張先起, 牛昂, 宋超

(1.華北水利水電大學 水利學院,河南 鄭州 450046; 2.水資源高效利用與保障工程河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 450046)

地下水埋深是反映地下水資源量變化的重要指標。受開采、補給、蒸發(fā)等多種因素的影響,地下水埋深序列具有隨機性、不確定性與非平穩(wěn)性等特征[1],這為科學、準確地預測地下水埋深增加了一定的難度。目前,國內外學者對地下水埋深的預測研究主要基于回歸分析、遺傳算法、灰色理論與神經網(wǎng)絡等理論。如:TAKAFUJI E H D M等[2]運用自回歸積分滑動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,ARIMA)的時間序列方法和序列高斯模擬(Symmetric Gauss Seidel,SGS)的地質統(tǒng)計方法預測了巴西包魯?shù)貐^(qū)地下水位變化;FIJAN E等[3]運用模糊邏輯模型對伊朗馬拉蓋·博納卜地區(qū)地下水位進行了模擬;NADIRI A A等[4]利用遺傳算法來選擇隱藏層和節(jié)點的數(shù)量,優(yōu)化了水位預測的深度神經網(wǎng)絡(Deep Neural Network,DNN)模型;曹偉征等[5]針對地下水埋深預測精度不高的問題,提出了一種基于相空間重構(Phase Space Reconstruction,PSR)、粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)的極限學習機(Extreme Learning Machine,ELM)的非線性預測模型;呂萍等[6]利用灰色微分方程與自記憶原理構建了地下水埋深灰色自記憶預測模型,揭示了三江平原地下水埋深時間序列的變化規(guī)律。已有研究中,將單一神經網(wǎng)絡應用于地下水埋深預測的[7-11]較多,而通過降低原始數(shù)據(jù)序列的非平穩(wěn)性構建耦合模型的應用并不多見。本文基于小波分解在非平穩(wěn)信號處理方面的突出表現(xiàn)及Elman神經網(wǎng)絡對非線性與不確定性問題較強的自主適應性[12]等優(yōu)點,構建了小波分解-Elman神經網(wǎng)絡的耦合預測模型,并將其應用于人民勝利渠灌區(qū)地下水埋深預測中;為進一步驗證模型的可靠性,將其結果與常用的BP神經網(wǎng)絡模型和CEEMD-Elman模型的結果進行了對比。本研究以期為地下水埋深預測提供新的方法。

1 理論與方法

1.1 小波分解

小波分解就是利用小波基函數(shù)將原始信號分解成各個頻率的子分量,然后分別重構子分量信號,以此獲得和原信息尺度一致的多層信息的方法[13]?；谶@一思想,地下水埋深時間序列可被分解成不同振幅和波長的若干個子分量,從而降低地下水埋深序列的非平穩(wěn)性。

(1)

式中:a為收縮因子；b為平移因子；a、b∈R且a≠0。

對于任意函數(shù)f(t)∈L2(R),其連續(xù)小波變換可表示為:

Wf(a,b)=a-1/2ψ[(t-b)/a]。

(2)

其中,Wf(a,b)≤f(t)，

Mallat算法是Mallat在多分辨率分析的基礎上提出的通過濾波器組實現(xiàn)信號的小波變換和反變換的一種算法。其原理為:將原始信號分解成不同頻率的信號,得到低頻部分與高頻部分,然后將上次分解得到的低頻信號再分解成低頻和高頻兩部分,以此類推。Mallat算法如下:

(3)

(4)

式中:aj(f(k))、dj(f(k))是多尺度分析的離散逼近系數(shù),分別代表低頻分量和高頻分量的小波系數(shù);H(·)、G(·)為小波分解的濾波器,分別代表低通濾波器和高通濾器;f(k)為原始信號;j為分解層數(shù),若分解的最高層為J,則j=J-1、J-2、…、2、1。

通過重構各層的小波系數(shù),使序列恢復原有的長度,保證尺度的一致性。小波系數(shù)的重構公式如下:

(5)

