陳 浩，蘭燕鴻，何郁波

(懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 懷化 418000)

金融市場存在很多時間序列數(shù)據(jù)，如不斷變動的股價、利率等.不同于截面數(shù)據(jù)，時間序列數(shù)據(jù)揭示了系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律，通過探究其中的規(guī)律，可以對未來的走勢做出預(yù)測，這對投資者來說是十分必要的.目前，購買股票是一種經(jīng)常性的投資方式，股票市場的波動是國家經(jīng)濟(jì)的直接反映，無論是對投資者還是政府來說，股價預(yù)測都具有重要意義[1].

傳統(tǒng)的股票分析方法有基本分析、演化分析和技術(shù)分析等，這些方法只能對股票的走勢進(jìn)行分析和預(yù)測，無法預(yù)測股票的價格.自回歸移動平均(Autoregressive Moving Average，ARMA)模型經(jīng)過不斷的發(fā)展，其理論體系非常成熟，在統(tǒng)計分析和數(shù)據(jù)處理中表現(xiàn)出很好的便利性，且在股票預(yù)測過程中不僅考慮了市場指標(biāo)在時間序列上的相關(guān)性，還考慮了隨機(jī)擾動的干擾性，可以很好地對短期變動趨勢做出預(yù)測[2].目前，國內(nèi)學(xué)者在時間序列預(yù)測方面進(jìn)行了大量的研究，而ARMA模型作為一類較理想的預(yù)測模型，其有效性和適用性自然是研究的重點.有學(xué)者選取具有代表性的股指指數(shù)或者股票價格作為研究對象，分析其序列值并建立模型，再對未來的趨勢進(jìn)行預(yù)測，得到的預(yù)測結(jié)果與真實值誤差較小，進(jìn)一步證明了ARMA模型在股價預(yù)測方面的有效性和適用性[1-4].受這些研究的啟發(fā)，筆者擬針對具有顯著非平穩(wěn)性的一類時間序列，通過差分方法對原始序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理，采用最小信息準(zhǔn)則確定原始序列所滿足的模型，并利用模型對建設(shè)銀行短期的股票開盤價進(jìn)行預(yù)測，以期為投資者提供合理的投資策略.

1 模型介紹

時間序列是記錄系統(tǒng)歷史行為的一系列數(shù)據(jù)，對這些歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察、研究，尋找系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律和結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而對其未來某一個時刻的行為進(jìn)行預(yù)測，這種分析方法稱為時間序列分析[5-7].將具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為ARMA模型(簡記為ARMA(p,q))：

其中φk(1≤k≤p)和θk(1≤k≤q)為實參數(shù)，εt為滿足條件的純隨機(jī)序列.ARMA模型是平穩(wěn)時間序列分析中的經(jīng)典模型，但在經(jīng)濟(jì)生活中遇到的時間序列基本上是非平穩(wěn)序列，因此需要采用一定的方法將其變?yōu)槠椒€(wěn)序列.一般采用差分的方法對目標(biāo)序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理，然后對得到的平穩(wěn)序列建立ARIMA(p,d,q)模型，其中d為差分階數(shù).

2 數(shù)據(jù)獲取與預(yù)處理

2.1 數(shù)據(jù)獲取

從網(wǎng)易財經(jīng)選取建設(shè)銀行(股票代碼601939)2018年1月2日至2019年12月26日的每個股票交易日開盤價作為樣本數(shù)據(jù)，將樣本記為{PRICE}，共計484個樣本數(shù)據(jù).表1示出了部分樣本數(shù)據(jù).

表1 部分樣本數(shù)據(jù)

2.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

首先對序列{PRICE}進(jìn)行預(yù)處理，即平穩(wěn)性檢驗和純隨機(jī)性檢驗.若{PRICE}是非平穩(wěn)序列，則需要采取一定的方法使其平穩(wěn)化；若{PRICE}是純隨機(jī)序列，則表明它的序列值之間沒有任何聯(lián)系，換言之，該序列沒有任何研究價值.

