周利軍，李 威，江俊飛，劉桓成，高仕斌

(1.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031;2.中國工程物理研究院 材料研究所，四川 綿陽 621908)

牽引變壓器是牽引供電系統(tǒng)的核心設(shè)備之一，其能否可靠運行直接關(guān)系到牽引供電系統(tǒng)的安全與穩(wěn)定[1]。由于牽引負荷波動性較大，短時可能出現(xiàn)嚴重的過負荷現(xiàn)象，且易發(fā)生短路故障。繞組在大電流沖擊下承受巨大的電磁力，當其機械強度不足時，可能發(fā)生各種形變、整體的軸向移位、局部的曲翹變形等[2-4]。因此，開展變壓器繞組變形診斷技術(shù)的研究尤為重要。

頻率響應(yīng)法由于具有抗干擾能力強、靈敏度高、重復(fù)性好等優(yōu)點，是目前國內(nèi)外診斷繞組變形的主要方法之一[5-7]。該方法的研究工作主要集中在建模仿真、小型化物理模型實驗以及現(xiàn)場實測這三類。在仿真建模方面，目前主要采用的仿真模型有黑箱模型、多導(dǎo)體傳輸模型、集總參數(shù)電路模型。黑箱模型是通過矢量匹配法擬合測量得到的導(dǎo)納矩陣來對變壓器繞組進行建模，但其無法反映變壓器內(nèi)部繞組的具體信息[8-9]；多導(dǎo)體傳輸線模型是基于傳輸線理論的分布參數(shù)模型，是將線匝模擬成多根相互耦合并且首尾相連的多導(dǎo)體傳輸線，由于大型變壓器線匝數(shù)量龐大，該方法的計算工作量大[10-12]；混合多導(dǎo)體傳輸模型基于行波理論和多導(dǎo)體模型提出，將一個線餅作為一根傳輸線以簡化建模，但是模型的精確度降低，更多用于高頻分析[13-14]；集總參數(shù)電路模型以單個或多個線餅為單元，通過電阻、電感、電容等基本單元構(gòu)建繞組等效電路，該方法既簡化了建模計算，又能夠準確反映變壓器內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)信息[15-17]。

小型變壓器的集總參數(shù)電路模型的線餅單元較少、結(jié)構(gòu)簡單，受不同線餅間電容的影響較小，其仿真結(jié)果精確度較高。但隨著變壓器容量的增加，其內(nèi)部線餅數(shù)量增加體積增大，繞組結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，內(nèi)部繞組間線餅的不對稱性加劇，受線餅間電容的影響較大，而傳統(tǒng)集總參數(shù)電路模型忽略了該電容的影響，不能準確的描述繞組間電容的耦合關(guān)系。為進一步提高大型變壓器的頻率響應(yīng)仿真精確度，本文在傳統(tǒng)集總參數(shù)電路模型的基礎(chǔ)上，考慮了繞組間全電容參數(shù)，對模型進行了改進。

1 牽引變壓器模型

型號為QYS-R-(31500+25000)/220的牽引變壓器是組合式V/X接線牽引變壓器，由兩臺單相雙柱3繞組變壓器置身于同一油箱組成，其中每柱由牽引繞組(T)、饋電繞組(F)和高壓繞組(H)構(gòu)成，T繞組首端與接觸網(wǎng)相連，F(xiàn)繞組首端與正饋線相連，T繞組和F繞組的末端相連形成中性點N與軌道相連，具體的接線形式見圖1。25 MVA的單相變壓器其繞組具體排列結(jié)構(gòu)及尺寸見圖2。T繞組和F繞組都是連續(xù)式繞組，由70個線餅構(gòu)成，而H繞組是組合式繞組，其繞制結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，包含連續(xù)式、糾結(jié)式和內(nèi)屏蔽式繞組三種繞組形式，由82個線餅構(gòu)成。

圖1 V/X牽引變壓器接線圖

圖2 變壓器繞組排列結(jié)構(gòu)及尺寸圖(單位：mm)

