徐 航 ,張依戀 ,朱 瑾 ,范勤勤

(1.上海海事大學(xué)航運技術(shù)與控制工程交通行業(yè)重點實驗室,上海 201306;2.上海海事大學(xué)物流研究中心,上海 201306)

1 引言

自動導(dǎo)引車(automatic guided vehicle,AGV),在智能交通系統(tǒng)的發(fā)展下,已經(jīng)成為一個吸引眾多學(xué)者關(guān)注的對象.對AGV跟蹤控制的研究使AGV能夠在不同條件下安全地進(jìn)行操縱,是實現(xiàn)AGV智能化和實用化的一個重要部分[1-9].而如何根據(jù)當(dāng)前車輛動態(tài)信息和車輛前方道路情況來設(shè)計轉(zhuǎn)向和速度控制法則,是解決路徑跟蹤控制問題的關(guān)鍵[10-11].實現(xiàn)AGV安全穩(wěn)定的路徑跟蹤控制具有十分重要的意義,因此,學(xué)者對AGV的路徑跟蹤控制展開了深入研究.

文獻(xiàn)[12]考慮了機(jī)器人動力學(xué)模型參數(shù)的不確定性,同時,為了克服速度和力矩的跳變,加入了神經(jīng)動力學(xué)模型對控制器進(jìn)行優(yōu)化,提出了一種自適應(yīng)和神經(jīng)動力學(xué)相結(jié)合的輪式移動機(jī)器人路徑跟蹤控制方法.文獻(xiàn)[13]針對Mecanum輪全方位移動AGV的路徑跟蹤問題,提出了一種基于位姿狀態(tài)和有限控制步數(shù)的路徑跟蹤優(yōu)化控制方法,且實驗表明,對于不同速度,該算法均能快速、穩(wěn)定地消除位姿偏差.文獻(xiàn)[14]利用Backstepping控制算法,針對車輛軌跡跟蹤問題設(shè)計了智能小車(intelligent vehicle,IV)空間數(shù)學(xué)模型跟蹤控制器.仿真結(jié)果表明,采用該方法設(shè)計的控制器可以快速跟蹤預(yù)先設(shè)定的軌跡,并且在跟蹤過程中保證了較高的全局穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[15]提出了基于跟蹤誤差模型的無人駕駛車輛預(yù)測控制方法,保證了無人駕駛車輛快速且穩(wěn)定地行駛且實時性達(dá)到給定要求.張經(jīng)天等人[16]提出了一種分段預(yù)測控制模型,將預(yù)測控制器分為3段,之后解析得到最優(yōu)控制變量.文獻(xiàn)[17]對使用二維碼作為定位模塊的視覺自動導(dǎo)引車的軌跡跟蹤問題進(jìn)行研究,并利用一種基于最優(yōu)偏差路徑的模糊比例--積分--微分糾偏算法,該方法既提高了無軌導(dǎo)引AGV的導(dǎo)航精度,也較好地滿足系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性和伺服驅(qū)動能力.以上這些方法均可以有效跟蹤自動導(dǎo)引車的期望路徑,但是都沒有對車輛進(jìn)行區(qū)間控制約束.

而在實際應(yīng)用過程中,忽略道路寬度可能使AGV偏離期望的道路區(qū)間,忽略AGV的尺寸和形狀可能使AGV發(fā)生碰撞.基于此,近年來,學(xué)者們開始對AGV運行過程中的區(qū)間控制約束進(jìn)行研究.文獻(xiàn)[18]提出了區(qū)間路徑跟蹤描述方法,并提出了利用模型預(yù)測控制的水平移動控制方法來討論區(qū)間路徑跟蹤問題,該方法能夠有效地避免在追蹤更復(fù)雜道路時出現(xiàn)碰撞道路邊界的現(xiàn)象.文獻(xiàn)[19]提出了隱式線性模型預(yù)測控制方法來設(shè)計移動水平路徑跟蹤控制器.該控制器采用了不同的采樣時間和預(yù)測范圍,有效地處理了建模誤差,提高了路徑跟蹤精度.但是文獻(xiàn)[18-19]只對前輪轉(zhuǎn)向角進(jìn)行了約束,速度卻是固定的,然而,在實際情況中,AGV的速度往往是可控的.因此,本文在對AGV進(jìn)行區(qū)間軌跡跟蹤控制時,將該方法進(jìn)行改進(jìn),使被控AGV速度可變,且穩(wěn)定在一定的范圍內(nèi).同時,對目標(biāo)函數(shù)也進(jìn)行了一定的改進(jìn),使其能夠快速穩(wěn)定地沿著期望路徑行駛.

