李曉光 張 弼趙新剛張道輝

(1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所機(jī)器人學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧沈陽(yáng) 110016;2.中國(guó)科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院,遼寧沈陽(yáng) 110016;3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049;4.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)化工裝備學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110870)

1 引言

形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)是一種溫感的智能材料.當(dāng)作用在SMA上的溫度超過某個(gè)閾值,它具有恢復(fù)初始形狀和尺寸的能力,即形狀記憶效應(yīng).近些年來,SMA作為智能材料引起了人們的極大興趣,廣泛應(yīng)用在醫(yī)療、航空、機(jī)器人、土木工程等領(lǐng)域[1-2].SMA具有功率/重量比高、驅(qū)動(dòng)電路簡(jiǎn)單、驅(qū)動(dòng)電壓低、體積小、質(zhì)量輕、干凈、無噪聲、集驅(qū)動(dòng)-傳動(dòng)-傳感于一身等優(yōu)點(diǎn).然而,SMA驅(qū)動(dòng)器具有非線性、遲滯、時(shí)變等系統(tǒng)特性[3],難以建立精確的數(shù)學(xué)模型,影響了SMA的控制效果.

針對(duì)SMA的控制問題,部分文獻(xiàn)將線性控制方法應(yīng)用到SMA的驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)中,例如PID控制、反饋線性化控制[4].PID方法由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn),被廣泛應(yīng)用在工業(yè)領(lǐng)域.但是,固定增益的PID控制對(duì)于參數(shù)時(shí)變的SMA驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制效果較差.反饋線性化理論是通過變量代換,將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成線性系統(tǒng),其突出優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用線性控制理論方法控制非線性系統(tǒng).但是反饋線性化控制的效果取決于非線性系統(tǒng)模型的精度,而非線性系統(tǒng)的模型通常經(jīng)過簡(jiǎn)化和省略,導(dǎo)致控制效果受到影響.文獻(xiàn)[5-6]通過反饋-前饋控制方法實(shí)現(xiàn)了SMA的位置跟蹤控制.該類方法需要構(gòu)造逆遲滯模型補(bǔ)償遲滯作用,并利用反饋控制實(shí)現(xiàn)較好的位置跟蹤效果.逆遲滯模型通常采用現(xiàn)象模型,例如Preisach,Prandtl-Ishlinskii模型.而該模型并沒有從機(jī)理上描述SMA的動(dòng)態(tài)特性,一旦測(cè)量環(huán)境發(fā)生變化,系統(tǒng)的跟蹤精度和穩(wěn)定性無法保證.

反步(backstepping)控制設(shè)計(jì)方法是處理非線性系統(tǒng)控制的一種有效方法[7-8].它是將系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng),采用虛擬控制量作為子系統(tǒng)的控制量,構(gòu)建子系統(tǒng)Lyapunov函數(shù),一直后退到整個(gè)系統(tǒng),完成控制律的設(shè)計(jì).目前,關(guān)于SMA反步控制的文章較少,文獻(xiàn)[9-10]基于反步控制思想設(shè)計(jì)了控制器,實(shí)現(xiàn)了SMA驅(qū)動(dòng)的機(jī)械臂的控制,但未考慮實(shí)際模型的不確定性,僅對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).反步控制需要建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程,而非線性系統(tǒng)由于模型不確定、擾動(dòng)、參數(shù)攝動(dòng)等不確定因素會(huì)影響系統(tǒng)的控制精度.滑模變結(jié)構(gòu)控制是典型的處理不確定系統(tǒng)的方法,已經(jīng)廣泛應(yīng)用到SMA驅(qū)動(dòng)器的控制[11-12]中.滑?？刂频闹饕枷胧菢?gòu)建系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)滑模面,使系統(tǒng)能夠快速達(dá)到滑模面,對(duì)系統(tǒng)中的外界擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性.

