劉 洋 ,井元偉 ,劉曉平 ,李小華

(1.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧沈陽 110819;2.湖首大學(xué)工程學(xué)院,安大略桑德貝P7B 5E1;3.遼寧科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,遼寧鞍山114051)

1 引言

針對(duì)某一系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí),首要考慮的便是如何讓其穩(wěn)定地運(yùn)行,換句話說,系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一切期望性能之基礎(chǔ).從20世紀(jì)中期至今,控制理論得到了空前的發(fā)展,涌現(xiàn)出大量可靠、優(yōu)秀的控制方法,包括PID控制、極點(diǎn)配置、狀態(tài)反饋、觀測(cè)器、最優(yōu)控制、模糊控制以及自適應(yīng)控制等.這些方法均從不同的角度完善了控制理論,并解決了一些工程應(yīng)用問題.然而,大部分已有設(shè)計(jì)方法,如PID控制和基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的方法卻只能得到漸近穩(wěn)定的結(jié)果,即只有當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)才能收斂到平衡點(diǎn).但是,在諸多實(shí)際應(yīng)用中,人們希望控制目標(biāo)可盡快實(shí)現(xiàn)[1-2].比如當(dāng)緊急情況發(fā)生時(shí),汽車能夠盡快停下來,從而降低人員傷亡;戰(zhàn)爭(zhēng)期間,若干個(gè)飛行器的編隊(duì)作戰(zhàn)或協(xié)同攔截,以便更快更精準(zhǔn)地消滅敵機(jī);在追擊問題中,期望設(shè)計(jì)的導(dǎo)彈可以盡快跟蹤并擊中目標(biāo);亦或在實(shí)際生產(chǎn)過程中,商家希望在最短的時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)出更多的商品等等.而此時(shí)漸近穩(wěn)定的結(jié)果無法滿足人們的要求.于是,有限時(shí)間控制應(yīng)運(yùn)而生.

有限時(shí)間穩(wěn)定性定義的雛形可回溯至1963年[2].但是,該技術(shù)的蓬勃發(fā)展是在20世紀(jì)90年代,主要源于有限時(shí)間李雅普諾夫理論[3]和齊次系統(tǒng)理論[4]的產(chǎn)生和完善.從那時(shí)起至今,非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制的研究已吸引了大批學(xué)者,并獲得了豐碩的成果.因此,基于前輩們的優(yōu)秀工作,本文將致力于盡可能詳盡地總結(jié)和闡述非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制的發(fā)展情況.在給出具體非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制方法研究概述前,先將該領(lǐng)域涉及的一些定義和判據(jù)作簡(jiǎn)要的介紹.

符號(hào)說明:Ri代表i維歐式空間;如果A為一向量或矩陣,那么AT為A的轉(zhuǎn)置,‖A‖為A的歐式范數(shù);|x|為實(shí)數(shù)x的絕對(duì)值.

2 非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的定義、判據(jù)及設(shè)定時(shí)間表達(dá)式

為了后續(xù)內(nèi)容敘述的方便,現(xiàn)給出兩個(gè)非線性系統(tǒng)模型,分別為

其中:x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài),f:D→Rn為非線性函數(shù),d為外部擾動(dòng).

2.1 非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的定義

定義1[3-5]針對(duì)非線性系統(tǒng)(1),如果存在一個(gè)函數(shù)Tx(x0):?/{0}→(0,∞),使得對(duì)于任意的t∈[0,Tx(x0)],滿足如下兩個(gè)條件:

1)當(dāng)t→Tx(x0)時(shí),=0;

2)當(dāng)t>Tx(x0)時(shí),有x(t,x0)≡0.那么系統(tǒng)(1)是局部有限時(shí)間穩(wěn)定的.若?=D=Rn,則系統(tǒng)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定的.

定義2[6-7]考慮非線性系統(tǒng)(2),如果存在ε>0和0

其中x(t0)=x0,那么,系統(tǒng)(2)是局部實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的.若D=Rn,則系統(tǒng)為全局實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的.

注1按照定義2的敘述,漸近穩(wěn)定控制器,如u=?kx亦可得實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的結(jié)果.但這樣不僅無法顯示帶有冪指數(shù)參數(shù)的有限時(shí)間控制的優(yōu)勢(shì),而且也會(huì)阻礙有限時(shí)間控制的進(jìn)一步發(fā)展.為了區(qū)分有限時(shí)間有界(帶冪指數(shù)的,如u=?)和漸近有界(如u=?kx)的不同,文獻(xiàn)[8]給出了如下新的定義.

定義3[8]對(duì)于非線性系統(tǒng)(2),如果存在函數(shù)T(x0):?/{0}→(0,∞),f:D→Rn和一個(gè)正數(shù)△,使得,當(dāng)t ≥T(x0)時(shí),‖x‖<△,且系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,即滿足定義1,那么,系統(tǒng)(2)稱為局部有限時(shí)間收斂穩(wěn)定.若?=D=Rn,則該系統(tǒng)為全局有限時(shí)間收斂穩(wěn)定.

2.2 非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的判據(jù)

在上一小節(jié)中,已經(jīng)給出了幾個(gè)主要的非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的定義.本小節(jié)將總結(jié)非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定或有限時(shí)間有界的判定方法.

