解朝陽 張 巍 姚東方 王 堅 朱雨辰

(南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院， 南京 210046， 中國)

0 引 言

孔隙網(wǎng)絡(luò)是流體在土體內(nèi)部賦存的物理空間，它決定著土體的滲透性，控制著土體內(nèi)部流體及物質(zhì)的遷移速率，并使土體在變形階段產(chǎn)生超孔壓及排水固結(jié)行為； 此外，砂土液化、非飽和土的毛細管力及基質(zhì)吸力等重要的工程性質(zhì)本質(zhì)上也都由土體孔隙網(wǎng)絡(luò)所控制(Mitchell et al.，2005)。

分析掃描電鏡(SEM)數(shù)字圖像可獲得土樣的孔隙結(jié)構(gòu)定量特征。施斌等采用莫斯科大學(xué)研制的Videolab圖像分析系統(tǒng)，獲得了鄖縣膨脹黏土、太平洋洋底軟泥等樣品SEM圖像的孔隙數(shù)量、孔隙相對面積、平均孔徑、孔徑分布以及孔隙平均形狀系數(shù)等形貌特征與定向性指標(biāo)(施斌等， 1995； 施斌， 1996)。Liu et al. (2011)基于數(shù)字圖像理論，自行編制了孔隙與裂隙分析系統(tǒng)(PCAS)，并用PCAS分析了8張SEM圖像，研究黏土樣在直剪試驗過程中孔隙結(jié)構(gòu)變化的定量特征，所獲得信息包括孔隙面積、孔隙數(shù)、平均形狀系數(shù)、孔隙周長、定向性以及概率熵、概率分布指數(shù)與分形維數(shù)等。但需指出，分析SEM圖像僅能對土樣在平面內(nèi)的孔隙結(jié)構(gòu)加以表征。壓汞(MIP)與氮氣吸附法(NA)能獲得土樣的孔徑分布與比表面積(李志清等， 2017)，卻難以進一步表征土樣孔隙及其網(wǎng)絡(luò)的定量幾何特征。與以上方法相比，工業(yè)顯微CT(μCT)具有無損、非侵入式透視成像的優(yōu)點，可提供微米尺度的高分辨率二維層析圖像(劉治清等， 2017)。張巍等(2017)使用南京粉砂土樣，基于三維二值矩陣運算，對CT成像表征單元體內(nèi)沿空間任意方向切面的孔隙定向性進行了表征，同時還獲得了沿土樣高度方向孔隙率的空間分布。盡管使用顯微CT能夠獲得土樣的三維重構(gòu)模型，但要從中有效提取出孔徑大小、分布、連通性、形狀因子等表征孔隙網(wǎng)絡(luò)的空間幾何特性參數(shù)，仍需進一步建模。

近年來，在頁巖油、氣開發(fā)與二氧化碳地質(zhì)封存等能源、環(huán)境工業(yè)背景驅(qū)動下，對巖石孔隙尺度成像與建模(Pore-scale imaging and modelling)的技術(shù)與方法得以不斷深入(Blunt et al.，2013； 趙斌等， 2018)。最大球算法(Principle maximal ball algorithm)是一種多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙網(wǎng)絡(luò)的建模方法，該方法建立在工業(yè)顯微CT掃描成像的基礎(chǔ)之上，F(xiàn)att(1956)首先提出了孔隙網(wǎng)絡(luò)模型的概念，用于表征多孔介質(zhì)的毛細管壓力。在此基礎(chǔ)上，Silin et al. (2006)提出了最大球算法，采用球-桿模型表征孔隙網(wǎng)絡(luò)，其核心思想是，將多孔介質(zhì)的孔隙空間視作由孔隙體與孔喉所組成的幾何體，孔隙體為流體所賦存較大開放孔隙空間，孔隙體決定著多孔介質(zhì)的孔隙率； 而孔喉則是連接孔隙體之間相對狹長的孔隙通道，可視作供流體遷移的毛細管，孔喉決定著多孔介質(zhì)的滲透率； 配位數(shù)為單個孔隙體與其他孔隙體相聯(lián)接的孔喉數(shù)量。Al-Kharusi et al. (2007)發(fā)展了最大球算法，加入了最大球簇的定義，對孔隙網(wǎng)絡(luò)的分析結(jié)果更加精細化，但該算法限制最大孔隙數(shù)量不能超過1000個，實用性不強。