綜上所述,本文結(jié)合了反步控制和滑?？刂频募夹g(shù)特點(diǎn),提出了基于SMA驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)機(jī)理模型的反步控制算法.對(duì)于參數(shù)攝動(dòng)、外界擾動(dòng)等未建模動(dòng)態(tài)采用參數(shù)自適應(yīng)的方法進(jìn)行補(bǔ)償.使得該系統(tǒng)不僅具有全局穩(wěn)定和漸進(jìn)跟蹤能力,同時(shí)還具有較強(qiáng)的魯棒性.該控制算法簡(jiǎn)單可靠,已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中進(jìn)行了方法驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的控制方法是有效的,能夠適應(yīng)模型不確定、負(fù)載變化,并具有較強(qiáng)的抗干擾能力.

2 實(shí)驗(yàn)臺(tái)

如圖1所示為SMA驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖.圖2為實(shí)驗(yàn)裝置.本文的合金絲是由DYNALLOY,Inc公司生產(chǎn)的Flexinol Actuator Wires.本實(shí)驗(yàn)裝置采用的合金絲長(zhǎng)355 mm,直徑0.25 mm.采用電阻加熱方式驅(qū)動(dòng).系統(tǒng)輸入為電壓信號(hào),通過電壓電流轉(zhuǎn)換器(V/I)轉(zhuǎn)換模塊轉(zhuǎn)變?yōu)殡娏餍盘?hào),作用在合金絲兩端.合金絲的一端固定,另外一端通過連接件與鋼絲繩相連.鋼絲繩纏繞過轉(zhuǎn)軸與負(fù)載相連.負(fù)載的作用是使合金絲始終處于張緊狀態(tài).轉(zhuǎn)軸通過聯(lián)軸器與編碼器相連,合金絲的形變由編碼器測(cè)量.通過倍福端子模塊處理輸入輸出信號(hào),并與倍福工控機(jī)進(jìn)行通信.系統(tǒng)采樣頻率設(shè)定為200 Hz.

圖1 SMA驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The experimental platform diagram of the SMA actuator

圖2 SMA驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置Fig.2 The experimental setup of the SMA actuator system

3 數(shù)學(xué)模型

許多學(xué)者開展了SMA的機(jī)理模型的研究,本文在文獻(xiàn)[11,13]的基礎(chǔ)上對(duì)模型做出了進(jìn)一步的修改.SMA驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如圖3所示,由4部分組成,包括熱力學(xué)模型、相變模型、本構(gòu)關(guān)系模型和力學(xué)模型.

圖3 SMA驅(qū)動(dòng)器數(shù)學(xué)模型Fig.3 The mathematical model of the SMA actuator

3.1 熱力學(xué)模型

其中:m 表示合金絲單位長(zhǎng)度質(zhì)量;cp為比熱容;TSMA是SMA絲溫度;R為單位長(zhǎng)度電阻值;h為熱傳導(dǎo)系數(shù);Ac為SMA絲單位長(zhǎng)度散熱面積;Ta為環(huán)境溫度.

3.2 相變模型

合金絲溫度的變化會(huì)引起晶體相變,即:低溫馬氏體和高溫奧氏體之間的轉(zhuǎn)變.SMA的非線性遲滯特性主要表現(xiàn)在相變過程中馬氏體體積分?jǐn)?shù)Rm與溫度TSMA的關(guān)系,可表示如下:

式中:As和Af分別是奧氏體起始和截止溫度;Ms和Mf分別是馬氏體起始和截止溫度;分別是升溫過程馬氏體的最高體積分?jǐn)?shù)和降溫過程馬氏體的初始體積分?jǐn)?shù);分別是補(bǔ)償系數(shù),由相變連續(xù)條件獲得.