引理1[3]考慮非線性系統(tǒng)(1),若存在一個(gè)C1函數(shù)V(x)>0,滿足

其中:c>0,0<α<1,則系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

為了使系統(tǒng)狀態(tài)收斂更快,給出如下引理:

引理2[9]對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)(1),若存在一個(gè)C1函數(shù)V(x)>0,使得

其中:c>0,b>0,0<α<1,則系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

不同于引理1和2,文獻(xiàn)[10]給出一種較兩者更快的充分條件,即引理3.

引理3[10]針對(duì)系統(tǒng)(1),若存在一個(gè)C1函數(shù)V(x)>0,使得

其中:c>0,b>0,0<α1<1,α2≥1,則系統(tǒng)是快速有限時(shí)間穩(wěn)定的.

注2根據(jù)已有文獻(xiàn)結(jié)果可知,采用引理2使系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定所需時(shí)間要比引理1更短.具體的證明過程可以參見文獻(xiàn)[11]的注2.1.同時(shí),在文獻(xiàn)[10]中也說明了引理2是引理3的一種特例,因?yàn)楫?dāng)α2=1 時(shí),引理3就等價(jià)于引理2.而且,引理3可以使?fàn)顟B(tài)收斂的更快.

引理4[12]針對(duì)系統(tǒng)(1),如果存在正定且連續(xù)的函數(shù)V(x),使得

其中:c>0,b>0,0<α<1,則系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

注3引理4只能夠說明在集合Φ內(nèi),系統(tǒng)的狀態(tài)才能在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn),且Φ=因此,所得結(jié)果是局部的.在該引理的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]給出了一個(gè)保守性更小的定理,即如下的擴(kuò)展局部有限時(shí)間穩(wěn)定.

引理5[8]針對(duì)系統(tǒng)(1),如果存在正定且連續(xù)的函數(shù)V(x),使得

其中:c>0,βi>0,0

引理6[7]針對(duì)系統(tǒng)(1),如果存在正定且連續(xù)的函數(shù)V(x),使得

其中:c>0,?>0,0<α<1,則系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的.

引理7[13]針對(duì)系統(tǒng)(1),如果存在正定且連續(xù)的函數(shù)V(x),使得

其中:c>0,b>0,?>0,0<α<1,則系統(tǒng)是快速實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的.

2.3 設(shè)定時(shí)間表達(dá)式

本小節(jié)的工作是給出各類設(shè)定時(shí)間的顯式表達(dá),見表1-2.

表1 有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件及設(shè)定時(shí)間Table 1 Sufficient condition of finite-time stability and its settling time

表2 實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件及設(shè)定時(shí)間Table 2 Sufficient condition of practical finite-time stability and its settling time

表1-2中:T3i的表達(dá)式見注4,而Tj1(j=1,2,4,5,6,7)分別為

注4這里將給出表1中設(shè)定時(shí)間T3i的形式.當(dāng)i=1且α2>1時(shí),有

當(dāng)i=2且α2=1時(shí),有T32=T21.

注5表1和表2中的參數(shù)選擇可參見第2.2節(jié).兩個(gè)表中已經(jīng)給出了有限時(shí)間控制中常用的設(shè)定時(shí)間的形式.但是,仍有兩種比較重要的形式?jīng)]有提及.一種叫做固定時(shí)間控制,其收斂時(shí)間表達(dá)式可見第3.4.1節(jié);另一種稱為預(yù)設(shè)有限時(shí)間控制[14-16],其設(shè)定時(shí)間可以任意設(shè)置,不僅與初始條件無關(guān),而且與設(shè)計(jì)參數(shù)也無關(guān).

3 非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制的研究概述

本節(jié)根據(jù)控制信號(hào)的連續(xù)性,將非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制方法分為如下幾類:連續(xù)有限時(shí)間控制、不連續(xù)有限時(shí)間控制、光滑有限時(shí)間控制和其他經(jīng)典有限時(shí)間控制方法,并逐一進(jìn)行概述.

3.1 控制信號(hào)連續(xù)的有限時(shí)間研究概述

利用增加冪次積分技術(shù)和齊次系統(tǒng)理論得到的有限時(shí)間控制器是連續(xù)的,關(guān)于它們的研究進(jìn)展將通過下面兩小節(jié)來具體敘述.

3.1.1 基于增加冪次積分的有限時(shí)間研究概述

增加冪次積分(adding a power integrator,AAPI)是連續(xù)非光滑控制中一種十分有效的方法,由于其具有較好的抗擾性且可實(shí)現(xiàn)全局收斂,一直受到大量學(xué)者的關(guān)注.Lin等人在文獻(xiàn)[17-19]中多次利用該技術(shù),并得到了若干漸近穩(wěn)定的結(jié)果.直到2005年,文獻(xiàn)[20]第一次利用增加冪次積分AAPI技術(shù),解決了n維非線性系統(tǒng)全局有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題.因?yàn)樵摷夹g(shù)中既不存在基于齊次系統(tǒng)理論的局限性(這里主要指無法處理擾動(dòng)系統(tǒng)且不能給出收斂時(shí)間表達(dá)式),又可以避免終端滑模方法的奇異和抖震問題,同時(shí)可以顯式地給出收斂時(shí)間的上界.因此,基于AAPI的有限時(shí)間控制方法,一經(jīng)提出便引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.目前,針對(duì)各類非線性系統(tǒng),已存在了大量的結(jié)果.