Dong et al. (2009)改進了最大球算法，打破了之前的主球、從屬球和最大球簇的系統(tǒng)分層結(jié)構(gòu)(Fatt， 1956)，將最大球僅區(qū)分為孔隙和喉道，孔隙與喉道相連組成孔隙網(wǎng)絡(luò)，開發(fā)了相應(yīng)的算法，可統(tǒng)計分析多孔介質(zhì)的孔隙網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)； 并基于最大球算法，提取出標(biāo)準(zhǔn)砂巖的孔隙網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，與實驗數(shù)據(jù)比較結(jié)果表明，計算與實驗結(jié)果一致性程度較高，證明了最大球算法的可靠性。此外，王合明(2013)利用最大球算法提取了4種不同的填砂模型的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型，計算所得配位數(shù)與理論配位數(shù)值十分接近，進一步驗證了最大球算法提取砂土孔隙網(wǎng)絡(luò)模型的可靠性。目前，最大球算法已被廣泛地應(yīng)用于巖石孔隙網(wǎng)絡(luò)提取及巖石內(nèi)部單相流與多相流模擬(Bijeljic et al.，2013； Raeini et al.，2014)，但應(yīng)用于土體孔隙網(wǎng)絡(luò)提取的研究剛剛起步。肖瑞等(2017)采用自主研發(fā)的土體細微觀三軸壓縮在線觀測控制系統(tǒng)，得到了南京粉細砂飽和試樣在不同圍壓下加載過程中孔隙結(jié)構(gòu)的實時掃描圖像并提取出孔隙網(wǎng)絡(luò)模型，采用孔隙率、孔隙形狀等指標(biāo)分析了孔隙結(jié)構(gòu)的演化過程，研究了孔隙結(jié)構(gòu)的演化規(guī)律與其力學(xué)性質(zhì)和強度特征之間的關(guān)系。劉語等(2019)從南京粉細砂三維重構(gòu)模型中提取出5組立方體孔隙表征單元體(REV)，采用最大球算法對每個REV建立孔隙網(wǎng)絡(luò)模型，從中提取孔隙率、單位體積孔隙數(shù)、孔隙平均體積等8個孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)，利用假設(shè)檢驗確定了表征樣品孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)一REV邊長尺寸。曹劍秋等(2018)獲取了南京粉砂試樣在三軸加載試驗過程中不同應(yīng)力狀態(tài)下的微米級孔隙結(jié)構(gòu)圖像，基于最大球算法，構(gòu)建出空間孔隙網(wǎng)絡(luò)模型并統(tǒng)計了土體的細觀孔隙參數(shù)，分析了三軸加載過程中細觀孔隙結(jié)構(gòu)演化特征與其宏觀力學(xué)性質(zhì)之間的相關(guān)性。許林等(2018)對砂雨法成樣與振搗干法成樣的南京粉砂、鄂爾多斯油砂、自貢砂巖和砂雨法成樣玻璃珠等試樣依次進行了顯微CT掃描成像，基于最大球算法，提取出16種空間孔隙REV細觀孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)，并分析了各參數(shù)對多孔介質(zhì)滲透率的影響。