式中,h(·)、g(·)是小波重構濾波器,分別代表低通濾波器和高通濾波器。

小波分解的實現(xiàn)步驟如圖1所示。

圖1 小波分解流程圖

1.2 Elman 網(wǎng)絡

Elman網(wǎng)絡是一種應用較為廣泛的動態(tài)遞歸神經網(wǎng)絡。它基于BP神經網(wǎng)絡結構[14],通過在隱含層中添加承接層來記憶隱含層單元前一時刻的輸出值,使系統(tǒng)具有很強的適應性,進而實現(xiàn)快速尋優(yōu)的目的[15-16]。Elman網(wǎng)絡的結構如圖2所示。

圖2 Elman網(wǎng)絡結構

圖2中,u為r維輸入向量;y為m維輸出向量;xc為n維承接層輸出向量;x為n維隱含層輸出向量;W1為隱含層到承接層的連接權值;W2為輸入層到隱含層的連接權值;W3為隱含層到輸出層的連接權值。

Elman網(wǎng)絡的表達式為:

x(k)=f(w2u(k-1)+w1xc(k));

(6)

xc(k)=a·xc(k-1)+x(k-1);

(7)

y(k)=g(w3x(k))。

(8)

式中:f(·)為隱含層神經元的激活函數(shù);k為結構單元;g(·)為輸出神經元的激活函數(shù);a為反饋增益因子,0≤a<1。當a=0時,神經網(wǎng)絡是標準的Elman網(wǎng)絡;a≠0時,神經網(wǎng)絡為修改后的Elman網(wǎng)絡。

1.3 基于小波分解和Elman網(wǎng)絡的耦合模型

基于小波分解原理,分解后的各頻域分量對原始序列的貢獻率各不相同。針對灌區(qū)地下水埋深序列,貢獻率較大的分量在一定程度上決定了序列的變化,可以理解為是其變化的驅動因素[17]。因此,地下水埋深的預測可以分解為對其成分的預測。

小波分解與Elman網(wǎng)絡預測模型的計算步驟為:

1)通過小波分解將地下水埋深原始序列分成高頻分量和低頻分量;

2)設置Elman網(wǎng)絡參數(shù)建立網(wǎng)絡,并利用訓練數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡進行訓練;

3)利用訓練好的Elman網(wǎng)絡對研究區(qū)地下水埋深序列的高、低頻分量進行預測,并對其結果進行誤差分析;

4)將預測年份的地下水埋深的高頻分量和低頻分量根據(jù)公式(5)進行累加,累加值與原始數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)對比。

2 實例應用

2.1 研究區(qū)概況及數(shù)據(jù)來源

人民勝利渠灌區(qū)位于黃河中下游,是新中國成立后在黃河下游興建的第一個自流灌區(qū)。灌區(qū)總控制面積為1 486 km2,多年平均降水量為620 mm,平均蒸發(fā)量為1 300 mm。地下水實測資料表明,近30年灌區(qū)內地下水位呈現(xiàn)下降趨勢。

本文數(shù)據(jù)來源于人民勝利渠灌區(qū)地下水監(jiān)測井1994—2012年的逐月實測數(shù)據(jù),其變化曲線如圖3所示。從圖3中可以看出,1994—2012年人民勝利渠灌區(qū)的地下水埋深整體呈現(xiàn)上升趨勢,并且各階段的波動幅度不一致,這驗證了地下水埋深具有不確定性和非平穩(wěn)性。

圖3 1994—2012年人民勝利渠灌區(qū)逐月地下水埋深變化曲線

2.2 小波分解

按照前述小波分解步驟對人民勝利渠灌區(qū)1994—2012年的地下水埋深序列進行小波分解。其中,分解層數(shù)根據(jù)杜文遼[18]提出的小波濾波分解層數(shù)的自適應方法確定。根據(jù)此方法,本文地下水埋深序列的小波分解最優(yōu)層數(shù)為7,D1～D7為分解的高頻序列,A7為低頻序列;小波基函數(shù)根據(jù)小波基函數(shù)實驗評價指標方法確定為db5。分解結果如圖4所示。圖4中縱軸D代表各高頻分量,A代表低頻分量。

