孫衍強(qiáng)， 陳洪芳， 石照耀， 宋輝旭， 李長亮， 孫若水

(北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

激光追蹤測量系統(tǒng)具有測量范圍大、測量效率高、精度高、操作簡單等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于飛行器制造、汽車制造、船舶制造等領(lǐng)域[1-4]。激光追蹤測量系統(tǒng)利用高分辨率的激光干涉測量方法實現(xiàn)高精度跟蹤測量，主要應(yīng)用于機(jī)床校準(zhǔn)、工件檢測。電機(jī)的高精度追蹤控制技術(shù)是激光追蹤測量系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)，電機(jī)控制的性能直接影響激光追蹤測量系統(tǒng)對空間隨動目標(biāo)的跟蹤速度和跟蹤精度，要求電機(jī)具有快速的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)，處于最內(nèi)環(huán)的電流控制器性能就成為影響控制系統(tǒng)整體性能的關(guān)鍵。

對電流控制器的設(shè)計，最常見是PI控制方法，其結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)整方便。但是傳統(tǒng)的PI控制屬于線性控制，僅適用于負(fù)載變化小且沒有較多干擾的場合，其控制性能易受內(nèi)外多種因素影響，不利于應(yīng)用到強(qiáng)耦合、多輸入輸出的非線性時變的永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)中[5]。預(yù)測控制是一種從工業(yè)過程控制中發(fā)展起來的計算機(jī)控制算法，與傳統(tǒng)控制方法相比最大的區(qū)別在于能夠考慮到控制量對未來的影響，通過在線滾動優(yōu)化不斷反饋校正，在一定程度上克服了由模型誤差和不確定性干擾所帶來的影響，具有更快的動態(tài)響應(yīng)速度和更高的穩(wěn)態(tài)精度，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。Malesani等[6]提出了無差拍電流預(yù)測控制算法，實現(xiàn)了對電機(jī)基于模型的運動控制，該方法對電機(jī)模型參數(shù)的失配比較敏感。Morel等[7-8]提出根據(jù)逆變器輸出的不同電壓矢量來預(yù)測下一控制周期的電流，該方法僅通過一個評價函數(shù)唯一確定電壓矢量的輸出，電流頻響較快，同時存在電流紋波。王偉華等[9-10]提出了增量預(yù)測算法，避免了傳統(tǒng)PI控制所帶來的超調(diào)和震蕩，同時仍然保留PI閉環(huán)控制改善傳統(tǒng)預(yù)測控制對電機(jī)參數(shù)的依賴性，但犧牲了響應(yīng)速度。張永昌等[11]提出基于快速矢量選擇的永磁同步電機(jī)模型預(yù)測控制，只需一次預(yù)測即可選出最優(yōu)電壓矢量，降低了算法的復(fù)雜度和計算量，但權(quán)重系數(shù)的確定仍缺乏有效的理論支持。Siami等[12]對傳統(tǒng)預(yù)測電流控制進(jìn)行擴(kuò)展研究，提高了系統(tǒng)對參數(shù)不確定性的魯棒性，在預(yù)測的不同階段考慮預(yù)測誤差的影響，增加了預(yù)測精度。

在激光追蹤測量系統(tǒng)中，為了提高驅(qū)動電機(jī)內(nèi)環(huán)電流控制器的動靜態(tài)響應(yīng)特性，本文基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器研究了電流預(yù)測控制算法，并利用Matlab/Simulink進(jìn)行仿真分析，驅(qū)動電機(jī)可獲得快速的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)，有利于有效改善激光追蹤測量系統(tǒng)對空間隨動目標(biāo)的追蹤速度和追蹤精度。

1 激光追蹤測量系統(tǒng)的電機(jī)控制算法

1.1 永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型建立

本文所研究的Harmonic諧波減速電機(jī)為永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor, PMSM)，由永磁體勵磁產(chǎn)生同步旋轉(zhuǎn)磁場來實現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)換[13]。為簡化分析，在不影響控制性能的前提下忽略鐵心的飽和效應(yīng)、忽略渦流和磁滯損耗、忽略溫度、頻率對電機(jī)參數(shù)的影響；假設(shè)轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組且永磁體無阻尼作用、氣隙磁場呈正弦分布、三相繞組均勻?qū)ΨQ且繞組中感應(yīng)電感為正弦波[14]。