相較于MIP與NA等實驗方法，基于最大球算法建立土體空間孔隙網(wǎng)絡(luò)模型，不僅能獲得土樣的孔徑分布，還能對孔隙連通性、形狀因子等進行定量表征； 不同于數(shù)字圖像處理技術(shù)只能獲取平面內(nèi)的孔隙分布特征，最大球算法提取的三維孔隙網(wǎng)絡(luò)模型能夠更加全面地刻畫出砂土空間孔隙結(jié)構(gòu)特征。本文首先介紹了最大球算法的基本原理，以振搗干法生成南京粉砂試樣，通過三維二值矩陣運算，獲得了顯微CT掃描試樣的空間孔隙REV； 并基于最大球算法，建立了空間孔隙REV相應(yīng)的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型，對空間孔隙的配位數(shù)、孔隙半徑，喉道內(nèi)切圓半徑、喉道長度等一系列孔隙網(wǎng)絡(luò)拓撲參數(shù)進行了統(tǒng)計分析。

1 最大球算法

1.1 基本原理

以下簡述Dong et al.(2009)改進后最大球算法的基本原理。

最大球算法即利用若干個球體占據(jù)多孔介質(zhì)的孔隙空間，以達到區(qū)分孔隙和喉道的目的。若某個球體完全處于某個孔隙空間中且不被其他的球完全包含，則該球可以被稱作一個最大球，即一個局部的最大球被定義為1個孔隙體，搜索最大球之間的鏈接即得到喉道。

最大球與骨架概念如下所示：將二值化切面圖片重構(gòu)為三維數(shù)據(jù)矩陣后，對于三維空間中的每個點的坐標(biāo)，均可用向量p=(x，y，z)的形式來表示，則任意兩點p1、p2間距離Dist(p1，p2)為：

(1)

=(xg-x0)2+(yg-y0)2+(zg-z0)2

(2)

p0

(3)

為表征不同大小的孔隙空間的結(jié)構(gòu)特征，采用最大球簇來對不同大小的最大球進行分類?？煞譃樽畲笄騿未睾妥畲笄蚨啻亍Ｆ渲凶畲笄騿未貫橐粋€最大球與所有半徑小于它并且與它重合的最大球的集合(圖2)。

圖1 離散體素所構(gòu)成的不同半徑的最大球(Al-Kharusi et al.，2007)Fig. 1 Different radius of the maximal ball with discrete voxels

圖2 最大球單簇算法示意圖(Al-Kharusi et al.，2007)Fig. 2 The illustration of the maximal cluster algorithm

生成最大球單簇的方法是：首先將最大球的兩倍半徑設(shè)定為搜索范圍，然后在上述范圍內(nèi)搜尋半徑小于該球且與之相切或相交的所有最大球，即：

Dist(p1，p2)

(4)

再將搜尋到的最大球歸入最大球單簇。

每個最大球都可以重疊與它相鄰的半徑小于它的最大球，而這些被重疊的最大球又可以再這樣去重疊其他的最大球。這樣的過程最終生成最大球多簇(圖3)。而在該多簇中，半徑最大的球被稱作為該簇的祖先，對應(yīng)地，每個祖先都代表了1個孔隙空間，而當(dāng)一個最大球有兩個祖先時，該球就對應(yīng)了一個喉道，喉道最大球到孔隙最大球之間的多簇被定義為孔隙喉道鏈。

最大球算法是利用若干個球體去占據(jù)孔隙空間，而孔隙空間源自于通過計算機斷層掃描成像(CT)等技術(shù)獲得的數(shù)字圖像，多張連續(xù)數(shù)字圖像的像素點構(gòu)成了孔隙空間的體素點，體素點是孔隙空間的基本單元。因為數(shù)字圖像的質(zhì)量受圖像分辨率大小的影響，所以在基于體素點進行最大球搜索以及孔隙與喉道的識別劃分時，更高分辨率成像可以識別出更精細的孔隙與喉道特征。

1.2 孔隙網(wǎng)絡(luò)模型

孔隙網(wǎng)絡(luò)模型即將多孔介質(zhì)孔隙空間等效為一系列通過喉道相連的孔隙體，孔隙體被簡化為圓球，喉道被簡化為細桿，孔隙空間被簡化為一系列球-桿相連的網(wǎng)絡(luò)狀結(jié)構(gòu)(Silin et al.， 2006)，所構(gòu)建的土體孔隙空間中，輸入的最大球的數(shù)據(jù)是一個三維二值矩陣，其中1表示骨架， 0表示孔隙。孔隙網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建具體方法如下：