由式(2)可得馬氏體體積分?jǐn)?shù)與溫度的微分關(guān)系:

3.3 本構(gòu)關(guān)系模型

本構(gòu)關(guān)系模型描述了SMA的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系.為了簡(jiǎn)化SMA的復(fù)雜特性,微觀結(jié)構(gòu)上認(rèn)為SMA是變子層結(jié)構(gòu),即馬氏體和奧氏體是一層一層分布的,各層之間的力學(xué)特性互不影響[13].當(dāng)SMA處于高溫奧氏體相時(shí),應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下:

式中:σA是奧氏體相應(yīng)力,EA是奧氏體彈性模量,ε是應(yīng)變.

當(dāng)SMA處于低溫馬氏體相時(shí),應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下:

式中:σM是馬氏體相應(yīng)力,EM是馬氏體彈性模量,εmy是馬氏體處于屈服狀態(tài)時(shí)的應(yīng)變.

綜合式(4)和式(5),可得SMA的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

3.3.1 力學(xué)模型

分別取負(fù)載和轉(zhuǎn)軸作為研究對(duì)象.根據(jù)牛頓定律和動(dòng)量矩定理可得

式中:T2為SMA的收縮力;x為合金絲的收縮量;T1為繩的拉伸力;r,c,J,m1,g分別是轉(zhuǎn)軸的半徑、阻尼系數(shù)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、負(fù)載質(zhì)量、重力加速度.

由材料的收縮力與形變的關(guān)系,可得如下表達(dá)式:

式中:ks為SMA剛度,Awire是合金絲橫截面積.則

式中l(wèi)0為SMA處于奧氏體相時(shí)的長(zhǎng)度.

聯(lián)立式(7)和式(8),可得

其中:I=J/r2+ml,?為合金絲的最大收縮長(zhǎng)度,近似為馬氏體相合金絲長(zhǎng)度的4%.

為了建立系統(tǒng)的輸入電流與輸出位移之間的關(guān)系,將方程(11)微分,可得如下力學(xué)模型:

綜上,由方程(12)可得SMA驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)的狀態(tài)方程

其中:x=[x1x2x3]T∈R3為系統(tǒng)狀態(tài)向量;x1,x2,x3分別為系統(tǒng)的位移、速度、加速度;

4 自適應(yīng)滑模反步控制器設(shè)計(jì)

精確的建模是實(shí)現(xiàn)良好控制的基礎(chǔ).然而,對(duì)于非線性、遲滯系統(tǒng)的精確建模幾乎是不可能的.在方程(14)的基礎(chǔ)上補(bǔ)償系統(tǒng)模型的不確定項(xiàng).因此,SMA驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下:

式中:y∈R1為系統(tǒng)的輸出;C=[1 0 0];d表示系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài)、參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)的總和,且|d|<δ,δ >0.

注1本文模型較參考文獻(xiàn)[3]更具一般性.在現(xiàn)實(shí)中,當(dāng)外界環(huán)境、負(fù)載發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)模型參數(shù)發(fā)生變化. d的引入對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行了補(bǔ)償,模型更貼近實(shí)際.

假設(shè)1設(shè)期望軌跡yd及其3階導(dǎo)數(shù)存在且有界.

假設(shè)2未知不確定項(xiàng)d是有界的,且上界δ是未知的.

注2本文中不確定項(xiàng)d較參考文獻(xiàn)[14]更符合實(shí)際.為便于控制器設(shè)計(jì),Tai和Ahn[14]認(rèn)為不確定性帶來的影響具有確定的上界,且上界已知.然而實(shí)際中,上界未知、時(shí)變,不可輕易獲得.為了確?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性,通常選定比較大的上界,保守性強(qiáng).本文對(duì)不確定項(xiàng)的上界實(shí)時(shí)估計(jì)修正,極大降低了保守性.

式(16)虛擬控制量定義為

狀態(tài)誤差為

顯然,如果z2→0,跟蹤誤差將收斂于0.

對(duì)式(17)微分,得到

令式(19)虛擬控制輸入為

狀態(tài)誤差為

顯然,如果z3→0,跟蹤誤差將收斂于0.