如圖1所示，永磁同步電機(jī)在旋轉(zhuǎn)過程中，ABC三相靜止坐標(biāo)系下的PMSM數(shù)學(xué)模型較復(fù)雜，不利于動態(tài)分析和控制設(shè)計。令α軸與A相軸線重合，α軸逆時針垂直方向即為β軸，將其從ABC三相靜止坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化至αβ兩相靜止坐標(biāo)系下，以消除三相坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)分量。但是，αβ兩相靜止坐標(biāo)系下PMSM仍存在交流成分的電分量，其兩軸電感仍是相關(guān)于位置角θ的函數(shù)，不利于采用與直流電機(jī)類似的控制策略，增加了控制與分析難度。因此，將αβ兩相靜止坐標(biāo)系繞PMSM中心旋轉(zhuǎn)，使得α軸與磁軸重合，坐標(biāo)系便可隨電機(jī)同步旋轉(zhuǎn)，即αβ兩相靜止坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為兩相同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系[15]。

圖1 PMSM的解析模型示意Fig.1 Analytical model diagram of PMSM

PMSM模型的電壓方程為：

(1)

式中：ud、uq、id、iq分別為dq坐標(biāo)系下PMSM定子繞組的電壓、電流；R為dq坐標(biāo)系下PMSM定子繞組的電阻；ω為PMSM的電磁角速度；Ld、Lq為dq坐標(biāo)系下PMSM定子繞組的等效電感；ψf0為PMSM的永磁體在定子繞組上產(chǎn)生磁鏈的幅值。

dq坐標(biāo)系下，d軸與q軸的電感相同，有Ld=Lq=L，則PMSM模型的電磁轉(zhuǎn)矩方程式為：

(2)

式中：Te為dq坐標(biāo)系下PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩；Pn為PMSM的極對數(shù)。

因此，dq坐標(biāo)系下PMSM模型的機(jī)械運動方程式為：

(3)

式中：J為dq坐標(biāo)系下PMSM的轉(zhuǎn)動慣量；TL為dq坐標(biāo)系下PMSM的負(fù)載轉(zhuǎn)矩(輸出轉(zhuǎn)矩)；B為PMSM的粘滯摩擦系數(shù)；ωr為PMSM的轉(zhuǎn)子角速度，與電磁角速度ω關(guān)系為ω=Pnωr。

將式(2)代入式(3)，可得：

(4)

結(jié)合式(1)，可求得dq坐標(biāo)系下的PMSM模型的狀態(tài)方程式為：

(5)

1.2 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的電流預(yù)測控制算法

激光追蹤測量系統(tǒng)的電機(jī)內(nèi)環(huán)選用電流控制電流預(yù)測控制(current predictive control, CPC)算法，在一定程度上克服由模型誤差和不確定性干擾所帶來的影響。并采用id=0矢量控制方式，避免了直軸電流，使電機(jī)所有電流均用于產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，電流控制效率高，具有良好的控制性能和調(diào)速性能[17]。

PMSM的d、q軸電流可作為狀態(tài)變量，根據(jù)式(5)可構(gòu)造PMSM的狀態(tài)空間函數(shù)，矩陣形式為：

(6)

由于PMSM控制系統(tǒng)的采樣周期Ts很小，在一個控制周期內(nèi)可認(rèn)為u是恒定不變的；此外，PMSM的旋轉(zhuǎn)電動勢D的變化相對于電流環(huán)變化較為緩慢，也可以認(rèn)為在一個周期內(nèi)旋轉(zhuǎn)電動勢D恒定不變[18-21]。

令t0=kTs,t=(k+1)Ts，采用一階歐拉前向離散化方法對式(6)所述的狀態(tài)方程進(jìn)行離散化，可得PMSM離散化的電流預(yù)測控制模型：

i(k+1)=F(k)·i(k)+Gu(k)+H(k)

(7)

u(k)=G-1[i*(k)-F(k)·i(k)-H(k)]

(8)

在實際的PMSM系統(tǒng)中，電流對給定值i*(k)的跟隨效果欠佳，將會影響控制器的控制效果；隨著工況的變化，易失配的PMSM參數(shù)將會帶來電機(jī)模型的計算誤差，導(dǎo)致控制電機(jī)的電流抖動。因此，狀態(tài)觀測器可通過觀測PMSM系統(tǒng)d、q軸的實際電流來實現(xiàn)對預(yù)測電流的修正；同時構(gòu)造擴(kuò)張狀態(tài)變量對PMSM系統(tǒng)內(nèi)外擾動進(jìn)行同步評估，實現(xiàn)對PMSM系統(tǒng)輸出電壓的實時修正。

將PMSM的d、q軸電流電壓作為狀態(tài)觀測器的輸入輸出，令：

(9)

X1、U分別作為狀態(tài)觀測器的狀態(tài)變量和輸入量，因此可得到PMSM的電流狀態(tài)方程式為：

(10)

將f(X1)看作是PMSM控制系統(tǒng)的內(nèi)部擾動，其中包含電感L和電機(jī)非線性因素的影響，與PMSM其他未知干擾W共同擴(kuò)張成狀態(tài)觀測器一個新的狀態(tài)變量X2，即：

X2=f(X1)+W

(11)

(12)