本文基于模型預(yù)測方法對AGV區(qū)間軌跡跟蹤問題進(jìn)行了研究,主要工作為:1)在AGV沿著期望速度在可行區(qū)域內(nèi)行駛過程中,結(jié)合實際情況,給AGV的實際行駛速度增加一個可控范圍,將其設(shè)置為控制變量;2)對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了一定的改進(jìn),在AGV行駛過程中,增加了對偏航角的限制,可使AGV更加迅速穩(wěn)定地行駛在可行區(qū)域內(nèi).

2 問題描述

傳統(tǒng)軌跡跟蹤問題都是將AGV看作一個剛性點,不考慮AGV的尺寸和形狀,本文采用文獻(xiàn)[18]提出的區(qū)間路徑跟蹤描述方法對AGV進(jìn)行區(qū)間軌跡跟蹤研究,AGV道路模型如圖1所示.AGV檢測到的可行區(qū)間為f1(x)和f2(x)之間的區(qū)間,所圍可行區(qū)間的中心線即為期望路徑.為了避免碰撞,假設(shè)AGV的寬度為w,簡化車輛行駛道路模型,則AGV 可行區(qū)間將變?yōu)閒3(x)=f1(x)?w/2 和f4(x)=f2(x)+w/2 之間的區(qū)間.假設(shè)f(x)是XOY 橫向位置,ψ是AGV偏航角,s 為AGV 側(cè)滑角,AGV 重心到前端的距離為l1,AGV重心到后端的距離為l2.簡化后的AGV的前端橫向位置為fl(x)=f(x)+l1sin(ψ+s),后端橫向位置為fr(x)=f(x)?l2sin(ψ+s).同時,考慮到大多數(shù)道路為小曲率,因此,偏航角和車輛側(cè)滑角的正弦可以簡化為sin(ψ+s)≈(ψ+s),則AGV的可行區(qū)間為

圖1 車輛道路模型Fig.1 Vehicle road model

3 車輛模型

由于大多數(shù)道路均為小曲率,因此AGV的側(cè)滑角和偏滑角在采樣時間內(nèi)的變化很小[18],故圖2所示的運動學(xué)模型可以被描述為

圖2 運動學(xué)模型Fig.2 Kinematics model

忽略車輛的縱向動力學(xué),車輛的橫向動力學(xué)如圖3所示,軌跡跟蹤控制器的設(shè)計模型為

其中:m為AGV的質(zhì)量;前后輪胎的輪胎力分別為Fyf=Cfαf,Fyr=Crαr,Cf和Cr分別為前后輪胎側(cè)偏剛度;v是AGV的速度;Iz為AGV的慣性矩;前后輪的側(cè)滑角近似為

圖3 運動學(xué)模型Fig.3 Kinematics model

離散化連續(xù)時間模型,得到離散時間模型

注意到文獻(xiàn)[18]中,AGV的速度是給定的,控制變量為δ,而本文考慮到實際情況中AGV運行速度受到外界環(huán)境等因素影響,單一的定值往往不能滿足AGV對外界環(huán)境的適應(yīng),因此,設(shè)定控制變量為[v δ],使得AGV能夠在一定的速度和前輪轉(zhuǎn)向角范圍內(nèi)尋找到最佳速度和最佳前輪轉(zhuǎn)向角,進(jìn)而行駛在可行區(qū)域內(nèi).

4 控制器設(shè)計

應(yīng)用模型預(yù)測控制方法來討論軌跡跟蹤控制器的設(shè)計,控制方案的結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 軌跡跟蹤控制器的設(shè)計Fig.4 Design of the trajectory tracking controller

如果系統(tǒng)的控制時域為Nc,預(yù)測時域為Np,那么,預(yù)測時域內(nèi)的狀態(tài)量和系統(tǒng)輸出量可由下式計算得出:

為了使整個關(guān)系看起來更加清楚明確,將系統(tǒng)未來時刻的輸出以矩陣的形式表達(dá),如下式所示:

由式(7)可知,預(yù)測時域內(nèi)的狀態(tài)量和輸出量都可以通過系統(tǒng)初始狀態(tài)量x(k|k)和控制量U(k)來計算.然而實際上,系統(tǒng)的控制量是未知的,只有設(shè)置合適的優(yōu)化目標(biāo)并對其求解,才能得到控制序列.

考慮到系統(tǒng)對期望路徑的跟隨能力,最小化成本函數(shù)

其中R(k)為期望路徑.

