錢輝，錢盛余，任康成，姚肖勇，楊艷

(常州星宇車燈股份有限公司，江蘇常州 213022)

0 引言

考慮到利用廉價(jià)商用分立元器件實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)單四階憶阻混沌電路可作為混沌的數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)演示的范例，因此減少動(dòng)態(tài)元件的數(shù)量來(lái)簡(jiǎn)化憶阻電路是具有重要價(jià)值的研究主題。為了尋找這類四階憶阻混沌電路，本文作者基于一種廣義憶阻模擬器[1]展開(kāi)研究，該憶阻是一種基于憶阻二極管橋級(jí)聯(lián)LC濾波器實(shí)現(xiàn)的廣義憶阻。

二階有源帶通濾波器(BPF)可用于生成周期振蕩信號(hào)?；谟性碆PF，文獻(xiàn)[2-3]中推演了采用不同非線性特性蔡氏二極管實(shí)現(xiàn)的兩類蔡氏混沌電路。此外，通過(guò)線性耦合一個(gè)并聯(lián)的憶阻-電容濾波器到該有源BPF電路上，文獻(xiàn)[4]中拓展了一種四階憶阻蔡氏混沌電路。有別于此憶阻電路的構(gòu)建方案[5]，作者利用新提出的改進(jìn)型廣義憶阻器替換有源BPF電路中一顆電阻，直接構(gòu)建了一種新穎的憶阻BPF電路。該電路方案在汽車未來(lái)加密解密方面有著重要的前景應(yīng)用。

1 憶阻有源帶通濾波器

1.1 二極管橋憶阻模擬器

通過(guò)簡(jiǎn)化文獻(xiàn)[1]中的LCR二極管橋憶阻，得到的改進(jìn)后 LC網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)的二階廣義憶阻器具有更為簡(jiǎn)單的電路結(jié)構(gòu)，如圖1所示。該電路僅由6個(gè)動(dòng)態(tài)電路元件組成，分別為4個(gè)二極管、1個(gè)電容和1個(gè)電感。此電路憶阻行為產(chǎn)生的關(guān)鍵機(jī)制是對(duì)于每對(duì)并聯(lián)二極管的電壓約束。

圖1所示電路為一個(gè)單端網(wǎng)絡(luò)電路，它有兩個(gè)輸入終端，V指定了終端之間的電壓方向，i指定了終端之間的電流流向。假設(shè)加在兩個(gè)動(dòng)態(tài)元素C和L上的電壓為VC。

圖1 二極管橋憶阻的電路實(shí)現(xiàn)

考慮到所選用4個(gè)二極管是完全一致的，可以用VDk和iDk分別代表二極管Dk(k=1，2，3，4)的電壓和通過(guò)電流，其關(guān)系可被表示為

iDk=Is(e2ρVDk-1)

(1)

每對(duì)并聯(lián)二極管上的電壓有兩個(gè)恒等式，VD1=VD3和VD2=VD4[6]。通過(guò)應(yīng)用基爾霍夫定律和電路元件的本構(gòu)關(guān)系，可得到相應(yīng)的電流狀態(tài)方程為

(2)

同時(shí)電壓狀態(tài)方程為

(3)

因此，狀態(tài)方程組的數(shù)學(xué)模型和通過(guò)電流i可被表示為

(4)

i=g(x,V)V=2Ise-ρVCsinh(ρV)

(5)

這里的x=[VC,iL]T，F(xiàn)(x,V)是一個(gè)連續(xù)的二維向量函數(shù)，且g(x,V)是一個(gè)對(duì)輸入-輸出行為進(jìn)行建模的連續(xù)函數(shù)，其被表達(dá)為

(6)

在整個(gè)推導(dǎo)中，等式(4)和等式(5)是描述圖1中的單端網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，它符合文獻(xiàn)[7]中提出的一類廣義憶阻器的定義方程。因此，圖1所示的單端網(wǎng)絡(luò)表示了一個(gè)二階廣義憶阻器，它的憶阻為g(x,V)。

1.2 憶阻有源帶通濾波電路

四階憶阻有源帶通電路具有簡(jiǎn)單的電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它僅僅包含了1個(gè)運(yùn)算放大器、3個(gè)電容、1個(gè)電感和3個(gè)電阻[8-9]。文中通過(guò)用二極管橋憶阻模擬器替換有源帶通濾波電路中的一個(gè)電阻，建立起了四階憶阻有源帶通電路，如圖2所示。電路中的元件數(shù)據(jù)參數(shù)如表1所示。

圖2 四階憶阻有源帶通電路

表1基于憶阻的有源帶通濾波器電路參數(shù)

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值電容C/nF5.3 電阻R,Ri/Ω50電容C1,C2/nF35電容L/mH20 電阻Rf/kΩ1

1.2.1 Multisim電路仿真及建模

利用Multisim對(duì)四階憶阻有源帶通電路進(jìn)行電路仿真。

分別在電容C2及C、C2及C1、C1及C兩端加示波器進(jìn)行模擬仿真，結(jié)果如圖3所示。

圖3 Multisim電路仿真結(jié)果

1.2.2 數(shù)學(xué)建模

此電路中含有4個(gè)線性動(dòng)態(tài)參數(shù)，分別為蔡氏電路中的電容C1的電壓V1、電容C2的電壓V2，以及憶阻二極管橋仿真器中的電容C的電壓VC、電感L的電流iL，通過(guò)應(yīng)用基爾霍夫定律和電路元件的本構(gòu)關(guān)系[10]，可得到相應(yīng)的電路狀態(tài)方程為

(7)