對(duì)式(20)微分,得到

式中:ueq為針對(duì)名義模型的控制律,定義為ueq=1/其中增益系數(shù)ha>0,根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)選定;us為切換控制信號(hào),用于實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定項(xiàng)和擾動(dòng)的補(bǔ)償,定義為us=?1/ga(x)sgn s,其中為未知不確定項(xiàng)上界δ的估計(jì)值.δ?為估計(jì)誤差,的參數(shù)自適應(yīng)率為

式中γ >0.

注3如果γ選取過大,導(dǎo)致控制量過小,跟蹤過程會(huì)出現(xiàn)較大跟蹤誤差;如果γ選取過小,對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)估計(jì)過低,系統(tǒng)自適應(yīng)能力下降.因此,γ的選取由工程手段確定,選取合適的數(shù)值.

式(23)代入式(25)得

將參數(shù)自適應(yīng)率(24)代入式(26)得

取k0=min{2c1,2(c2+c3),2ha},則式(27)寫成

所以,閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)的所有信號(hào)都是指數(shù)收斂的,即控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.

注4系統(tǒng)模型中許多變量和參數(shù)是隨著環(huán)境與狀態(tài)變化的、不連續(xù)的,本文在反步控制器設(shè)計(jì)中融入滑動(dòng)模型控制應(yīng)對(duì)模型的不確定性,增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性.

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5.1 參數(shù)辨識(shí)

采用數(shù)學(xué)模型(15)描述SMA驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng).待辨識(shí)的模型參數(shù)為h,cp,As,Af,Ms,Mf和c.

5.1.1 辨識(shí)過程

SMA是溫度觸發(fā)的材料,溫升的快慢決定了形變的快慢.由于本系統(tǒng)采用電阻加熱的方式,因此輸入電流幅值變化的快慢決定了溫升的快慢.為了綜合考慮SMA溫度與輸出形變的關(guān)系,更有效的獲得系統(tǒng)模型參數(shù),對(duì)系統(tǒng)輸入不同頻率的幅值范圍是0～0.4 A的正弦波形的激勵(lì)電流,系統(tǒng)負(fù)載為500 g.辨識(shí)算法采用非線性最小二乘算法(the least squares method),利用MATLAB辨識(shí)工具箱(parameter estimation)實(shí)現(xiàn).辨識(shí)分兩步完成[11]:首先系統(tǒng)輸入頻率為1/800 Hz的正弦低頻激勵(lì)電流,根據(jù)輸出響應(yīng)辨識(shí)參數(shù)As,Af,Ms,Mf,h,如圖4所示.辨識(shí)結(jié)果為As=73.33?C,Af=119.97?C,Ms=64.423?C,Mf=38.576?C,h=17.544 W/(m2?C).在此基礎(chǔ)上,系統(tǒng)輸入相對(duì)高頻的激勵(lì),頻率分別為1/200 Hz,1/100 Hz,1/50 Hz,1/30 Hz,1/20 Hz,1/10 Hz.由輸出響應(yīng)辨識(shí)余下參數(shù)cp和c,如圖5所示.辨識(shí)結(jié)果為cp=111.78 J/(kg?C)和c=200 Ns/m.

圖4 低頻激勵(lì)及響應(yīng)Fig.4 The lower frequency sinusoidal excitation and response

圖5 高頻激勵(lì)及響應(yīng)Fig.5 The higher frequency sinusoidal excitation and response

因此,系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為

式中:x1,x2,x3分別是系統(tǒng)輸出位移、速度、加速度,Rm為馬氏體體積分?jǐn)?shù),f(TSMA)和b(TSMA)為關(guān)于合金絲溫度TSMA的標(biāo)量函數(shù).

