摘要：在解析解和中，對圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、軸對稱以及兩者的復合變化后使得圖形的大小和形狀均不發(fā)生變化，這樣的操作稱為正交變換。在代數(shù)中，在n維空間中，若對一個線性變換σ，對任意的ɑ，ɡ∈V，都有（σ（ɑ），σ（ɡ））=（ɑ，ɡ），則稱線性變換σ為一個正交變換。本文分別敘述了分別在二維、三維情況下歐式空間正交變換的分類，和正交變換一些基本不變的性質(zhì)，以及正交變換的應用。

關(guān)鍵詞：正交變換;分類;應用

定義1：

若線性變換σ是n維空間下的一個正交變換，則對于任意ξ∈V都有σξ=|ξ|。

基于對線性變換概念的認識，下文以二、三維的情況為例簡單對正交變換進行了分類。

補充：判斷一個線性變換σ是否為正交變換的充要條件是：在V中任取向量α，β，若有：

定義2：

一個n階實矩陣U叫做一個正交矩陣，如果UTU=UUT=Ι

1 正交變換的分類

在V2情形之下：

不妨設σ是二維情況下的任意正交變換，該正交變換在二維平面下的一個規(guī)范正交基{γ1，γ2}的矩陣是：

在前一情形，σ是將V2的每一個向量旋轉(zhuǎn)角φ的旋轉(zhuǎn);在后一情形，σ將V2中以（x，y）為坐標的向量變成以（xcosφ+ysinφ，xsinφycosφ）為坐標的向量。這時σ是關(guān)于直線的y=tan（φ/2）x的反射。

所以，二維情況之下的正交變換可以分為兩種情況：（1）這個正交變換為旋轉(zhuǎn);（2）這個正交變換是通過一條過原點的直線的反射。

在V3情形之下：

不妨設σ是三維情況之下的某個正交變換。讀者容易想到σ的特征多項式是實系數(shù)的而且它的次數(shù)是三次，所以它三維特征多項式至少存在一個實根，不妨設這個實根為r。假設γ1是σ下本征值r的一個本征向量，另設γ1是一個單位向量。另外在加上γ2，γ3之后使γ1，γ2，γ3是V3的一個規(guī)范正交基。從而σ對于基的矩陣有以下形式：

第一種情況，σ是經(jīng)過定點α1的直線L（α1）的一個旋轉(zhuǎn);第二種情況，σ基于平面L（α2，α3）的一種反射;將第一種情況與第二種情況進行合成，則為第三種情況。

2 正交變換的一些基本不變的性質(zhì)

（1）正交變換把直線變成直線，并且保持點和直線的結(jié)合關(guān)系和共線三點的介于關(guān)系。

（2）正交變換把不共線的點變成不共線的點。

由（1）、（2）知，正交變換把相交直線變成相交直線，把角變成角。

（3）正交變換把平行直線變成平行直線。

（4）正交變換保持角的大小不變。

3 正交變換的應用

（1）正交變換在重積分的應用：在計算重積分的時常用到變換替換，而一般的變量替換隨意性很大，它要考慮被積函數(shù)和積分區(qū)域等，因此積分起來比較困難。在一些情形之下，利用正交變換不失為變量替換的一種有效方法。

（2）正交變換在第一型曲面積分中的應用：由于第一型曲面積分在正交變換下形式不變性，因此正交變換也可用在曲面積分中。

（3）正交變換在研究多元函數(shù)Taylor公式中也發(fā)揮著重要的作用。

作者簡介：任慧瑜（1999），女，漢族，內(nèi)蒙古巴彥淖爾人，現(xiàn)就讀于西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院，主要研究方向：數(shù)學與應用數(shù)學。