首先對土體樣品的灰度圖像進行二值化，隨后將二值圖像序列表征為三維二值矩陣，據(jù)此可對土樣進行三維重構(gòu)并提取孔隙REV用于空間孔隙網(wǎng)絡(luò)模型建模。孔隙REV中，每個體素點都對應(yīng)一個最大球，在孔隙空間中任選一體素點，向其周圍的26個方向搜尋與其接觸的顆粒體，即骨架體素。隨后，依據(jù)該體素的形成范圍，采用收縮算法，尋找最大球以及其半徑的上下限，確定該最大球的大小和位置，再根據(jù)上述方法繼續(xù)尋找下一個最大球。如此循環(huán)往復(fù)，得到所有最大球。

在以上操作過程中，可能有冗余球出現(xiàn)，冗余球是指完全被包含在另一個最大球中的最大球，這類球?qū)τ诳紫扼w的表征無效的。假定搜索到的球B被完全包含在球A中，則滿足：

Dist(pA，pB)<|RLA+RLB|

(5)

式中，RLA和RLB分別為兩球的半徑下限，將上式中的RLB換成RUB，RUB為B球的半徑上限，則可刪除冗余球B。

當(dāng)所有冗余球清除完畢后，孔隙REV中所有體素都已經(jīng)轉(zhuǎn)化為最大球，下步需對所有最大球進行孔隙或喉道的分類。首先按半徑上限的遞減順序，將最大球分為相同半徑的若干組。假設(shè)第1組最大球個數(shù)為N，最大球初始分組數(shù)量默認為無窮大。首先選取半徑最大的一組最大球C，定義C為最大球多簇的祖先，設(shè)其級數(shù)為1并且包含所有與其相鄰或是重疊的最大球，這些被包含的最大球級數(shù)設(shè)為2。按遞減順序，對第1組中余下的N-1個最大球排序，取出級別最高的最大球D，球D包含所有半徑小于它的最大球，這些最大球未被賦予級數(shù)，此時賦予它們的級數(shù)比D多1。若排序前D為無窮大，則D作為一個祖先定義了一個新的孔隙，反之則D將自身祖先的編號往下一級傳達。若D中包含有另一簇中的最大球，那么D就是一個公共最大球，定義其為喉道。喉道被識別之后，從喉道到每一簇的祖先會被分別定義為兩個孔喉鏈。對最大球使用該算法進行成簇與排序，直到到達事先設(shè)定的最小半徑，該情況下若按原先設(shè)定，所有最大球均會被識別為喉道。因此，將(最小可搜尋的)只含有7個體素點的最大球設(shè)定為最小孔隙，將(最小可識別)只含一個體素點的最大球設(shè)為最小喉道(圖4)。

圖4 最大球算法最小孔隙及喉道Fig. 4 Minimum pore and throat of maximal-balls algorithma. 最小孔隙； b. 最小喉道

區(qū)分孔隙與喉道最大球后，采用球體表示孔隙(圖5a)； 采用與最大球等直徑的圓柱體表示喉道(圖5b)； 采用可視化軟件即可輸出所得到的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型(圖5c)。

圖5 孔隙網(wǎng)絡(luò)球-棍模型Fig. 5 Pore network ball-stick modela. 孔隙最大球； b. 喉道圓柱體； c. 孔隙網(wǎng)絡(luò)模型(球棍模型)

下文以南京粉砂為例，詳述土樣空間孔隙網(wǎng)絡(luò)建模及其特征參數(shù)的提取步驟，并對所生成的孔隙網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進行統(tǒng)計分析。