5.1.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的有效性,分別對(duì)系統(tǒng)輸入幅值為0～0.4 A的頻率為1/20 Hz,1/30 Hz,1/50 Hz,1/100 Hz的激勵(lì)電流進(jìn)行驗(yàn)證,系統(tǒng)輸出與模型輸出對(duì)比曲線如圖6(a)-(d)所示.

圖6 系統(tǒng)響應(yīng)與模型預(yù)測(cè)對(duì)比曲線Fig.6 Comparison curves between experimental response and model prediction

為了定量描述模型的精度,定義了均方根誤差(root mean squared error,RMSE)指標(biāo)函數(shù):

表1 模型均方根誤差指標(biāo)Table 1 The RMSE index for model error

從表1可以看出,隨著激勵(lì)電流的頻率的降低,模型的精度在提高.雖然模型存在一定的誤差,但是大量實(shí)驗(yàn)表明,辨識(shí)得到的模型足夠精確,適合控制器的設(shè)計(jì).

5.2 跟蹤實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證方法的有效性,進(jìn)行了系統(tǒng)定負(fù)載跟蹤實(shí)驗(yàn)和抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn).在定負(fù)載跟蹤實(shí)驗(yàn)中,負(fù)載為500 g.在抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)中,負(fù)載發(fā)生變化.在反步控制器設(shè)計(jì)中,滑模面s定義為sc3z2+z3.通過李雅普諾夫穩(wěn)定性證明可知,閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)收斂到0,閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.因此s→0,反映了系統(tǒng)的收斂性.為了延長(zhǎng)合金絲的使用壽命,減少能量的損耗,控制輸出電流越平穩(wěn)、光滑越好.為了定量的度量能量的損耗,定義系統(tǒng)能量損耗指標(biāo)函數(shù):

式中:Je為總能量損耗,trun是系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間.

5.2.1 參數(shù)設(shè)定

由于γ數(shù)值的選取會(huì)影響系統(tǒng)跟蹤效果.針對(duì)γ數(shù)值的選取設(shè)計(jì)了如下軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn).首先,系統(tǒng)在800 g負(fù)載作用下,跟蹤期望軌跡.當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到45 s時(shí),去掉其中的300 g負(fù)載,系統(tǒng)在500 g負(fù)載作用下跟蹤期望軌跡.實(shí)驗(yàn)中,其他權(quán)重參數(shù)的取值如下:c1=90,c2=100,c3=2,ha=40.實(shí)驗(yàn)中γ參數(shù)的取值分別為10?5,10?2,1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7(a)-(d)所示.

圖7 γ不同取值實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比曲線Fig.7 Comparing experimental results of different γ values

圖7(a)表示輸出位移與時(shí)間關(guān)系曲線,圖7(b)表示跟蹤誤差與時(shí)間關(guān)系曲線,圖7(c)表示控制輸出電流與時(shí)間關(guān)系曲線,圖7(d)為選取的滑模面s與時(shí)間關(guān)系曲線.圖形中紅色線為系統(tǒng)期望,藍(lán)色線為γ=1對(duì)應(yīng)的曲線,紫色線為γ=10?5對(duì)應(yīng)的曲線,黑色線為γ=10?2對(duì)應(yīng)的曲線.從圖中可以看出,當(dāng)γ=1時(shí),系統(tǒng)跟蹤誤差較大,而且隨著系統(tǒng)的運(yùn)行,跟蹤誤差逐漸增大.主要原因是由于γ取值過大,導(dǎo)致系統(tǒng)的控制輸出量降低.當(dāng)γ=10?5時(shí),系統(tǒng)在負(fù)載800 g,期望位移7.5 mm時(shí)產(chǎn)生波動(dòng).產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)帶來的不確定項(xiàng)的上界估計(jì)過低,系統(tǒng)自適應(yīng)能力減弱,從而影響跟蹤效果.而γ=10?2時(shí),系統(tǒng)在變負(fù)載、變幅值的情況下,能夠抵抗外在的擾動(dòng),獲得較好的跟蹤效果.另外從誤差曲線中可以看出,在負(fù)載發(fā)生變化時(shí),γ=10?2的最大誤差為0.60 mm,γ=10?5的最大誤差為0.85 mm.從能量消耗角度看,γ=10?2時(shí)消耗的總能量為11.91 J,γ=1時(shí)消耗的總能量為12.71 J,γ=10?5時(shí)消耗的總能量為13.52 J.