圖3 牽引變壓器常規(guī)集總電路模型

1.1 傳統(tǒng)集總參數(shù)電路

根據(jù)傳統(tǒng)集總參數(shù)電路模型，建立牽引變壓器常規(guī)集總參數(shù)電路模型見圖3，考慮到牽引變壓器的線餅數(shù)量較多，為減少模型計算量，以雙線餅為基本電路單元。n1、n2、n3分別為H繞組、F繞組和T繞組的基本單元數(shù)?；締卧煽v向等值電容(Cs1、Cs2、Cs3)、縱向電導(dǎo)(Gs1、Gs2、Gs3)、電感(L1、L2、L3)、電阻(R1、R2、R3)構(gòu)成，并且考慮繞組之間對應(yīng)位置的電容(Ck1、Ck2)和電導(dǎo)(Gk1、Gk2)，H繞組和T繞組的對地電容(Cg1、Cg2)和電導(dǎo)(Gg1、Gg2)，以及每個基本單元之間的互感M。其中，T繞組和F繞組餅數(shù)一致，都有70個線餅，35個基本單元。而H繞組有82個線餅，41個基本單元，與F繞組基本單元數(shù)不對稱，利用等效的方法，將H繞組的41個基本單元等效為35個基本單元，建立了傳統(tǒng)的集總參數(shù)電路模型。

1.2 改進型集總參數(shù)電路

由于傳統(tǒng)的集總參數(shù)電路模型對H繞組單元數(shù)進行了等效，并且只考慮了繞組間對應(yīng)位置的電容，存在較大的誤差。為了提高模型的準確性，對傳統(tǒng)的電路模型進行改進，不采用等效的方法，而是考慮繞組間每兩個基本單元之間的交叉電容，提出全電容集總參數(shù)電路模型。圖4為全電容電路模型，考慮H繞組的第p個基本單元與F繞組第q個單元之間的交叉電容Cp,q，以及F繞組的第q個基本單元與T繞組第s個單元之間的交叉電容Cq,s。

圖4 全電容電路模型圖

2 等效參數(shù)計算

基于簡化的牽引變壓器的實際結(jié)構(gòu)，利用數(shù)值公式與有限元相結(jié)合的方法進行參數(shù)計算，其中縱向等值電容、電阻和對地電容用數(shù)值公式法計算。考慮到電感參數(shù)和3個繞組間的全電容的計算量較大且數(shù)值計算誤差較大，所以電路模型中的電感、繞組間的電容參數(shù)通過在Ansoft Maxwell 軟件中搭建變壓器有限元模型計算。

2.1 縱向等值電容參數(shù)

縱向等值電容Cs包括線匝之間的匝間電容Ct和線餅之間的餅間電容Cd。匝間電容和餅間電容的計算可按平板電容公式[18]

(1)

式中：ε0為真空介電常數(shù)；εp為匝間的等效介電常數(shù)；da為線餅的平均直徑；h1為線匝的凈金屬高度；ap為匝間絕緣厚度；εd為餅間的等效介電常數(shù)；B為線餅的徑向?qū)挾龋籥d為餅間絕緣厚度。

計算縱向等值電容時，基于能量相等的原理，假定電壓均勻分布在線餅的各線匝上。對于連續(xù)式繞組，運用能量相等的原理，得到雙餅的縱向等值電容Cs1[19]為

(2)

式中：N1為連續(xù)式繞組雙餅的匝數(shù)。

由于牽引變壓器的H繞組包含普通糾結(jié)式繞組，其雙餅匝數(shù)為42匝，與連續(xù)式繞組相比，其相鄰線匝的電壓差增大。其匝間電容數(shù)值會遠遠大于餅間電容的數(shù)值，所以餅間電容的數(shù)值可以忽略不計。利用匝間總能量計算得到糾結(jié)式繞組的縱向等值電容Cs2[19]為

(3)

式中：N2為糾結(jié)式繞組雙餅的匝數(shù)。

內(nèi)屏蔽式繞組是將附加的電容線匝直接卷入連續(xù)式線餅的內(nèi)部，并將其端頭包好，絕緣懸空斷開，所以屏蔽線匝并不參與變壓器的正常運行。牽引變壓器H繞組包括屏9、屏7、屏5、屏2四種內(nèi)屏蔽跨二段屏式繞組，具體結(jié)構(gòu)形式見圖5，內(nèi)屏蔽式繞組的縱向等值電容Cs3[19]為

(4)

式中：N3為單餅屏蔽線匝的匝數(shù)；N4為單餅工作線匝的匝數(shù)；b為工作線匝的總厚度；b′為屏蔽線匝的總厚度。

圖5 內(nèi)屏蔽式繞組

2.2 對地電容參數(shù)

電路模型中的對地電容，按同軸圓柱的電容公式，包括H繞組對油箱壁的電容Cg1和T繞組對鐵心的電容Cg2為

(5)

式中：εg1、εg2分別為H繞組與油箱壁間的等效介電常數(shù)和T繞組與鐵芯間的等效介電常數(shù)；Ry為油箱內(nèi)壁的等效半徑；Rw為H繞組的外半徑；Rn為T繞組的內(nèi)半徑；Rt為鐵芯的外接圓半徑；hz為線圈的高度。