這里的V=V2-V1，且k=Ri/Rf，假設(shè)

(8)

等式(7)狀態(tài)方程能被重新寫為量綱為一的方程

(9)

因此，量綱一方程的元素?cái)?shù)量減少為3個(gè)。

圖2中的電路參數(shù)如表1所示，4個(gè)1N4148二極管參數(shù)為Is=5.84 nA、n=1.94、VT=25 mV、ρ=1/(2nVT)，因此，式(8)中的歸一化參數(shù)可被計(jì)算為

a=6.625×10-4,b=6.020 6×10-6,f=d=0.151 4,k=0.05。

1.2.3 穩(wěn)定性分析

令式(9)的等式左邊為零，可得到唯一平衡點(diǎn)S(0,0,0,0)。

系統(tǒng)(9)在平衡點(diǎn)S附近的雅可比矩陣為

(10)

于是，通過(guò)求解下面的特征方程，可得平衡點(diǎn)S處的特征值

det(Iλ-J)=0

(11)

相應(yīng)的，平衡點(diǎn)S處的特征值可被表達(dá)為

(12)

對(duì)于典型電路參數(shù)，代入a=6.625×10-4和k=0.05，可得

λ1=0λ2=0.05λ3,4=±2.573 9

(13)

這意味著S總是一個(gè)不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

1.2.4 典型混沌吸引子

四階憶阻有源帶通電路的參數(shù)列于表1，采用型號(hào)同樣為1N4148的二極管，設(shè)定狀態(tài)變量的初始值為(10-9,0,0,0)，在3個(gè)不同平面上的典型混沌吸引子的相軌如圖4(a)、(c)所示，時(shí)域波形如圖4(b)、(d)所示。

圖4 MATLAB電路仿真結(jié)果

1.3 動(dòng)力學(xué)行為仿真與分析

1.3.1 隨R變化的動(dòng)力學(xué)行為

將電路參數(shù)R作為分岔參數(shù)。當(dāng)R逐漸從15 Ω變?yōu)?5 Ω時(shí)，節(jié)點(diǎn)電壓V1(t)的分岔圖如圖5所示，R在 [45 Ω,85 Ω]區(qū)間內(nèi)是混沌狀態(tài)；R在[20 Ω, 38 Ω]區(qū)間內(nèi)是周期狀態(tài)；R在[38 Ω, 45 Ω]區(qū)間內(nèi)V1(t)分岔共存。

圖5顯示了具有共存分岔模式的動(dòng)力學(xué)行為，其中紅色的軌跡從V1(0)=-1 nV、V2(0)=0 V、V3(0)=0 V、V4(0)=0 V開(kāi)始，藍(lán)色軌跡對(duì)應(yīng)于V1(0)=1 nV、V2(0)=0 V、V3(0)=0 V、V4(0)=0 V。值得注意的是，要很好地揭示動(dòng)力學(xué)，無(wú)論最初的狀態(tài)是什么，都需要微小的干擾。

對(duì)于不同的R值，系統(tǒng)(9)于V2(t)-V1(t)平面上的數(shù)值模擬相軌如圖6所示，圖中紅色與藍(lán)色的初始狀態(tài)和圖5所示的相同。這些結(jié)果僅僅模擬了系統(tǒng)(9)中的周期、混沌、周期加倍分岔和共存分岔模式的動(dòng)力學(xué)行為。需要注意的是，圖6(e)中的混沌吸引子是螺旋結(jié)構(gòu)。

圖5 變量V1(t)隨R變化的分岔圖

圖6 在V2(t)-V1(t)平面上的不同R值下的數(shù)值仿真相軌圖

1.3.2 隨L變化的動(dòng)力學(xué)行為

將電路參數(shù)L作為分岔參數(shù)。當(dāng)L逐漸從0 mH變?yōu)?0 mH時(shí)，節(jié)點(diǎn)電壓V1(t)的分岔圖如圖14所示，L在[3 mH，24 mH]區(qū)間是混沌狀態(tài)，在[34 mH，40 mH]區(qū)間是周期狀態(tài)，在[24 mH，34 mH]區(qū)間V1(t)分岔共存。

圖7同樣顯示了具有共存分岔模式的動(dòng)力學(xué)行為，初始也同樣為紅色的軌跡從V1(0)=-1 nV、V2(0)=0 V、V3(0)=0 V、V4(0)=0 V開(kāi)始，藍(lán)色的軌跡對(duì)應(yīng)于V1(0)=1 nV、V2(0)=0 V、V3(0)=0 V、V4(0)=0 V。

同樣，紅色與藍(lán)色初始狀態(tài)與圖7一樣的系統(tǒng)(9)于V2(t)-V1(t)平面上的數(shù)值模擬相軌圖如圖8所示。這些結(jié)果也僅模擬了系統(tǒng)(9)中的周期、混沌、周期加倍分岔和共存分岔模式的動(dòng)力學(xué)行為。

圖7 變量V1(t)隨L變化的分岔圖

圖8 在V2(t)-V1(t)平面上的不同L值下的數(shù)值仿真相軌圖

2 總結(jié)

基于第1節(jié)提出的有源帶通濾波器蔡氏電路，將其中一個(gè)電阻替換為憶阻器，搭建二極管橋憶阻模擬器的電路模型，并對(duì)其進(jìn)行了電路狀態(tài)的數(shù)學(xué)建模。通過(guò)仿真分析穩(wěn)定性，展示了電路中的典型混沌吸引子。此外，將R和L作為分岔參數(shù)對(duì)某個(gè)特定平面上的混沌吸引子、共存吸引子、周期吸引子等進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析與仿真。