與文獻(xiàn)[20]不同,文獻(xiàn)[21]首次針對(duì)上三角非線性系統(tǒng),采用top-down和bottom-up技術(shù)[22],解決了全局有限時(shí)間控制問題.到目前為止,可能由于處理上三角系統(tǒng)較為困難,導(dǎo)致此類系統(tǒng)的有限時(shí)間控制結(jié)果并不是很多[23-24].在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[25]和文獻(xiàn)[10,26-31]研究了一類更一般的非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題,這類系統(tǒng)被稱為p--規(guī)范型系統(tǒng),可表示成

在實(shí)際應(yīng)用中,存在這樣一類情況,即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向是未知的,也可以稱為控制增益/方向未知,比如吸氣式高超聲速飛行器的姿態(tài)控制[36]、船舶的航向控制[37]或者多智能體的編隊(duì)[38]等,這給系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來了巨大的困難.在文獻(xiàn)[39]中,Nussbaum提出了一種利用其名字命名的函數(shù),即Nussbaum增益函數(shù),解決了此問題.隨后,涌現(xiàn)出大量關(guān)于未知控制方向的結(jié)果[40-42],但結(jié)論均為漸近有界的.文獻(xiàn)[43]首次考慮了此類系統(tǒng)的全局有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題,設(shè)計(jì)了一個(gè)基于Lyapunov函數(shù)的邏輯切換規(guī)則,從而克服了未知增益帶來的設(shè)計(jì)困難,并使系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間收斂到零.

近年來,學(xué)者們提出了一些新的有限時(shí)間控制結(jié)果.在文獻(xiàn)[44]中,作者設(shè)計(jì)了一個(gè)新的有限時(shí)間控制器,系統(tǒng)的狀態(tài)不僅是有限時(shí)間穩(wěn)定的,而且可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)c的值,來獲得期望的收斂速率和收斂時(shí)間.文獻(xiàn)[45]給出了一種新的有限時(shí)間觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法.除此之外,采用增加冪次積分技術(shù),諸多非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題得到了解決,如隨機(jī)非線性系 統(tǒng)[46-47]、純反饋非線性系統(tǒng)[48-49]、非完整系統(tǒng)[50-51]、非線性切換系統(tǒng)[52-53]以及非線性互聯(lián)大系統(tǒng)[54]等.由于有限時(shí)間具有較強(qiáng)的抗擾性、較快的收斂速度以及較高的控制精度,所以在實(shí)際系統(tǒng)中同樣存在大量的應(yīng)用,如飛行器的姿態(tài)同步[55-56]、氣味源定位[57]、四軸飛行器的空中懸?？刂芠58]、四輪汽車控制[59]、汽車機(jī)器人[60]以及電車爆胎控制[61]等.

以上提及的研究大都是假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可測(cè)的,但工程實(shí)踐中往往系統(tǒng)的部分狀態(tài)或全部狀態(tài)不可測(cè).這時(shí)上述設(shè)計(jì)方法將不可利用,需借助動(dòng)態(tài)輸出反饋控制來完成相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[62-63]分別考慮了一個(gè)二階系統(tǒng)和一類連續(xù)但非光滑的非線性系統(tǒng)全局有限時(shí)間輸出反饋控制,這也是較早的研究結(jié)果.文獻(xiàn)[12]針對(duì)一類非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一個(gè)高增益觀測(cè)器,并提出了一個(gè)局部有限時(shí)間穩(wěn)定的引理.文獻(xiàn)[64]針對(duì)一類主從混沌系統(tǒng),給出了全局有限時(shí)間同步的控制方法.在每一個(gè)智能體的速度均不可測(cè)的情況下,文獻(xiàn)[65]運(yùn)用動(dòng)態(tài)輸出反饋方法,解決了多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間編隊(duì)問題.針對(duì)高階前饋系統(tǒng),作者憑借增加冪次積分和齊次占優(yōu)方法,探究了其有限時(shí)間輸出反饋鎮(zhèn)定問題[66].當(dāng)然,除了上述給出的增加冪次積分輸出反饋的成果外,仍有大量的結(jié)果是關(guān)于非線性系統(tǒng)有限時(shí)間觀測(cè)器的設(shè)計(jì).盡管有一些結(jié)果是運(yùn)用增加冪次積分的方法,但是觀測(cè)器卻為齊次觀測(cè)器,亦或是終端滑模觀測(cè)器.為了使本文的敘述更加清晰,這部分結(jié)果將會(huì)在后文的第3.1.2節(jié)和第3.2節(jié)中進(jìn)行詳細(xì)地闡述.