5.2.2 定負(fù)載跟蹤

本文中假設(shè)未知不確定項(xiàng)d是有界的,且上界δ是未知的.為了闡明方法的實(shí)用性,將本文提出的方法與文獻(xiàn)[14]、反饋線性化控制方法進(jìn)行了對(duì)比.反饋線性化控制器設(shè)計(jì)采用極點(diǎn)配置方法,權(quán)重系數(shù)選取為k1=150,k2=100,k3=50.文獻(xiàn)[14]認(rèn)為未知不確定項(xiàng)d是有上界的,且上界已知.為了更具說服力,在名義控制器設(shè)計(jì)中,本文提出的方法與文獻(xiàn)[14]均采用反步控制方法.定負(fù)載(500 g)下跟蹤曲線如圖8(a)-(d)所示.

圖8 定負(fù)載條件下軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)Fig.8 Experimental results for trajectory tracking under constant load

圖8(a)表示輸出位移與時(shí)間關(guān)系曲線,圖8(b)表示跟蹤誤差與時(shí)間關(guān)系曲線,圖8(c)表示控制輸出電流與時(shí)間關(guān)系曲線,圖8(d)為選取的滑模面s與時(shí)間關(guān)系曲線.圖形中紅色線為系統(tǒng)參考軌跡,黑色線為本文提出方法的曲線,藍(lán)色線為反饋線性化控制方法實(shí)現(xiàn)的曲線,紫色線為文獻(xiàn)[14]對(duì)應(yīng)的曲線.在抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)曲線代表的含義與本部分相同.從圖中可以看出,定負(fù)載作用下,本文提出的方法對(duì)于任何設(shè)定值都可以保證系統(tǒng)的跟蹤精度,而固定增益參數(shù)的反饋線性化方法在跟蹤8 mm時(shí)出現(xiàn)了振蕩.另外從跟蹤誤差曲線(圖8(b))中也可以看出,本文提出的方法在設(shè)定值發(fā)生變化時(shí),尤其針對(duì)降溫過程,相對(duì)于反饋線性化方法跟蹤誤差較小,同時(shí)控制量波動(dòng)較小.3種控制方法能量消耗對(duì)比如表2所示.文獻(xiàn)[14]雖然在定值跟蹤過程中跟蹤精度較高,但當(dāng)設(shè)定值發(fā)生變化時(shí),相對(duì)于本文提出的方法跟蹤誤差較大.值得注意的是圖8(d)反映了算法收斂性,由于反饋線性化控制方法中并未對(duì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行界定,因此不存在滑模面曲線s.圖8(d)中僅對(duì)比了本文提出方法與文獻(xiàn)[14]方法的滑模面s與時(shí)間關(guān)系曲線.同樣在抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)中滑模面s與時(shí)間關(guān)系曲線的表現(xiàn)形式與本部分相同,僅是本文提出方法與文獻(xiàn)[14]的對(duì)比.

表2 能量損耗指標(biāo)JeTable 2 The index Jefor energy consumption

5.2.3 抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的方法抵抗不同負(fù)載擾動(dòng)能力,在系統(tǒng)運(yùn)行25 s時(shí)額外施加250 g負(fù)載,45 s時(shí)將250 g負(fù)載卸除;在72 s時(shí)刻額外施加400 g負(fù)載,在98 s將400 g負(fù)載卸除.將本文提出方法與反饋線性化控制方法、文獻(xiàn)[14]進(jìn)行了對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖9(a)-(d)所示.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,由于加載過程中合金絲始終處于張緊狀態(tài),所以同樣負(fù)載擾動(dòng)下加載相對(duì)于卸載誤差較小.250 g負(fù)載由于質(zhì)量相對(duì)400 g負(fù)載較輕,故加載中對(duì)系統(tǒng)影響較小.

