(x)=ax-a，然后通過(guò)兩曲線的位置關(guān)系找出滿足題意的直線.

三、舉一反三

題1設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2-ax+5-a，若存在唯一的正整數(shù)x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

解設(shè)g(x)=x3-3x2+5(x>0)，h(x)=ax+a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)在直線h(x)=ax+a的下方.

因?yàn)間′(x)=3x2-6x，所以當(dāng)02時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x=2時(shí)，g(x)min=1.其圖象大致如圖2.

又直線h(x)=ax+a恒過(guò)點(diǎn)(-1,0)，且斜率為a，

題2已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+(2-a)x-a(a∈R)，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)>0，則a的取值范圍是( ).

解設(shè)g(x)=ln(x+1)-x2+2x(x>0)，h(x)=ax+a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)在直線h(x)=ax+a的上方.

又直線h(x)=ax+a恒過(guò)點(diǎn)(-1,0)，且斜率為a，

題3若關(guān)于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集為A，且(2,+)?A，則整數(shù)k的最大值是____.

解由x(1+lnx)+2k>kx,得x(1+lnx)>k(x-2).

令f(x)=x(1+lnx)(x>2)，則f′(x)=lnx+2>0.

所以f(x)在(2,+)單調(diào)遞增.

f(x)的圖象大致如圖4.

又因?yàn)間(4)=e2-8<0，g(5)=e3-10>0，

所以方程(*)存在唯一解k0，且k0∈(4,5).

由圖可知k