3.1.2 基于齊次系統(tǒng)理論的有限時(shí)間研究概述

相較于增加冪次積分方法而言,利用齊次理論實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制的過程更簡(jiǎn)便,所得控制器的形式也更簡(jiǎn)單.文獻(xiàn)[4]最早給出了齊次有限時(shí)間穩(wěn)定的結(jié)論,這里簡(jiǎn)述為,齊次系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的并且具有負(fù)齊次度.該理論的提出為齊次有限時(shí)間控制的研究奠定了基礎(chǔ).然而,該技術(shù)卻對(duì)非齊次系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)無能為力.因此,文獻(xiàn)[67-68]提出了一個(gè)新的定理,即若一個(gè)非齊次系統(tǒng)可以被分解成一個(gè)齊次系統(tǒng)和一個(gè)非齊次項(xiàng),并且非齊次系統(tǒng)、齊次系統(tǒng)及非齊次項(xiàng)分別滿足漸近穩(wěn)定、有限時(shí)間穩(wěn)定和特定約束,則該非齊次系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.這一結(jié)論被文獻(xiàn)[8]稱為擴(kuò)展齊次定理.但是,上述的兩個(gè)重要結(jié)論無法顯式地給出收斂時(shí)間上界的表達(dá)式.于是,經(jīng)過該研究領(lǐng)域?qū)W者的努力,文獻(xiàn)[69-70]揭示了基于李雅普諾夫理論與齊次系統(tǒng)理論的有限時(shí)間控制間的聯(lián)系,可概括成,若齊次系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,則≥?cV(μ+υ)μ,其中:V 是一個(gè)C1李氏函數(shù),μ是函數(shù)V 的齊次度,υ 是系統(tǒng)的齊次度,c>0是一個(gè)常數(shù),這樣便可計(jì)算出收斂時(shí)間的上界.該定理通常被稱為齊次反推定理[8].后續(xù)的研究工作幾乎均是依賴上述3個(gè)重要定理.在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[71]研究了齊次切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性.根據(jù)文獻(xiàn)[69-70]的設(shè)計(jì)思想,文獻(xiàn)[72]考慮了一類齊次隨機(jī)非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問題.在無向拓?fù)涞那闆r下,文獻(xiàn)[73]利用齊次有限時(shí)間控制方法,為多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)分布式跟蹤協(xié)議,以確保所有智能體可在有限時(shí)間被同時(shí)鎮(zhèn)定.

另外,在許多實(shí)際系統(tǒng)中,該方法也得到了一定的應(yīng)用.針對(duì)一個(gè)具有二自由度的機(jī)械手臂系統(tǒng),文獻(xiàn)[74]提出了比例-微分加(proportion differential+,PD+)的全局有限時(shí)間跟蹤控制方法.在文獻(xiàn)[74]的基礎(chǔ)上,作者考慮了機(jī)械臂系統(tǒng)執(zhí)行器受限的情況,進(jìn)一步給出了齊次飽和控制器的設(shè)計(jì)方案[75].再進(jìn)一步,文獻(xiàn)[76]致力于研究多機(jī)械臂的協(xié)同控制,通過齊次理論,使得全部機(jī)械臂在有限時(shí)間收斂到目標(biāo)位置.在小行星中心極坐標(biāo)系下,文獻(xiàn)[77-78]研究了探測(cè)器軟著陸的齊次有限時(shí)間控制問題.文獻(xiàn)[79]則探究了直流-直流變頻器系統(tǒng)的有限時(shí)間自適應(yīng)穩(wěn)壓控制.齊次有限時(shí)間穩(wěn)定成立的前提,是存在一個(gè)精確描述的系統(tǒng)模型,否則無法計(jì)算系統(tǒng)的齊次度,這使得該方法具有一定的局限性.文獻(xiàn)[80]雖然考慮了系統(tǒng)的外界擾動(dòng)和參數(shù)不確定性,但是需要假設(shè)其隨著系統(tǒng)的收斂最終衰減到零,這對(duì)擾動(dòng)和不確定的限制較大.

同樣地,上述結(jié)果只考慮了狀態(tài)反饋的情況.接下來,本文將分析利用齊次理論設(shè)計(jì)有限時(shí)間輸出反饋控制器的結(jié)果.文獻(xiàn)[67]針對(duì)雙積分器系統(tǒng),首次提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的齊次觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法.通過與前文介紹的擴(kuò)展齊次定理相結(jié)合,其應(yīng)用范圍變得更加廣泛[81-83].其中,沈艷軍等人提出了一系列相關(guān)結(jié)果[9,12,84-86].文獻(xiàn)[12]第一次根據(jù)齊次反推定理給出了有限時(shí)間觀測(cè)器的設(shè)計(jì)過程,并得出結(jié)論:如果非線性系統(tǒng)滿足一致可觀測(cè)和全局李普希茨條件,那么對(duì)于該系統(tǒng)存在半全局有限時(shí)間觀測(cè)器.此后,通過引入一個(gè)觀測(cè)器增益適應(yīng)律,文獻(xiàn)[9,84]提出了一個(gè)全局的有限時(shí)間觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[85]進(jìn)一步將單輸出的結(jié)果[9,12,84]擴(kuò)展到了多輸出的情況.而文獻(xiàn)[86]則提出了一個(gè)新的增益適應(yīng)律.此外,文獻(xiàn)[87]考慮了一類時(shí)變非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題.根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知,齊次觀測(cè)器和齊次反推觀測(cè)器盡管形式大致一樣,但對(duì)于非線性項(xiàng)的處理,后者具有較小的保守性,具體分析可見文獻(xiàn)[8].基于齊次理論的輸出反饋技術(shù)也在很多實(shí)際模型中得到了應(yīng)用,如飛行器姿態(tài)協(xié)同設(shè)計(jì)[88]、感應(yīng)電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制[89]、無摩擦的機(jī)械系統(tǒng)控制[90]等.

