晉守博

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 宿州 234000)

近年來，多智能體系統(tǒng)已經(jīng)被應(yīng)用于生活的各個方面，眾多國內(nèi)外學(xué)者都在關(guān)注一致性問題的研究.文獻(xiàn)[1]首次模擬了一致性現(xiàn)象，文獻(xiàn)[2]給出了系統(tǒng)實現(xiàn)一致的條件.最近，文獻(xiàn)[3-4]分別討論了一階和二階的離散時間下的多智能體系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]對一致性問題做了研究綜述，文獻(xiàn)[6-9]分別討論了隨機(jī)和分?jǐn)?shù)階情況下的一致性.具有時滯的多智能體系統(tǒng)是目前的一個研究熱點，采用的主要研究方法是頻域分析法和李雅普諾夫穩(wěn)定性方法，研究表明，時滯過大會導(dǎo)致多智能體系統(tǒng)發(fā)生震蕩[10]，如何降低時滯對系統(tǒng)一致性的影響，需要進(jìn)行深入討論，本文提出了一種具有加權(quán)項的時滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋協(xié)議，應(yīng)用時滯分解技術(shù)分析了多智能體系統(tǒng)漸近實現(xiàn)平均一致的充要條件，在一定程度上改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]的結(jié)論，完善了時滯問題的相關(guān)理論.

1 主要結(jié)論

考慮如下一階多智能體系統(tǒng)

(1)

這里xi(t)∈R代表智能體i的狀態(tài)，智能體i的輸入變量為ui(t)，多智能體的集合為I，假定該多智能體系統(tǒng)具有固定的無向連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

Olfati-Saber和Murray在2004年提出了具有通訊時滯的線性一致性協(xié)議[10]

(2)

(3)

其中aij為鄰接矩陣元素，τ表示系統(tǒng)的通訊時滯，Ni是智能體i的鄰接智能體的個數(shù)，反饋強(qiáng)度β滿足0<β<τ，權(quán)重系數(shù)r1,r2>0，關(guān)于智能系統(tǒng)問題的更多研究可以參考文獻(xiàn)[12-13].

(4)

將通訊時滯τ分解為τ=mh+ε，這里m為非負(fù)整數(shù)且常數(shù)ε∈[0,h)，于是可得，當(dāng)t∈[kh,kh+ε)時，t-τ∈[kh-mh-ε,kh-mh)?[kh-mh-h,kh-mh)；當(dāng)t∈[kh+ε,kh+h)時，t-τ∈[kh-mh,kh-mh+h-ε)?[kh-mh,kh-mh+h)，其中k為非負(fù)整數(shù).于是，當(dāng)t∈[kh,kh+ε)時，

(5)

當(dāng)t∈[kh+ε,kh+h)時，

(6)

現(xiàn)在分析系統(tǒng)(1)在協(xié)議(5)-(6)下的一致性.

證明：根據(jù)朱利判據(jù)即可得到.

定理1在一致性協(xié)議(5)-(6)下，具有固定無向連通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)(1)漸近實現(xiàn)平均一致的充要條件是對任意i∈I{1}，方程

(7)

的根都在單位圓內(nèi)，其中λi(L)為拉普拉斯矩陣的特征值.

證明：結(jié)合(1)、(5)和(6)可得，當(dāng)t∈[kh,kh+ε)時，有

xi(t)=xi(kh)+(t-kh)ui(kh-mh-h)，

所以xi(kh+ε)=xi(kh)+εui(kh-mh-h).

(8)

當(dāng)t∈[kh+ε,kh+h)時，有xi(t)=xi(kh+ε)+(t-kh-ε)ui(kh-mh)，

所以xi(kh+h)=xi(kh+ε)+(h-ε)ui(kh-mh)，

(9)

聯(lián)立(8)和(9)可得xi(kh+h)=xi(kh)+εui(kh-mh-h)+(h-ε)ui(kh-mh).

記L為拉普拉斯矩陣，令x(kh)=(x1(kh),x2(kh),…,xN(kh))T，利用L1N=0N可得系統(tǒng)的緊湊形式如下：

(10)

記X(z)為x(kh)的z變換，對系統(tǒng)(10)進(jìn)行z變換可得

整理后可得

所以關(guān)于x(kh)的特征方程為

利用網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞倪B通性可得

考慮到λ1(L)=0，可得

(11)

于是方程(11)只有一個單根z=1和m+2重根z=0，所以方程(7)的根都在單位圓內(nèi)是系統(tǒng)(10)能夠?qū)崿F(xiàn)一致性的充要條件.

利用(8)和(9)可知，當(dāng)t∈[kh,kh+ε)時，有

當(dāng)t∈[kh+ε,kh+h)時，有

對于一般的通訊時滯，盡管給出了漸近實現(xiàn)平均一致的充要條件，但是從上述定理很難對采樣周期精確分析.如果在對通訊時滯關(guān)于采樣周期進(jìn)行分解時，令m=0和ε≠0，則0<ε=τ

當(dāng)t∈[kh,kh+τ)時，

(12)

當(dāng)t∈[kh+τ,kh+h)時，

(13)

推論1對于帶有固定無向連通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)(1)，則一階多智能體系統(tǒng)應(yīng)用一致性協(xié)議(12)-(13)實現(xiàn)平均一致的充要條件為不等式

成立.

證明：當(dāng)0<ε=τ

2 仿真分析

我們考慮具有如下通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)：

圖1 多智能體系統(tǒng)的無向加權(quán)連通圖

該系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣為

不失一般性，假設(shè)多智能體系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1(0)=-3、x2(0)=-4、x3(0)=3和x4(0)=4，通過數(shù)值仿真見圖1.

圖2 不同采樣周期下多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)

3 結(jié) 論

對于一階多智能體系統(tǒng)(1)，研究表明在離散時間協(xié)議(5)-(6)下，對于具有固定無向連通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，該系統(tǒng)漸近實現(xiàn)平均一致的充要條件可以歸結(jié)為相應(yīng)方程的根全部在單位圓.在退化的協(xié)議下，實現(xiàn)平均一致的充要條件是采用周期的滿足兩個特殊的不等式.