從圖中可以看出,本文提出的方法在加減負(fù)載情況下可以快速的收斂到參考軌跡,誤差較小,抗負(fù)載擾動(dòng)能力較強(qiáng).而反饋線性化方法雖然確保系統(tǒng)穩(wěn)定,但跟蹤誤差較大.而文獻(xiàn)[14]的跟蹤誤差最大.在卸除400 g負(fù)載情況下,本文提出的方法最大跟蹤誤差為0.26 mm,反饋線性化最大跟蹤誤差為0.53 mm,文獻(xiàn)[14]的最大跟蹤誤差為0.90 mm.從表2中可以看出,本文提出方法消耗的總能量最低.

圖9 加減負(fù)載條件下設(shè)定值跟蹤實(shí)驗(yàn)Fig.9 Experimental results for setting value tracking under variable loads

為了進(jìn)一步驗(yàn)證控制系統(tǒng)的魯棒性,在定值跟蹤過程中對(duì)系統(tǒng)施加外部脈沖干擾.為保證加載一致性,在定值跟蹤實(shí)驗(yàn)中22 s時(shí)刻逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)聯(lián)軸器15?,使合金絲受到瞬時(shí)脈沖干擾,實(shí)現(xiàn)短暫放松;43 s時(shí)刻順時(shí)針旋轉(zhuǎn)聯(lián)軸器15?,使合金絲處于短暫的過緊狀態(tài).3種控制方法的對(duì)比跟蹤實(shí)驗(yàn)如圖10(a)-(d)所示.從圖中可以看出在加載和卸載結(jié)束后,本文提出的方法相對(duì)于反饋線性化、文獻(xiàn)[14]可以快速收斂到期望軌跡,波動(dòng)較少,加載后調(diào)整時(shí)間為2.34 s,擾動(dòng)誤差較小.反饋線性化方法調(diào)整時(shí)間較長(zhǎng),尤其在加載后經(jīng)歷了約7 s 的時(shí)間調(diào)整才收斂.文獻(xiàn)[14]加載后擾動(dòng)誤差最大,調(diào)整時(shí)間達(dá)到了18.53 s.由此可見,本文提出的方法魯棒性較強(qiáng).并且從表2可以看出本文提出方法消耗能量最少,控制輸出較其他兩種方法更平穩(wěn).

圖10 脈沖干擾下設(shè)定值跟蹤實(shí)驗(yàn)Fig.10 Experimental results for setting value tracking under pulse disturbances

6 結(jié)論

本文根據(jù)SMA的物理特性建立了SMA驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)理模型,辨識(shí)了系統(tǒng)的模型參數(shù).針對(duì)該非線性系統(tǒng)提出了自適應(yīng)滑模反步控制策略,該方法不需要建立系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型.利用該控制方法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)位置控制實(shí)驗(yàn).在加減負(fù)載實(shí)驗(yàn)中,最大跟蹤誤差為0.26 mm,相對(duì)反饋線性化誤差減小50.9%,相對(duì)文獻(xiàn)[14]誤差減小71%.在脈沖加載擾動(dòng)中,調(diào)整時(shí)間為2.34 s,是反饋線性化調(diào)整時(shí)間的1/3,是文獻(xiàn)[14]調(diào)整時(shí)間的1/8.并且能量損耗相對(duì)于其他兩種控制方法較少.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,自適應(yīng)滑模反步控制方法能夠使系統(tǒng)快速、有效地跟蹤期望信號(hào),并具備較強(qiáng)的魯棒性.未來,研究團(tuán)隊(duì)期望將所提方法用于解決靈巧手的控制問題[15].