圖4 人民勝利渠灌區(qū)1994—2012年逐月地下水埋深小波分解圖

從圖4中可以看出：從D1到D7，各分量的頻率逐漸減小,波長變短,波動性減弱;7個高頻分量的數(shù)值均較小,而低頻分量的數(shù)值較大。由此可見,低頻分量對地下水埋深的影響最大,是其演變的主要驅動因素。

2.3 Elman網(wǎng)絡建立及模型誤差分析

以1994—2010年的逐月地下水埋深序列分解后的高、低頻分量為訓練樣本,建立Elman網(wǎng)絡模型,Elman網(wǎng)絡模型參數(shù)設置如下:隱藏層神經元傳遞函數(shù)選擇tansig函數(shù),網(wǎng)絡訓練函數(shù)選擇traingdx函數(shù),輸出層神經元傳遞函數(shù)為purelin。

將分解后的2011—2012年地下水埋深高、低頻分量作為預測樣本,利用建立好的模型對其進行預測,預測結果如圖5所示,其誤差分析結果見表1。

圖5 2011—2012年地下水埋深高頻分量與低頻分量預測效果圖

表1 地下水埋深高頻分量與低頻分量預測值與真實值之間的相對誤差 %

由圖5和表1可以看出:前4層高頻分量的最大相對誤差、最小相對誤差、平均相對誤差均較大;在高頻分量中,D6的預測效果比較好;低頻分量A7具有最佳的預測效果;盡管高頻分量D1～D4的預測效果較差,但由于這些分量在地下水埋深序列中所占比例很小,因此對地下水埋深總誤差的影響不大。

為了直觀地看出模型的預測效果,利用小波系數(shù)重構公式計算出了2011—2012年逐月地下水埋深預測值,并將其與真實值進行了對比(圖6),其預測誤差見表2。

圖6 2011—2012年地下水埋深預測效果圖

表2 2011—2012年人民勝利渠灌區(qū)的地下水埋深預測誤差

續(xù)表

2.4 模型可靠性分析

為對比驗證模型的精度,分別采用CEEMD-Elman模型和BP網(wǎng)絡模型對2011—2012年的逐月地下水埋深序列進行預測,預測誤差見表3，其對比情況如圖7所示。

表3 小波分解-Elman模型與其他模型誤差分析對比

圖7 小波分解-Elman模型與其他模型的預測結果對比

通過與CEEMD-Elman模型和BP網(wǎng)絡模型結果的對比可知，CEEMD-Elman模型預測的相對誤差為8.1%,BP網(wǎng)絡模型預測的相對誤差為3.8%，而小波分解-Elman模型預測的相對誤差為2.2%，說明小波分解-Elman模型預測地下水埋深的效果較好。

3 結語

本文將小波分解與Elman神經網(wǎng)絡模型相結合,建立了小波分解-Elman神經網(wǎng)絡模型,并將其應用于人民勝利渠灌區(qū)的地下水埋深預測中,為驗證模型的可靠性,將其結果與常用的BP神經網(wǎng)絡模型和CEEMD-Elman模型的結果進行了對比,得出以下幾點結論:

1)構建的小波分解-Elman神經網(wǎng)絡模型將地下水埋深序列進行分解、重構以后,從效果來看D1～D4高頻分量的預測誤差相對較大但占整體的預測比重較小;而D5～D7高頻分量與A7低頻分量的預測誤差均較小,且在整體預測中所占的比重較大,所以預測模型的精度是可靠的。

2)將構建的小波分解-Elman耦合模型應用到地下水埋深預測中,整體預測效果較好,相對誤差以及絕對誤差均較小。

3)將CEEMD-Elman模型、BP網(wǎng)絡模型預測的地下水埋深結果與小波分解-Elman模型的預測結果進行對比,CEEMD-Elman模型預測的相對誤差為8.1%,BP網(wǎng)絡模型預測的相對誤差為3.8%,而小波分解-Elman模型預測的相對誤差為2.2%,說明小波分解-Elman模型能較好地預測地下水埋深。