式中：γ為PMSM的電流修正權(quán)重因子；ρ為PMSM擾動量的補(bǔ)償系數(shù)；Z1d、Z1q分別為Z1在d、q軸的電流觀測量；Z2d、Z2q分別為Z2在d、q軸的擾動觀測量。

根據(jù)上述PMSM電流環(huán)控制的數(shù)學(xué)模型，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的電流預(yù)測控制(extended state observer-current predictive control, ESO-CPC) 算法改進(jìn)了激光追蹤控制系統(tǒng)的電機(jī)電流控制器設(shè)計，其算法結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的觀測量Z1可有效修正電流環(huán)的電流輸入，觀測量Z2可實時補(bǔ)償電流環(huán)的電壓輸出。

圖2 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的電流預(yù)測算法結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of current prediction algorithm based on extended state observer

2 基于ESO-CPC的激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)Simulink仿真模型建立

根據(jù)基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的電流預(yù)測控制算法的激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)模型，在Matlab/Simulink中構(gòu)建仿真模型，如圖3所示。直流電壓源、萬用電橋和永磁同步電機(jī)共同組成系統(tǒng)的主電路，其中負(fù)載轉(zhuǎn)矩由Step控件提供加載，電機(jī)的定子三相電流、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角和電磁轉(zhuǎn)矩可由Scope空間實時觀測。在基于ESO-CPC的激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)的仿真模型中，設(shè)定d軸的參考電流為零，電機(jī)反饋速度與設(shè)定速度的差值經(jīng)速度調(diào)節(jié)器作q軸的參考電流[22-23]。

圖3 基于ESO-CPC的激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)Simulink仿真模型Fig.3 Motor Simulink simulation model of laser tracking measurement system based on ESO-CPC

2.1 坐標(biāo)變換模塊

為簡化控制電機(jī)模型，可將電機(jī)三相繞組電流產(chǎn)生的磁動勢按平面矢量的疊加原理進(jìn)行合成和分解, 使得實際電動機(jī)的三相繞組可由兩相正交繞組等效。圖4～6分別為基于ESO-CPC的激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)Simulink仿真模型中Clark變換、Park變換和Anti_Park變換3個坐標(biāo)系變換模塊，實現(xiàn)ABC-αβ-dq坐標(biāo)系間的正變換和逆變換。

2.2 電流預(yù)測控制模塊

電流預(yù)測控制CPC control模塊由Simulink環(huán)境提供的Matlab function模塊實現(xiàn)，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的PI控制，避免了模型誤差和不確定性干擾的影響，Simulink仿真模型如圖7所示。

圖4 Clark變換模塊仿真模型Fig.4 Clark transform module simulation model

圖5 Park變換模塊仿真模型Fig.5 Park transform module simulation model

圖6 Anti_Park變換模塊仿真模型Fig.6 Anti_Park transform module simulation model

圖7 電流預(yù)測控制的Simulink仿真模型Fig.7 SIMULINK simulation model of current predictive control

2.3 SVPWM模塊

SVPWM模塊是以三相對稱正弦波電壓供電時三相對稱電動機(jī)定子理想磁鏈圓為參考標(biāo)準(zhǔn)，以三相逆變器不同開關(guān)模式作適當(dāng)?shù)那袚Q，從而形成PWM波，使控制電機(jī)獲得幅值恒定的圓形磁場。SVPWM模塊的Simulink仿真模型如圖8所示。

圖8 SVPWM的Simulink仿真模型Fig.8 Simulink simulation model of SVPWM

2.4 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器模塊

擴(kuò)張狀態(tài)觀測ESO模塊通過電流觀測量和擾動觀測量的反饋，對PMSM系統(tǒng)內(nèi)外擾動進(jìn)行評估，以修正PMSM系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的電壓輸出。內(nèi)外擾動估計Z2在d軸的擾動觀測量Simulink仿真如圖9所示，同理可得到交直電流估計Z1在d、q軸的電流觀測量以及內(nèi)外擾動估計Z2在q軸的擾動觀測量。

3 仿真實驗

為了檢驗基于ESO-CPC的激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)Simulink模型的正確性，對本文所建立的激光追蹤測量系統(tǒng)電流控制模型進(jìn)行了Simulink仿真實驗。仿真實驗選用Harmonic的FHA-C mini系列諧波減速電機(jī)，其主要參數(shù)如表1所示。

給定轉(zhuǎn)速n0=1 000 rad/s，在t=0時，啟動控制電機(jī)；在t=0.1時，給電機(jī)加一個力矩為10 N·m的負(fù)載，觀測控制電機(jī)三相定子繞組電流仿真波形、電磁轉(zhuǎn)矩仿真波形和電機(jī)轉(zhuǎn)速仿真波形變化。為了便于突出本文所建立的激光追蹤測量系統(tǒng)基于ESO-CPC模型的有效性和優(yōu)越性，與圖10所示的激光追蹤測量系統(tǒng)電流PI控制算法模型進(jìn)行比較分析。