(1)平穩(wěn)性檢驗.由于股市受到許多不確定性因素的影響，市場波動較大，因此股票價格序列一般為非平穩(wěn)時間序列.對原始序列的平穩(wěn)性檢驗，可以采用原始序列的時序圖和自相關(guān)圖相結(jié)合的方法來進(jìn)行識別.利用EViews軟件[8]繪出序列{PRICE}的時序圖，如圖1所示.從圖1可以看出，{PRICE}具有明顯的趨勢性，從而初步判斷{PRICE}是非平穩(wěn)序列.一個具有長期趨勢的非平穩(wěn)序列，它的一個顯著特征是隨著延遲期數(shù)的增加，自相關(guān)系數(shù)會緩慢衰減至0.從圖2所示的滯后24期的序列自相關(guān)圖可以看出，自相關(guān)系數(shù)一直在零軸的右邊，其值都位于2倍標(biāo)準(zhǔn)差外并呈現(xiàn)緩慢減小的趨勢.由此可知，選取的建設(shè)銀行股票價格序列是一個非平穩(wěn)時間序列.

圖1 序列{PRICE}的時序圖

圖2 {PRICE}序列自相關(guān)圖

(2)數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理.差分運(yùn)算是平穩(wěn)化處理常用的方法，對序列{PRICE}做一階差分運(yùn)算，得到新的序列為{D(PRICE)}，且滿足D(PRICE)t=PRICEt-PRICEt-1.繪出序列{D(PRICE)}的時序圖，如圖3所示.

圖3 一階差分{D(PRICE)}時序圖

從圖3可以看出，序列{PRICE}通過一階差分運(yùn)算之后不再具有趨勢性.差分后序列值始終在0值上下振動，且振幅有界，從而初步判斷序列{D(PRICE)}是平穩(wěn)的.為了驗證初步判斷的正確性，對序列{D(PRICE)}進(jìn)行平穩(wěn)性ADF檢驗.若序列拒絕原假設(shè)，則說明此序列平穩(wěn).ADF檢驗結(jié)果見表2，從表2可知，1%顯著水平下的臨界值為-3.443 691，ADF的t統(tǒng)計量的值為-19.711 47.顯然，1%的顯著水平下的臨界值要遠(yuǎn)大于ADF檢驗值，說明在99%的置信水平下拒絕原假設(shè)，即該序列不存在單位根，所以序列{D(PRICE)}是平穩(wěn)的.

表2 一階差分序列ADF檢驗結(jié)果

(3)純隨機(jī)性檢驗.利用EViews軟件對序列{D(PRICE)}進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗，結(jié)果見表3.從表3可知，滯后6，12，18期的P值都明顯小于0.05，說明殘差序列的Q值全都大于檢驗水平為0.05的χ2分布臨界值，所以{D(PRICE)}不是純隨機(jī)序列，具有相關(guān)性.

表3 白噪聲檢驗結(jié)果

3 模型的建立

3.1 模型識別

序列{PRICE}通過差分運(yùn)算之后變?yōu)槠椒€(wěn)時間序列{D(PRICE)}，現(xiàn)可以通過{D(PRICE)}的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的衰減方式確定模型的類型.由一階差分后序列的自相關(guān)圖(圖4)和偏自相關(guān)圖(圖5)可以看出，序列{D(PRICE)}僅有不超過5%的樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，因此AFC和PAFC都可視為拖尾.根據(jù)ARMA模型的識別原則，可以嘗試使用ARMA模型進(jìn)行擬合.

圖4 {D(PRICE)}序列自相關(guān)圖

圖5 {D(PRICE)}序列偏自相關(guān)圖

3.2 模型定階

確定對序列{D(PRICE)}采用ARMA模型擬合之后，還需要確定ARMA模型滯后項p和q的值.根據(jù)圖4建立所有p，q≤5的ARMA模型，利用AIC，SB，HQ準(zhǔn)則和t統(tǒng)計量顯著性來具體確定模型的階數(shù).由于數(shù)據(jù)較多，表4僅給出包含信息準(zhǔn)則最小的模型在內(nèi)的部分模型數(shù)據(jù)，從中可知ARIMA(5,1,4)模型的AIC和HQ的值最小，所以選擇ARIMA(5,1,4)建立模型.