3.2 控制信號(hào)不連續(xù)的有限時(shí)間研究概述

目前,應(yīng)用最為廣泛的一種控制信號(hào)不連續(xù)的有限時(shí)間控制方法為終端滑?？刂?terminal sliding mode control,TSMC)技術(shù).因此,本小節(jié)將對(duì)其研究狀況展開論述.在介紹TSMC方法之前,不得不提及滑?？刂?sliding mode control,SMC),這是一種十分有效的非線性系統(tǒng)控制策略.設(shè)計(jì)過程主要分成兩個(gè)部分[91],第1部分為滑模面設(shè)計(jì),第2部分則為控制律設(shè)計(jì).然而,利用傳統(tǒng)的線性滑模面,系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速率最快為指數(shù)形式,無法實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂.于是,文獻(xiàn)[92-93]率先提出了TSMC方法.但是,早期的TSMC研究[92-95]主要存在兩個(gè)缺陷:一是當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí),TSMC反而比SMC收斂更慢;二是存在奇異問題,即會(huì)產(chǎn)生無界的控制輸入.為了解決這兩個(gè)問題,文獻(xiàn)[96]結(jié)合TSMC的優(yōu)勢(shì)和傳統(tǒng)線性滑模面的設(shè)計(jì)想法,提出了快速TSMC 技術(shù)(fast-TSMC,FTSMC),以此來解決第一個(gè)問題.文獻(xiàn)[97]則提出了非奇異終端滑?？刂?nonsingular-TSMC,NTSMC)來解決第2個(gè)問題.由于文獻(xiàn)[93,96-97]均屬于不連續(xù)控制,易造成系統(tǒng)的抖震,這是實(shí)際中不期望發(fā)生的.為了減少或消除抖動(dòng),方法1是利用邊界層(boundary layer,BL)方法來替換符號(hào)函數(shù)或正弦函數(shù),但根據(jù)文獻(xiàn)[98-99]可知,BL技術(shù)易產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)誤差且有限時(shí)間穩(wěn)定性將缺失;方法2是在研究機(jī)械臂軌跡跟蹤時(shí),提出了一種連續(xù)的TSMC 設(shè)計(jì)方案[100];方法3則采用高階滑模技術(shù)[101-103].

近幾年,終端滑?？刂埔灿辛艘恍┬碌倪M(jìn)展.針對(duì)具有時(shí)變不確定的二階非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[104]結(jié)合全局滑動(dòng)面(global sliding surface,GSS),給出了一個(gè)新的FTSMC方法.文獻(xiàn)[105]研究了一類非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間輸出反饋控制器設(shè)計(jì)問題.同時(shí)考慮NTSMC和固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器兩種技術(shù),文獻(xiàn)[106]提出了一個(gè)適合二階不確定系統(tǒng)的復(fù)合魯棒控制方法.文獻(xiàn)[107]討論了非線性非仿射系統(tǒng)的非奇異快速終端滑?？刂?NFTSMC)問題,運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開,將非仿射結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為仿射形式,這簡(jiǎn)化了后續(xù)控制器和擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)過程.文獻(xiàn)[108]以一個(gè)新的視角設(shè)計(jì)了NTSM控制器,使得系統(tǒng)的狀態(tài)是全局固定時(shí)間穩(wěn)定的.在文獻(xiàn)[109]中,作者給出了一個(gè)更靈活的自適應(yīng)全局終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)方法,設(shè)計(jì)的兩個(gè)自適應(yīng)律分別用來估計(jì)不確定項(xiàng)和擾動(dòng)的上界.針對(duì)離散系統(tǒng),綜合Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階定義和TSMC方法,文獻(xiàn)[110]設(shè)計(jì)了一個(gè)高跟蹤精度的分?jǐn)?shù)階終端滑?？刂破?文獻(xiàn)[111]指出,在缺乏狀態(tài)信息時(shí),同時(shí)使用積分鏈微分器和微分進(jìn)化優(yōu)化算法,可以取消參數(shù)估計(jì)的約束.基于此,該文提出了一種非線性系統(tǒng)的FTSMC方法.此外,許多高階滑模控制器也可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間控制目標(biāo)[112-114].類似地,終端滑?？刂埔脖挥脕斫鉀Q大量的實(shí)際問題,比如六足行走機(jī)器人的姿態(tài)控制[115]、永磁同步電動(dòng)機(jī)速度跟蹤控制[116]、全電剎車系統(tǒng)控制[117]、Van der Pol混沌振蕩器同步控制[118]、機(jī)械系統(tǒng)快速有限時(shí)間控制[119]等.