表1 電機(jī)主要參數(shù)Table 1 Main parameters of motor

圖9 擴(kuò)張狀態(tài)觀測模塊的Simulink仿真模型Fig.9 SIMULINK simulation model of extended state observation module

圖10 激光追蹤測量系統(tǒng)電流PI控制Simulink仿真模型Fig.10 Simulink simulation model of current PI control for laser tracking measurement system

激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)三相定子繞組電流的Simulink仿真波形圖，如圖11所示。其中，圖11(a)為電機(jī)電流采用PI算法控制時三相定子繞組電流的波形變化；圖11(b)為電機(jī)電流采用ESO-CPC預(yù)測算法控制時三相定子繞組電流的波形變化。從圖11中可以看出，控制電機(jī)上電后，電機(jī)的三相定子繞組電流略有震蕩后達(dá)到穩(wěn)態(tài)；相比于PI控制算法，采用ESO-CPC預(yù)測控制算法使電機(jī)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間更短，提高了20.56 ms。在t=0.1時刻給電機(jī)加一個力矩為10 N·m的負(fù)載后，采用ESO-CPC預(yù)測控制算法控制電機(jī)，電機(jī)并未超調(diào)震蕩便可迅速到達(dá)穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)定后最大峰峰值比PI算法控制減小了0.76 A，且三相正弦波曲線更為平滑、無雜波。

激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的Simulink仿真波形圖，如圖12所示。其中，圖12(a)為電機(jī)電流采用PI算法控制時電磁轉(zhuǎn)矩的波形變化；圖12(b)為電機(jī)電流采用ESO-CPC預(yù)測算法控制時電磁轉(zhuǎn)矩的波形變化。從圖12中可以看出，控制電機(jī)上電后，迅速達(dá)到最大轉(zhuǎn)矩并快速回到穩(wěn)定值；其變化趨勢與電機(jī)三相定子繞組電流的變化趨勢相同，采用ESO-CPC預(yù)測控制算法比采用PI控制算法使電機(jī)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間更短。在增加負(fù)載后，采用ESO-CPC預(yù)測控制算法的電機(jī)迅速到達(dá)穩(wěn)態(tài)，且變化平穩(wěn)。

激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)轉(zhuǎn)速的Simulink仿真波形圖，如圖13所示。其中，圖13(a)為電機(jī)電流采用PI算法控制時轉(zhuǎn)速的波形變化；圖13(b)為電機(jī)電流采用ESO-CPC預(yù)測算法控制時轉(zhuǎn)速的波形變化。從圖13中可以看出，控制電機(jī)上電后，電機(jī)轉(zhuǎn)速迅速增大，在微小震蕩后快速回到給定值。相比于PI控制算法，采用ESO-CPC預(yù)測控制算法使電機(jī)轉(zhuǎn)速上升時間小，超調(diào)量小，更快到達(dá)給定的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速值。

圖11 電機(jī)三相定子繞組電流的Simulink仿真波形圖Fig.11 Simulink simulation waveform of motor three-phase stator winding current

圖12 電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的Simulink仿真波形圖Fig.12 Simulink simulation waveform of motor electromagnetic torque

圖13 電機(jī)轉(zhuǎn)速的Simulink仿真波形圖Fig.13 Simulink simulation waveform of motor speed

基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的電流預(yù)測算法作用于激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)的內(nèi)環(huán)電流控制設(shè)計，縮短了激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)轉(zhuǎn)矩達(dá)到穩(wěn)定值的時間，并且減小了電機(jī)轉(zhuǎn)速的超調(diào)量，電機(jī)運行更加平穩(wěn)。因此，激光追蹤測量系統(tǒng)的電流預(yù)測控制具有較好的動態(tài)響應(yīng)特性和速度控制特性，系統(tǒng)穩(wěn)定、操作方便，是理想的控制模型。

4 結(jié)論

1)本文結(jié)合永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型和激光追蹤測量系統(tǒng)的電流預(yù)測控制方法，建立了基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器電流預(yù)測控制算法的激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)模型，并運用Simulink實現(xiàn)了激光追蹤測量系統(tǒng)電機(jī)控制的建模與仿真。

2)通過仿真實驗可以看出，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的電流預(yù)測控制，克服了由模型誤差和不確定性干擾的影響，并對內(nèi)外擾動進(jìn)行評估，有效解決了失配問題導(dǎo)致的電機(jī)模型計算誤差和電流抖動，使激光追蹤測量系統(tǒng)控制電機(jī)具有較好的動態(tài)響應(yīng)特性和速度控制特性，并且系統(tǒng)運行穩(wěn)定。

3)本文提出的建模和仿真方法為精密伺服控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試提供了一種研究方案。