表4 部分ARIMA模型的AIC，SC，HQ檢驗值

表4(續(xù))

對ARIMA(5,1,4)模型進(jìn)行估計，確定AR(5)項(即D(PRICE)t-5)和常數(shù)項的系數(shù)不顯著，因此需要剔除AR(5)項和常數(shù)項.繼續(xù)利用最小AIC準(zhǔn)則和SBC準(zhǔn)則進(jìn)行擬合估計，識別出最優(yōu)模型為ARIMA(4,1,4).通過檢驗，ARIMA(4,1,4)模型的所有系數(shù)都十分顯著，于是采用該模型對序列{D(PRICE)}進(jìn)行擬合.

3.3 參數(shù)估計

最小二乘估計法計算模型的參數(shù)值具有較高的精度，因此采用最小二乘法對ARIMA(4,1,4)模型的參數(shù)進(jìn)行估計，即估計方程組

中的參數(shù)φ1,φ2,φ3,φ4,θ1,θ2,θ3,θ4，得到ARIMA(4,1,4)模型的口徑為

其中εt為殘差序列.模型的特征根都在單位圓內(nèi)，故平穩(wěn)可逆.

3.4 模型的檢驗

模型建立后，需要檢驗?zāi)Ｐ偷挠行?一個最優(yōu)的擬合模型應(yīng)將樣本中的全部相關(guān)信息提取完畢，因此對模型的殘差序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗.若殘差序列不是純隨機(jī)序列，即殘差序列中還包含未被充分提取的信息，則需要對模型進(jìn)行優(yōu)化；若殘差序列純隨機(jī)，即擬合殘差項中不含有可以被提取的有效信息，則模型顯著有效.利用EViews軟件對殘差進(jìn)行檢驗，ARIMA(4,1,4)模型的殘差序列無任何趨勢，為一平穩(wěn)序列.Q統(tǒng)計量檢驗的結(jié)果顯示，所有的P值都大于0.05，說明擬合模型的殘差序列是一個純隨機(jī)序列，因此該模型是顯著有效的.

4 模型的應(yīng)用

股票市場受多方面因素的影響，其價格浮動較大.隨著時間的延長，這些不確定因素對模型預(yù)測效果產(chǎn)生的影響會進(jìn)行疊加，因此長期預(yù)測的誤差一般較大，而短期預(yù)測的效果較好.采用ARIMA(4,1,4)模型預(yù)測建設(shè)銀行2019-12-27，2019-12-30，2019-12-31這3個交易日的股票開盤價，結(jié)果見表5.

表5 建設(shè)銀行股票開盤價短期預(yù)測結(jié)果

從表5可知，開盤價的預(yù)測值與實際值之間的相對誤差均小于1.5%，說明ARIMA(4,1,4)模型對于短期預(yù)測具有較高的吻合度，股票日的開盤價預(yù)測95%的置信區(qū)間很好地包含了實際值.利用ARIMA(4,1,4)模型對484個交易日的開盤價進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如圖6所示，圖中虛線所夾部分為置信水平95%的置信區(qū)間，中間實線表示預(yù)測值.

圖6 建設(shè)銀行股票開盤價預(yù)測的95%置信區(qū)間結(jié)果

5 結(jié)語

通過EViews軟件結(jié)合ARMA模型對建設(shè)銀行的股票開盤價序列進(jìn)行分析，得到符合股價的模型口徑.采用ARIMA(4,1,4)模型進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果顯示，該模型對建設(shè)銀行股票開盤價的短期預(yù)測效果較好，且擬合模型充分提取了建設(shè)銀行股票開盤價序列中包含的有用信息.當(dāng)然，本研究存在一定的局限性，如在對原始序列和差分后序列的分析過程中帶有一定的主觀性和經(jīng)驗性，尤其是對序列的自相關(guān)函數(shù)及偏自相關(guān)函數(shù)的分析；另外，在序列分析的過程中，應(yīng)該考慮國家宏觀經(jīng)濟(jì)政策等其他因素對序列的影響，因此可以參考選用序列的條件異方差模型.