3.3 控制信號(hào)光滑的有限時(shí)間研究概述

前兩小節(jié)涉及的控制器均為非光滑的.目前,有關(guān)光滑有限時(shí)間控制的結(jié)果卻很少,基本可以歸結(jié)成兩類:一類是通過速度轉(zhuǎn)換,另一類是基于狀態(tài)約束的思想.兩種控制方法的優(yōu)勢(shì)不僅在于實(shí)現(xiàn)了控制器的光滑性,而且系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時(shí)間可以提前設(shè)置,與初始條件和設(shè)計(jì)參數(shù)均無關(guān).此外,與第3.1節(jié)和第3.2節(jié)不同,本節(jié)介紹的有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件將不再依賴“≥?cVα”,“≥?cVα?bV”或“≥?cVα+bV”等充分條件,其中:c>0,b>0 且0<α<1.接下來,將具體給出兩種光滑有限時(shí)間控制方法的研究現(xiàn)狀.

3.3.1 速度轉(zhuǎn)換有限時(shí)間控制

該控制思想是在2016年由重慶大學(xué)宋永端團(tuán)隊(duì)率先提出[14],其基本設(shè)計(jì)思路可概括為:系統(tǒng)變換,即找到一個(gè)在期望時(shí)間可以增長(zhǎng)到無窮大的時(shí)變函數(shù),利用該函數(shù)將所研究系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成一個(gè)新系統(tǒng).若能求證新系統(tǒng)是輸入-狀態(tài)-穩(wěn)定的(input-state-stability,ISS),則可知原系統(tǒng)為有限時(shí)間ISS的.因此,原系統(tǒng)的狀態(tài)可在預(yù)設(shè)時(shí)間收斂到原點(diǎn).這里的轉(zhuǎn)換函數(shù)為

其中:T代表期望的收斂時(shí)間,n和m ≥1分別為系統(tǒng)維數(shù)和一個(gè)常數(shù).

文獻(xiàn)[15,120]將文獻(xiàn)[14]的方法應(yīng)用到了高階多智能體一致性控制研究中.在文獻(xiàn)[121]中,作者詳細(xì)比較了傳統(tǒng)有限時(shí)間控制(帶冪次的反饋)和速度轉(zhuǎn)換有限時(shí)間控制,對(duì)比內(nèi)容主要包括控制結(jié)構(gòu)、收斂時(shí)間、抗擾性等.基于文獻(xiàn)[14]的想法,文獻(xiàn)[122]針對(duì)非完整非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一個(gè)有限時(shí)間輸出反饋控制器.目前,關(guān)于此類方法的研究成果并不是很多,但由于其設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單及上述優(yōu)勢(shì),未來的相關(guān)研究可能會(huì)越來越多.但此類設(shè)計(jì)方法只反映了系統(tǒng)狀態(tài)從初始時(shí)刻到期望時(shí)刻T的動(dòng)態(tài)變化,時(shí)間T之后的運(yùn)動(dòng)情況無法獲知,這僅對(duì)于一部分實(shí)際問題可行,如導(dǎo)彈擊毀目標(biāo)的行為等.

3.3.2 狀態(tài)約束有限時(shí)間控制

文獻(xiàn)[16,123-124]提出了另一類光滑的有限時(shí)間控制方法,其基本思想主要受約束控制方法的啟發(fā).簡(jiǎn)述為,設(shè)計(jì)一個(gè)可在有限時(shí)間到達(dá)預(yù)先設(shè)定的任意小鄰域的時(shí)變函數(shù),結(jié)合一個(gè)單調(diào)遞增且有界的誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)或barrier Lyapunov函數(shù),便可保證系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出或跟蹤誤差在指定時(shí)間收斂到提前設(shè)計(jì)好的區(qū)域內(nèi).文獻(xiàn)[16,123-124]給出了兩個(gè)不同的時(shí)變函數(shù),分別為

其中:ρ0,ρTf,λ和τ是正的設(shè)計(jì)參數(shù);τ=∈(0,1],p和q分別是正奇數(shù)和正偶數(shù);,υTf>0,預(yù)設(shè)的有限時(shí)間是Tf.

與速度轉(zhuǎn)換方法不同的是,基于約束思想的控制策略考慮了整個(gè)時(shí)間軸的系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況.目前,采用此方法完成有限時(shí)間控制的結(jié)果并不多.然而,因其設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn),未來也許會(huì)有更多的成果涌現(xiàn).

3.4 其他經(jīng)典的有限時(shí)間研究概述

除了第3.1～3.3小節(jié)介紹的3類主要有限時(shí)間控制方法外,本小節(jié)將介紹另外兩個(gè)較為經(jīng)典的研究成果,一個(gè)是固定時(shí)間控制,另一個(gè)則是實(shí)際有限時(shí)間控制(亦可稱為有限時(shí)間有界).

3.4.1 固定時(shí)間控制

第3.1節(jié)和第3.2節(jié)中描述的傳統(tǒng)有限時(shí)間控制方法,其設(shè)定時(shí)間函數(shù)受系統(tǒng)初始狀態(tài)影響,從某種程度上說,這阻礙了該方法的實(shí)際應(yīng)用,因?yàn)椴⒉皇敲總€(gè)實(shí)際系統(tǒng)的初始狀態(tài)都可以提前獲悉.幸運(yùn)地是,文獻(xiàn)[125]給出了一種新的設(shè)計(jì)方法,可稱為固定時(shí)間控制,其定義為

定義4[125]系統(tǒng)(1),x(0)=x0,可稱為固定時(shí)間穩(wěn)定的,如果該系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的且設(shè)定時(shí)間函數(shù)T(x0)是有界的,即T(x0)≥Tmax.