2 材料與方法

2.1 試樣制備與掃描成像

本試驗所用砂土試樣為南京河西地區(qū)的南京粉砂(圖6a)，物理、力學(xué)性質(zhì)及粒徑分布特征參見(張巍等， 2017； 劉語等， 2019)。為保證土顆粒粒徑的均勻程度，消除黏土顆粒和破碎顆粒的影響，在配置土樣時只保留0.075～2imm的粉細砂，采用振搗干法配制含水量為0的重塑干樣。

采用顯微CT技術(shù)進行砂樣的孔隙尺度成像，掃描工作在中國科學(xué)院南京土壤研究所完成。掃描設(shè)備及技術(shù)規(guī)格參見(張巍等， 2017)，使用14iμm分辨率，采用內(nèi)徑8imm、高度40imm的透明密封離心管裝樣。CT掃描工作電壓為110ikV，工作電流為110iμA。樣品掃描時間約為60imin，共獲得2000張斷層序列掃描的柵格數(shù)據(jù)(TIFF)格式圖像(8位灰度)。

2.2 圖像處理與三維重構(gòu)

采用可視化圖像處理軟件ImageJ完成圖像增強及三維重建，得到土樣三維重構(gòu)模型(圖6b)。

圖6 三維重構(gòu)模型及表征單元體Fig. 6 3D reconstruction model and the representative element volumesa. 砂土試樣； b. 三維重構(gòu)模型； c. 表征單元體

受計算機硬件處理能力的限制，孔隙尺度成像與建模在REV尺度上進行。劉語等(2019)研究確定了適用于南京粉砂樣品孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)一REV邊長尺寸為400像素(2.6imm)。由于本文采用與以上文獻相同的砂土與顯微CT成像分辨率，因此直接沿用以上結(jié)論，分別在樣品三維重構(gòu)模型的上、中、下3個位置中心各選取1個400×400×400iREV，得到圖6c所示的3個顆粒REV。

3 孔隙網(wǎng)絡(luò)

以圖7a中顆粒表征單元體REV1為例，通過三維二值反運算得到其對應(yīng)的孔隙表征單元體REV1′(圖7b)，基于最大球算法提取出對應(yīng)的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型N-REV1′(圖7c)?？紫毒W(wǎng)絡(luò)模型中，球體表示孔隙，圓柱體表示喉道，球體或者圓柱體半徑越大，表示孔隙或者喉道半徑越大。

圖7 孔隙網(wǎng)絡(luò)模型生成Fig. 7 Pore-network model generationa. REV1； b. REV1′； c. N-REV1′

從N-REV1′中可提取出多個表征參數(shù)，包括表征孔隙網(wǎng)絡(luò)連通性的配位數(shù)、表征孔隙拓撲結(jié)構(gòu)的孔喉內(nèi)切圓半徑、體積、長度等以及表征孔隙形狀的形狀因子等。

4 參數(shù)統(tǒng)計分析

對所取3個REV的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，并統(tǒng)計分布特征值，繪制出各參數(shù)頻率分布圖(圖8～圖12)。

圖8 REV孔隙半徑、喉道半徑分布頻率圖Fig. 8 Distribution frequency diagram of pore and throat radiusa. REV孔隙半徑分布頻率圖； b. REV喉道半徑分布頻率圖

圖9 REV配位數(shù)分布頻率圖Fig. 9 Distribution frequency diagram of coordination number

在孔隙空間中，與單個獨立的孔隙體相連的所有喉道的數(shù)目稱為該孔隙體的配位數(shù)。配位數(shù)直接表征孔隙網(wǎng)絡(luò)的連通性好壞，而連通性會直接對介質(zhì)的輸運特性造成影響。一般情況下，孔隙的配位數(shù)在1～15之間，配位數(shù)越大，孔隙的連通程度就越高。圖9為所取3個REV平均配位數(shù)分布頻率圖，由圖可知，試樣配位數(shù)大部分分布在0～25區(qū)間內(nèi)，在7～9區(qū)間附近出現(xiàn)頻率分布峰值，約為8%。對分布頻率進行高斯曲線擬合，相關(guān)系數(shù)為0.94，表明配位數(shù)分布近似服從正態(tài)分布。由擬合的正態(tài)分布曲線可知：配位數(shù)數(shù)學(xué)期望10.0，標(biāo)準(zhǔn)差5.1，變異系數(shù)0.51，表明配位數(shù)分布較集中，孔隙連通性較強。