2.3 電阻參數(shù)

計算串聯(lián)電阻時，考慮高頻情況下的集膚效應(yīng)，每個基本單元的電阻

(6)

式中：l為基本單元的長度；w為導(dǎo)體橫截面的徑向厚度；h為導(dǎo)體橫截面的軸向高度；μ為導(dǎo)體的磁導(dǎo)率；f為頻率；σ為導(dǎo)體的電導(dǎo)率。

2.4 電感參數(shù)

根據(jù)牽引變壓器的實際結(jié)構(gòu)尺寸和材料特性，在Ansoft Maxwell 軟件中搭建變壓器有限元模型，見圖6。由于墊塊、紙筒等對電感的計算影響較小，建模時忽略線餅之間的墊塊以及線圈之間的絕緣紙筒和撐條。為了得到變壓器模型的電感矩陣，進行一系列的3維靜磁場模擬，對于n個導(dǎo)體的系統(tǒng)，系統(tǒng)自動進行n次場模擬，基于靜電儲能原理得到導(dǎo)體間的電感

(7)

式中：Wij為第i個單元與第j個單元之間的儲能；Bi為第i個單元施加電流產(chǎn)生的磁通密度；Hj為第j個單元施加電流產(chǎn)生的磁場強度。

(8)

式中：Lii為第i個單元的自感；Wii為對第i個單元施加電流I后的磁場儲能。第i個單元與第j個單元之間的互感Mij

(9)

圖6 變壓器有限元模型

2.5 繞組間的電容參數(shù)

求解繞組間的電容時，將求解區(qū)域的介電常數(shù)設(shè)為繞組間的等效介電常數(shù)。利用三維靜電場分析得到繞組間的全電容矩陣C

(10)

式中：Cij為第i個單元與第j個單元之間的互電容；Cii為第i個單元的自電容，其數(shù)值是與其他單元互電容的總和。電容和靜電能量的關(guān)系為

(11)

式中：W為靜電能量；在三維靜電場下電容矩陣C中的元素為

(12)

3 集總參數(shù)電路的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)改進后的集總參數(shù)電路模型，建立以電感電流和節(jié)點電壓為狀態(tài)變量的多端口狀態(tài)空間方程

(13)

式中：G為電導(dǎo)矩陣；L和R分別為電感矩陣和電阻矩陣；V和I分別為節(jié)點電壓向量和電感電流向量；Г為系數(shù)矩陣；電導(dǎo)矩陣G=2πfCtanδ，δ為導(dǎo)體絕緣介質(zhì)損耗角；矩陣C和Г可通過下面的式子構(gòu)造得到

(14)

(15)

式中：CHF為H繞組與F繞組的全電容矩陣；CFH為CHF的轉(zhuǎn)置矩陣；CFT為F繞組與T繞組的全電容矩陣；CTF為CFT的轉(zhuǎn)置矩陣；O1和O2為零矩陣。

當在外部給節(jié)點k注入一個電壓Vk時，有

(16)

式中：P為由矩陣Г去掉第k行后的第k列元素構(gòu)成的矩陣；Q為由矩陣C和矩陣G去掉第k行后的第k列元素相加再乘以jω構(gòu)成的矩陣，ω為角頻率。

據(jù)式(16)，得到

(17)

對式(17)進行拉普拉斯變換，得到所有節(jié)點電壓和電感電流相對于施加電壓的傳遞函數(shù)H(s)

(18)

式中：E為單位對角矩陣；s為拉普拉斯算子。

4 仿真分析及試驗結(jié)果驗證

為了驗證本文所提的改進型集總參數(shù)電路模型的準確性，根據(jù)實際的牽引變壓器進行建模，利用公式法和有限元法得到電路模型中的各個參數(shù)，然后通過狀態(tài)方程計算得到頻率從1～100 kHz的改進模型和傳統(tǒng)模型的頻響仿真曲線，將其與現(xiàn)場實測曲線進行對比。圖7為現(xiàn)場的測試圖，試驗對象是QYS-R-(31500+25000)/220牽引變壓器，試驗采用的儀器是FRAX99繞組變形測試儀，分別測量了其中25 MVA變壓器3個繞組的頻響曲線。