由上述定義可知,固定時(shí)間控制的優(yōu)勢(shì)在于設(shè)定時(shí)間上界與初始條件無關(guān),只與設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān).到目前為止,文獻(xiàn)[125-129]分別給出了幾種判據(jù)及相應(yīng)的固定時(shí)間表達(dá)式,可用引理8-11表示.為表述方便,現(xiàn)定義一個(gè)連續(xù)正定且徑向無界的函數(shù)[126]V(x):R?→R+∪0.接下來,引理8-11中的V(x)如上所述,且考慮的非線性系統(tǒng)為(1)所示.

引理8[125]如果存在一個(gè)函數(shù)V(x),使得

其中:α>0,β >0,p>0,q >0,k >0,pk <1,qk>1,那么,系統(tǒng)的原點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的,且設(shè)定時(shí)間可由下式估計(jì),即

引理9[127]如果存在一個(gè)函數(shù)V(x),使得

引理10[128]如果存在一個(gè)函數(shù)V(x),使得

其中:α>0,β >0,q >p>0且p和q均為奇整數(shù),那么,系統(tǒng)的原點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的,且設(shè)定時(shí)間為

引理11[129]如果存在一個(gè)函數(shù)V(x),使得

其中:α>0,β >0,q >p>0,m>n>0且p,q,m和n均為奇整數(shù),那么,系統(tǒng)的原點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的,且設(shè)定時(shí)間為

目前,絕大部分固定時(shí)間控制的結(jié)果均基于上述引理.最近,文獻(xiàn)[130]首次針對(duì)高階系統(tǒng)提出了固定時(shí)間穩(wěn)定的控制方法.此外,許多實(shí)際問題也考慮了運(yùn)用固定時(shí)間控制,如多智能體系統(tǒng)的一致性[128-129]、剛體飛行器姿態(tài)控制[131]、超音速滑翔車容錯(cuò)控制[132]以及高超聲速導(dǎo)彈控制[133].

3.4.2 實(shí)際有限時(shí)間控制

盡管之前的文獻(xiàn)中也有一些有限時(shí)間有界的結(jié)果,但本小節(jié)的實(shí)際有限時(shí)間控制并不是基于上述的增加冪次積分、齊次理論或終端滑模等控制方法實(shí)現(xiàn)的.文獻(xiàn)[6]首次給出了實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的概念和充分條件.隨后,青島大學(xué)陳兵等做出了一系列成果.文獻(xiàn)[7]結(jié)合模糊逼近技術(shù)和自適應(yīng)控制,解決了嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制問題.而且文中給出了一個(gè)引理,利用該引理可以實(shí)現(xiàn)半全局實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的結(jié)果.之后,該方法被進(jìn)一步應(yīng)用到了非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)[134]、非線性純反饋系統(tǒng)[135]、非線性切換系統(tǒng)[136]等.在這些方法中,雖然模糊邏輯系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近虛擬控制律及其各階導(dǎo)數(shù),但前提是這些導(dǎo)數(shù)應(yīng)存在.然而,文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[134-136]的虛擬信號(hào)均為類似于如下形式的函數(shù):

其中:i=1,2,···,n,0.5<γ <1,其他參數(shù)意義見文獻(xiàn)[7].

由γ的取值可以算出0<2γ?1<1,那么,微分αi時(shí)便會(huì)引起奇異問題,這是此類方法存在的一個(gè)問題.為了避免奇異問題的產(chǎn)生,文獻(xiàn)[13]采用指令濾波技術(shù),提出了一個(gè)快速實(shí)際有限時(shí)間控制算法.文獻(xiàn)[137-138]繼續(xù)用該方法分別解決了感應(yīng)電機(jī)和飛行器姿態(tài)的有限時(shí)間控制問題.在全狀態(tài)約束和存在死區(qū)的情況下,文獻(xiàn)[139]研究了參數(shù)嚴(yán)反饋系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)方法.近些年,遼寧工業(yè)大學(xué)佟紹成團(tuán)隊(duì)也做出了一些結(jié)果[140-143].對(duì)于多輸入多輸出隨機(jī)非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[140]提出了一個(gè)新的隨機(jī)有限時(shí)間穩(wěn)定性定理.文獻(xiàn)[141]利用動(dòng)態(tài)面控制處理了backstepping技術(shù)中計(jì)算復(fù)雜性問題,并考慮了多輸入多輸出非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出控制問題.文獻(xiàn)[142]討論了非線性開關(guān)系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[143]則研究了非線性互聯(lián)大系統(tǒng)分散有限時(shí)間濾波器的設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[144]利用積分滑模技術(shù),實(shí)現(xiàn)了航天器姿態(tài)的有限時(shí)間容錯(cuò)控制.