考慮到對控制增量的約束,使控制增量平穩(wěn)變化:

考慮到行駛路線的最短,確保低能耗:

考慮到對偏航角的約束,使其更快更穩(wěn)定地沿著期望路徑行駛:

引入權(quán)重因子,因此,多目標(biāo)函數(shù)如下所示:

其中:Za=diag{Za,1,Za,2,...,Za,Np}>0,Zb,i>0, Zc=diag{Zc,1,Zc,2,...,Zc,Np} > 0, Zd,i> 0.Za,i,Zb,i,Zc,i,Zd,i的選取將根據(jù)實際工程情況進(jìn)行確定.

區(qū)別于文獻(xiàn)[18]中目標(biāo)函數(shù)的選取,本文在目標(biāo)函數(shù)中加入了對偏航角的約束,使得偏航角趨向于0,從而讓AGV能夠最大限度地沿著期望路徑行駛,穩(wěn)定地維持在可行區(qū)域內(nèi).

同時,在實際控制系統(tǒng)里,需要滿足如下約束條件:

控制量約束:

控制增量約束:

輸出約束:

綜上,區(qū)間軌跡控制問題可以轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題中提出的模型控制預(yù)測問題:

通過求解式(16),即可實時得到未來一段時間的控制序列.

5 仿真

本文選擇用MATLAB進(jìn)行仿真實驗,考慮AGV進(jìn)行直線運動以及小曲率正弦曲線運動兩種情況.參考軌跡點數(shù)量N設(shè)定為300,采樣周期Ts為0.05 s,采樣時間T為15 s,y為輸出變量,u=[v δ]為控制變量,=[x y ψ s γ]為狀態(tài)變量,AGV期望速度設(shè)定為1 m/s,速度可控范圍設(shè)定為在期望速度上下0.2 m/s浮動,即[0.8,1.2]m/s,AGV期望前輪轉(zhuǎn)向角設(shè)定為0,前輪轉(zhuǎn)向角可控范圍設(shè)定為在期望前輪轉(zhuǎn)向角上下0.64 rad浮動,即[?0.64,0.64]rad.為了證明方法的可行性,采用了文獻(xiàn)[18]里根據(jù)實際小車紅旗HQ430給出的參數(shù),如表1所示.

表1 控制器和車輛參數(shù)的一部分Table 1 Part of the controller and vehicle parameters

為了驗證本文提出的區(qū)間軌跡跟蹤控制方法的可行性與有效性,采用本文提出的方法以及文獻(xiàn)[18]中提出的方法分別進(jìn)行了MATLAB實驗.考慮AGV做直線運動以及小區(qū)率正弦曲線運動兩種情況,實驗結(jié)果如下:

1)AGV做直線運動.

當(dāng)AGV行駛的期望軌跡設(shè)定為直線時,其仿真結(jié)果如圖5-9所示.

圖5 采用本文提出的方法得到的軌跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.5 Trajectory tracking simulation results obtained by the method proposed in this paper

圖6 采用文獻(xiàn)[18]方法得到的軌跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.6 Trajectory tracking simulation results obtained by the reference [18]

圖7 狀態(tài)變量隨時間變化結(jié)果Fig.7 State variables change over time

圖8 控制變量隨時間變化結(jié)果Fig.8 Control variables change over time

圖9 誤差分析Fig.9 Error analysis

其中,圖5和圖6分別用本文提出的方法以及采用文獻(xiàn)[10]的方法得到的軌跡跟蹤仿真結(jié)果.圖中:點線表示AGV實際行駛軌跡,直線表示AGV期望行駛軌跡,兩條點劃線之間的區(qū)域表示給定的AGV可行區(qū)間范圍.從圖5和圖6中可以看到AGV均穩(wěn)定地行駛在可行區(qū)間內(nèi),且經(jīng)過一段時間后,與期望軌跡基本重合.但同時,通過圖5和圖6,也可以清楚的看到,采用本文提出的方法偏離期望軌跡的幅度較小,也更快更穩(wěn)定地沿著期望軌跡行駛.

圖7表示采用本文提出的方法得到的狀態(tài)變量隨時間變化的結(jié)果,圖7從上到下依次為AGV的橫向位置、縱向位置、偏航角、側(cè)滑角和偏航率隨時間變化的結(jié)果.圖中:直線表示AGV的橫向位置、縱向位置、偏航角、側(cè)滑角和偏航率的期望值,虛線表示實際值.由圖可知,采用本文提出的方法能夠使得AGV實際行駛的橫向位置與AGV期望行駛的橫向位置基本重合,并且,經(jīng)過一段時間后,AGV實際行駛的縱向位置穩(wěn)定在期望軌跡上,AGV的偏航角、側(cè)滑角和偏航率也無限趨近于0.

圖8表示采用本文提出的方法得到的控制變量隨時間變化的結(jié)果,由圖可知,AGV速度經(jīng)過一段時間內(nèi)的變化迅速穩(wěn)定在一個最優(yōu)值,AGV的前輪轉(zhuǎn)向角經(jīng)過一段時間逐漸趨向于0,且AGV的速度和前輪轉(zhuǎn)向角均穩(wěn)定在給定范圍內(nèi).