圖10 REV孔隙截面積形狀因子、喉道截面積形狀因子分布頻率圖Fig. 10 Distribution frequency diagram of area shape factor of pore and throata. REV孔隙截面積形狀因子分布頻率圖； b. REV喉道截面積形狀因子分布頻率圖

細粒土體的孔隙或喉道形狀相對復(fù)雜，為了采用規(guī)則的幾何形狀表示其形狀，引入形狀因子定量表征，其取值越小說明形狀越不規(guī)則。圖10為孔隙截面積形狀因子、喉道截面積形狀因子分布頻率圖。對孔隙和喉道截面積形狀因子分布頻率分別進行高斯曲線擬合，得到相關(guān)系數(shù)為0.961和0.990，表明孔隙和喉道截面積形狀因子均近似服從正態(tài)分布。孔隙與喉道的截面積形狀因子分別分布在0.01～0.04與0.01～0.05區(qū)間內(nèi)，其正態(tài)曲線特征為，孔隙截面積形狀因子的數(shù)學(xué)期望值0.019，喉道截面積形狀因子的期望值0.033，均小于正三角形的形狀因子標(biāo)準(zhǔn)值0.048，表明試樣絕大部分孔隙和喉道為不規(guī)則的幾何形態(tài)，且孔隙幾何形態(tài)較喉道更為復(fù)雜?？紫督孛娣e形狀因子的標(biāo)準(zhǔn)差0.005i54，變異系數(shù)Cv=0.291； 喉道截面積形狀因子的標(biāo)準(zhǔn)差0.006i79，變異系數(shù)Cv=0.206，表明孔隙和喉道的截面積形狀因子分布較集中，孔隙截面積因子較喉道分布更為分散。

圖11 REV喉道長度分布頻率圖Fig. 11 Distribution frequency diagram of throat length

圖12 REV孔隙體積分布頻率圖Fig. 12 Distribution frequency diagram of the REV pore volume

5 結(jié) 論

(1)最大球算法可用于建立多孔介質(zhì)空間孔隙網(wǎng)絡(luò)球棍模型，該算法使用局部的最大球定義孔隙體，通過搜索最大球之間的鏈接獲得喉道。

(2)對顯微CT二值圖像序列進行三維重構(gòu)，從三維重構(gòu)模型中可提取出任意表征單元體REV，通過三維二值反運算可獲得其所對應(yīng)的孔隙表征單元體REV′，基于最大球算法可獲得REV′所對應(yīng)的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型N-REV′。

(3)計算獲得了樣品REV孔隙網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)，統(tǒng)計分布特征后發(fā)現(xiàn)，孔隙半徑、喉道半徑、孔隙配位數(shù)、孔隙截面形狀因子、喉道截面形狀因子與喉道長度等孔隙參數(shù)均近似服從正態(tài)分布，孔隙體積近似服從衰減型指數(shù)分布。

(4)孔隙與喉道半徑分別分布在100iμm與65iμm以內(nèi)，兩者數(shù)學(xué)期望分別為40.0iμm與18.0iμm； 配位數(shù)分布在25以內(nèi)，數(shù)學(xué)期望為5.1； 孔隙與喉道截面形狀因子分別分布在0.01～0.04與0.01～0.05的區(qū)間內(nèi)，兩者數(shù)學(xué)期望分別為0.019與0.033； 喉道長度分布在100～800iμm以內(nèi)，數(shù)學(xué)期望為292.22iμm。

(5)樣品中體積小于1.5×107iμm3的小孔隙數(shù)量超過90%。