注6齊次有限時(shí)間控制方法需構(gòu)建一個(gè)完全已知的系統(tǒng)模型.即便是可以運(yùn)用齊次擴(kuò)展定理,但需要滿足的條件太嚴(yán)苛.終端滑模有限時(shí)間控制則存在奇異問題和易產(chǎn)生抖震現(xiàn)象.相比之下,由于增加冪次積分有限時(shí)間技術(shù)不會(huì)產(chǎn)生上述問題,許多高階和具有不確定項(xiàng)的系統(tǒng),通常采用該技術(shù).然而,增加冪次積分的問題在于設(shè)計(jì)過程十分復(fù)雜,需要進(jìn)行大量的不等式縮放,導(dǎo)致控制輸入幅度較大,所以不適合實(shí)際應(yīng)用.因此,需設(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)單的方法,如速度轉(zhuǎn)換和約束類方法.固定時(shí)間雖說和初始狀態(tài)無關(guān),但此處的無關(guān)只是體現(xiàn)在收斂時(shí)間的上界與初始值無關(guān),真實(shí)的收斂時(shí)間仍受初始狀態(tài)的影響且控制增益較大.綜上所述,在未來,控制器光滑的有限時(shí)間控制方法也許會(huì)得到較大的發(fā)展空間,因?yàn)槠渚哂性O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、控制律光滑、收斂時(shí)間可提前設(shè)定且與初始條件和設(shè)計(jì)參數(shù)均無關(guān)等優(yōu)點(diǎn).

4 結(jié)論

本文針對(duì)當(dāng)前的熱點(diǎn)問題,即非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制,從研究背景、基本定義、判定方法以及研究現(xiàn)狀等方面,較為系統(tǒng)地介紹了其發(fā)展情況.盡管近些年涌現(xiàn)了大量研究成果,但仍有許多相關(guān)控制問題未能深入研究,主要包括以下幾方面:

1)基于觀測(cè)器的非線性系統(tǒng)預(yù)設(shè)有限時(shí)間控制問題.

利用文中所提的性能函數(shù)或改進(jìn)BLF函數(shù),研究有限時(shí)間輸出反饋控制問題.因?yàn)樵S多情況下,系統(tǒng)狀態(tài)不能完全量測(cè),此時(shí)需要借助全維或者降維觀測(cè)器來解決相應(yīng)的控制問題.因此,設(shè)計(jì)這樣的控制器具有一定的理論和實(shí)際意義.

2)非線性離散系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題.

據(jù)作者所知,目前關(guān)于非線性離散系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題還沒有結(jié)果呈現(xiàn).這里主要是指沒有類似于連續(xù)系統(tǒng)中≥?cVα的充分條件.隨著數(shù)字控制理論的不斷發(fā)展,許多控制問題的實(shí)現(xiàn)可轉(zhuǎn)化成離散時(shí)間控制問題.因此,這方面的研究十分重要.

3)非線性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題.

擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng),簡(jiǎn)言之,在互聯(lián)大系統(tǒng)中逐漸增加新的子系統(tǒng)后構(gòu)造成的新的大系統(tǒng).它可以用來模擬很多生物界和工業(yè)界的情形,比如電力系統(tǒng)擴(kuò)容問題或者人體植入新的器官等.但是,目前關(guān)于此類系統(tǒng)的控制多集中在線性系統(tǒng)中,非線性的結(jié)果很少.因此,有必要在該領(lǐng)域做更進(jìn)一步的探索.

4)非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制方法的實(shí)際應(yīng)用.

大家知道,很多時(shí)候理論和工程實(shí)際是相互矛盾的,在理論上得出的完美結(jié)果,對(duì)于工程實(shí)際幾乎沒什么用,這是理論聯(lián)系實(shí)際當(dāng)中一直亟需解決的問題.在未來,如何利用有限時(shí)間控制方法來解決實(shí)際生產(chǎn)中的問題,有待于下一步的考察和研究.

除上述內(nèi)容外,有一開放問題值得探究,如下:

5)探究收斂更快的有限時(shí)間控制方法.

i)文獻(xiàn)[3,10-11]分別給出了3個(gè)不同的有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件(見引理1-3),現(xiàn)簡(jiǎn)寫為

其中:c>0,b>0,0<α1<1,α2≥1.

受上述文獻(xiàn)啟發(fā),如果設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)V(x),使其滿足

其中:m>0,α2=1且α3>1,那么是否可得到較文獻(xiàn)[3,10-11]更快的收斂時(shí)間?

ii)速度轉(zhuǎn)換和狀態(tài)約束兩種有限時(shí)間控制技術(shù)可以使得收斂時(shí)間設(shè)計(jì)較為靈活,但速度轉(zhuǎn)換只能實(shí)現(xiàn)[0,T]時(shí)間段的狀態(tài)控制,狀態(tài)約束只能得到有限時(shí)間有界的結(jié)果.因此,是否可以尋求一種新的控制方法,其可在整個(gè)時(shí)間軸內(nèi),使得閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)且設(shè)定時(shí)間亦與初始條件和設(shè)計(jì)參數(shù)均無關(guān)?

6)此外,仍有一些問題有待解決,例如:如何找到更簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法? 時(shí)滯/隨機(jī)系統(tǒng)有限時(shí)間方面結(jié)果很少,主要在于李亞普諾夫函數(shù)的構(gòu)造,這亦是未來需探究的方向.