圖7 現(xiàn)場測試牽引變壓器

圖8 不同繞組牽引變壓器仿真與實測頻響曲線

圖8為牽引變壓器3個繞組仿真頻響曲線與實測曲線的對比圖。由圖8(a)和圖8(b)可以看出，T繞組和F繞組的仿真曲線與實測曲線圖的吻合程度較高，顯示出相同的變化特征，并且曲線中存在兩個明顯的特征頻率諧振帶，在特征頻率帶內(nèi)，改進模型的頻響曲線更加接近實測曲線。頻率較低時，雖然繞組的容抗較大，感抗較小，頻率響應(yīng)在低頻部分主要受電感的影響，但是考慮繞組間的全電容更加能夠反映出繞組內(nèi)部的耦合關(guān)系，所以改進型的頻響曲線比傳統(tǒng)曲線更加接近實測曲線。隨著頻率的增大，繞組的感抗增大，容抗減小，頻響曲線受外部接線及雜散電容的影響較大，并且鐵芯的渦流效應(yīng)以及導(dǎo)體的集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)會導(dǎo)致電感參數(shù)隨頻率變化，所以仿真曲線與實測曲線相比，諧振頻率點有一定的偏移。圖8(c)為H繞組的傳統(tǒng)模型曲線、改進模型曲線和實測曲線對比圖，與T、F繞組的頻響曲線明顯不同，由于H繞組是組合式繞組，由連續(xù)式繞組、糾結(jié)式繞組和內(nèi)屏蔽式繞組構(gòu)成，繞組串聯(lián)電容參數(shù)相比T、F繞組復(fù)雜。H繞組的頻率響應(yīng)具有阻尼共振和反共振的“駝峰”形響應(yīng)特征，這些反諧振是由繞組屏蔽部分的高串聯(lián)電容引起的。H繞組在30 kHz左右出現(xiàn)明顯的反諧振點，之后隨著頻率的增大，曲線幅度平緩的增加，平滑的響應(yīng)清晰地描述了組合式繞組的FRA特性。從圖8(c)中可以看出H繞組頻響曲線也存在兩個明顯的特征頻率諧振帶，仿真曲線與實測曲線在特征頻率帶內(nèi)的諧振點頻率上吻合較好，且曲線的變化趨勢一致，顯示出相同的變化特征，但是整體仿真曲線上比實測曲線表現(xiàn)出更快的幅值增加趨勢。由于高壓繞組結(jié)構(gòu)上的特殊性和復(fù)雜性，仿真結(jié)果是經(jīng)過一定的等效和簡化，對地電容、縱向等值電容以及電感的計算與實際值會存在一定的偏差。H繞組對地電容包括對油箱壁的電容、對另一柱高壓繞組的電容以及對同一油箱內(nèi)另一臺變壓器的電容，電容效應(yīng)較為復(fù)雜，簡化為利用同軸圓柱電容計算公式導(dǎo)致了誤差的存在。數(shù)值計算H繞組的縱向等值電容時，由于H繞組線餅間油道有不同的高度，為了簡化建模和計算，取油道的平均高度作為等效的油道高度，所以縱向等值電容的計算值與實際值也存在一定的偏差。有限元計算H繞組的電感的誤差在于將內(nèi)屏蔽式繞組的屏蔽線匝的厚度計入了正常運行的工作線匝中，導(dǎo)致高壓繞組的電感值較實際值偏大，并且沒有考慮繞組電感隨頻率的變化。

表1～表3分別記錄這三個繞組在特征頻率帶下的諧振頻率和幅值，由表1～表3可知，對比傳統(tǒng)模型的諧振點，改進的集中參數(shù)電路模型的諧振點更加接近實測值。

由圖8和表1～表3可以看出，與傳統(tǒng)模型相比，改進的集總參數(shù)電路模型的仿真頻響曲線與實測曲線的吻合程度更好，從而驗證了改進的集總參數(shù)電路模型的準確性。

表1 T繞組不同特征頻率帶諧振點仿真與實測值

表2 F繞組不同特征頻率帶諧振點仿真與實測值

表3 H繞組不同特征頻率帶諧振點仿真與實測值

5 結(jié)論

(1)低頻下，考慮繞組間的全電容參數(shù)更能反映出繞組內(nèi)部的耦合關(guān)系，使諧振點與實測曲線更加吻合。

(2)隨著頻率增大，頻響曲線受外部接線及雜散電容的影響較大，鐵心的渦流效應(yīng)以及繞組自身的集膚效應(yīng)與鄰近效應(yīng)越來越明顯，電感參數(shù)數(shù)值會隨頻率改變，所以集總參數(shù)電路的頻響曲線與實測曲線相比，諧振頻率點存在一定的偏移。

(3)對比傳統(tǒng)的集總參數(shù)電路模型，本文提出的考慮繞組間全電容的改進型集總參數(shù)電路模型，在仿真變壓器繞組頻響曲線時更加精確，能為繞組的故障模擬及預(yù)測提供更為可靠的理論依據(jù)。