圖9從上到下依次為采用本文提出的方法得到的AGV實際行駛軌跡與期望軌跡的誤差距離,實際偏航角與期望偏航角之間的誤差角度以及實際側(cè)滑角與期望側(cè)滑角之間的誤差角度.由圖9可以看出,經(jīng)過一段時間后,上述誤差均趨近于0.

2)AGV做小曲率正弦曲線運動.

當(dāng)AGV行駛的期望軌跡設(shè)定為小曲率正弦曲線y=sin(k×T/3)/3 時(k=1,2,···,N),其仿真結(jié)果如圖10-14所示.

圖10 采用本文提出的方法得到的軌跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.10 Trajectory tracking simulation results obtained by the method proposed in this paper

圖11 采用文獻(xiàn)[18]方法得到的軌跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.11 Trajectory tracking simulation results obtained by the reference [18]

圖12 狀態(tài)變量隨時間變化結(jié)果Fig.12 State variables change over time

圖13 控制變量隨時間變化結(jié)果Fig.13 Control variables change over time

圖14 誤差分析Fig.14 Error analysis

其中,圖10和圖11分別為用本文提出的方法以及采用文獻(xiàn)[18]的方法得到的軌跡跟蹤仿真結(jié)果.從圖10和圖11中可以看到AGV均穩(wěn)定地行駛在可行區(qū)間內(nèi).但同時,通過圖10和圖11,也可以清楚的看到,相對于文獻(xiàn)[18]的方法在轉(zhuǎn)彎時可能會無限趨近于可行域邊界,采用本文提出的方法能夠更加平穩(wěn)的行駛在可行區(qū)間內(nèi).

圖12表示采用本文提出的方法得到的狀態(tài)變量隨時間變化的結(jié)果,圖12從上到下依次為AGV的橫向位置、縱向位置、偏航角、側(cè)滑角和偏航率隨時間變化的結(jié)果.由圖可知,AGV實際行駛的橫向位置與AGV期望行駛的橫向位置基本重合,AGV實際行駛的縱向位置穩(wěn)定在AGV的期望區(qū)間范圍內(nèi).并且,由于AGV的期望路徑設(shè)定為小曲率曲線,因此,AGV的偏航角,側(cè)滑角和偏航率也一直在0上下小范圍浮動.

圖13表示采用本文提出的方法得到的控制變量隨時間變化的結(jié)果.由圖可知,AGV速度經(jīng)過一段時間內(nèi)的變化迅速穩(wěn)定在一個最優(yōu)值,AGV的前輪轉(zhuǎn)向角由于期望路徑設(shè)定為小曲率曲線,也一直在0上下小范圍浮動,且AGV的速度和前輪轉(zhuǎn)向角均穩(wěn)定在給定范圍內(nèi).

圖14從上到下依次為采用本文提出的方法得到的AGV實際行駛路徑與期望路徑的誤差距離、實際偏航角與期望偏航角之間的誤差角度以及實際側(cè)滑角與期望側(cè)滑角之間的誤差角度.由圖14可以看出,由于期望路徑設(shè)定為小曲率曲線,上述誤差均一直在0上下小范圍浮動.

通過實驗1)和實驗2)可知,不論期望路徑是直線還是小曲率正弦曲線,采用本文提出的方法,AGV經(jīng)過一段時間后,迅速駛向期望路徑,且始終穩(wěn)定地保持在可行域內(nèi)行駛.且相對于文獻(xiàn)[18],均有一定的優(yōu)化,驗證了該方法的可行性與有效性.

6 總結(jié)

本文針對AGV的跟蹤控制問題,設(shè)計了一種基于模型預(yù)測的AGV區(qū)間軌跡跟蹤控制器,該方案選取了前輪轉(zhuǎn)向角和速度作為控制變量,且對其設(shè)定了一定區(qū)間的可控范圍,又利用了預(yù)測路徑與期望路徑之間的誤差,并加入了對AGV偏航角的約束條件,最后運用模型預(yù)測控制方法通過優(yōu)化得到使性能指標(biāo)最優(yōu)的控制序列,使AGV的軌跡跟蹤快速趨于穩(wěn)定.最后,在MATLAB上仿真驗證了該方法的可行性與有效性.然而,筆者也注意到,在AGV做小曲率運動時,雖能夠穩(wěn)定行駛在可行區(qū)間內(nèi),誤差卻一直存在,因此,在今后的工作中,筆者將重點考慮如何減小AGV做曲線運動時的誤差以及對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化.