陜振沛,楊 倩,寧寶權(quán),郭亞丹

(1.六盤水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,六盤水 553004) (2.廈門大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廈門 361005)

猶豫模糊集作為復(fù)雜決策信息表達(dá)的主要形式,自文獻(xiàn)[1]中首次提出以來,該理論便受到廣泛關(guān)注,國內(nèi)外學(xué)者相繼對此展開了一系列研究．通過梳理國內(nèi)外文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn),對猶豫模糊集的研究主要集中在決策分析方面,也有的應(yīng)用在聚類分析、模式識別、機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域[2-4]．文獻(xiàn)[5]中提出了一種新的灰色猶豫模糊集合及其灰關(guān)聯(lián)加權(quán)與TOPSIS決策方法．文獻(xiàn)[6]中提出了幾種新的猶豫模糊集之間的距離和相似性度量．文獻(xiàn)[7]中提出了新的猶豫距離集概念,對新型猶豫距離集的特點和經(jīng)典猶豫距離進(jìn)行了比較研究,并將其應(yīng)用于城市道路交通狀態(tài)的識別．文獻(xiàn)[8]中提出了一種基于猶豫模糊交叉熵的協(xié)相關(guān)度與聚類方法．文獻(xiàn)[9]中為解決由猶豫模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)、區(qū)間數(shù)和實數(shù)4類基本數(shù)據(jù)組成的多源異類數(shù)據(jù)的融合識別問題,在猶豫模糊框架內(nèi),提出猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)計算方法．文獻(xiàn)[10]中提出了一種基于符號距離的猶豫模糊多屬性決策方法．文獻(xiàn)[11]中提出了基于猶豫模糊決策矩陣表示專家偏好的兩種關(guān)于猶豫模糊多準(zhǔn)則群共識決策的方法．猶豫模糊決策信息的集成算子和確定集結(jié)信息權(quán)重的方法研究是猶豫模糊決策研究的重要內(nèi)容．國內(nèi)學(xué)者在文獻(xiàn)[12-14]中提出的一系列算子上進(jìn)行推廣,定義和構(gòu)建了眾多信息集成算子[15-16]．但是,現(xiàn)有的這些集成算子中絕大多數(shù)對決策信息本身或決策信息位置進(jìn)行集結(jié),同時針對這兩者進(jìn)行集結(jié)的猶豫模糊決策信息的集成算子并不常見．還有,通常在做群決策時,要么直接給出了屬性權(quán)重和專家權(quán)重,或者屬性權(quán)重和專家權(quán)重只給出其中的一個,需要求出另外一個,主觀性比較強,不能很好地反映決策者的偏好及屬性的相對重要性．目前針對權(quán)重完全未知的猶豫模糊環(huán)境下群決策問題的研究并不多見,因此,文中在猶豫模糊數(shù)環(huán)境下,提出了一種新的猶豫模糊決策信息的混合加權(quán)集成算子,該算子能同時對猶豫模糊決策信息的大小和位置進(jìn)行加權(quán)處理．還給出了新的猶豫模糊熵和猶豫模糊指數(shù)熵公式．針對評價屬性權(quán)重和專家權(quán)重信息完全未知的情形,構(gòu)建了權(quán)重完全未知猶豫模糊混合集成算子的群決策方法．并將該方法應(yīng)用在應(yīng)急救援路徑選擇問題上,通過該算例的分析與研究,表明該模型和方法的有效性、合理性和可行性．

1 猶豫模糊集及其混合加權(quán)集成算子

猶豫模糊集作為模糊集的一種推廣形式,允許元素到某個集合的隸屬度用[0,1]中多個可能的取值來表示．這使得人們能夠更好地表達(dá)對不同目標(biāo)的偏好的猶豫度．猶豫模糊集的定義:

定義1[1]設(shè)X為一給定的集合,猶豫模糊集是從X到[0,1]的一個子集A的映射函數(shù),可以用式(1)來表示,即

H={〈x,hA(x)〉|x∈X}

(1)

式中,hA(x)為[0,1]中幾個可能的數(shù)的集合,表示x∈X屬于X的子集A的可能的程度．

為方便起見,文獻(xiàn)[15]中將h=h(x)稱為一個猶豫模糊數(shù),它構(gòu)成了猶豫模糊集的基本組成部分．

有序加權(quán)平均算子自1988年Yager提出以來,便得到了廣泛的推廣和應(yīng)用,出現(xiàn)了各種不同環(huán)境下不同類型的信息集成算子．Xia和Xu在Yager的基礎(chǔ)上,依據(jù)猶豫模糊集的運算法則提出了猶豫模糊決策信息的一系列集成算子．下面給出猶豫模糊環(huán)境下推廣最多且應(yīng)用最為廣泛的猶豫模糊加權(quán)算術(shù)平均(hesitant fuzzy weighted average,HFWA)算子和猶豫模糊加權(quán)幾何平均(heistant fuzzy weighted geometric,HFWG)算子的定義．

(1) HFWA算子為映射HFWA:Hn→H,使得

(2)

(2) HFWG算子為映射HFWG:Hn→H,使得

(3)

假定猶豫模糊決策信息的權(quán)重向量β=(β1,β2,…,βn)T,現(xiàn)同時對猶豫模糊決策信息本身及其位置順序進(jìn)行加權(quán),作標(biāo)準(zhǔn)化處理之后,則可以得到一種新的猶豫模糊混合加權(quán)算術(shù)平均(hesitant fuzzy hybrid weighteed average,HFHWA)算子．

(4)

式中,ε:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}為一個排列，使得hj為猶豫模糊數(shù)列hj(j=1,2,…,n)中第ε(j)大的元素．

2 猶豫模糊集的熵與指數(shù)熵

對于不同的猶豫模糊數(shù),它們中所包含的元素可能是雜亂無序的,另外,所包含元素的數(shù)目也可能不盡相同．文獻(xiàn)[15]中首先假定猶豫模糊數(shù)中的元素按照從小到大的順序進(jìn)行排列,同時還假定所有的猶豫模糊數(shù)所包含的元素個數(shù)相同,基于這兩個假設(shè),文獻(xiàn)[17]中在模糊熵定義的基礎(chǔ)上給出了猶豫模糊熵的定義,即

定義4[17]設(shè)h={γσ(1),γσ(2),…,γσ(n)},h1={γ1σ(1),γ1σ(2),…,γ1σ(n)}和h2={γ2σ(1),γ2σ(2),…,γ2σ(n)}為給定集合X上的3個猶豫模糊數(shù),且l=l(h)=l(h1)=l(h2),稱實函數(shù)E:H→[0,1]為猶豫模糊熵,如果它滿足以下準(zhǔn)則:

(1)E(h)=0,如果h={0}或h={1};

(2)E(h)=1,如果對任意的i=1,2,…,l,有γσ(i)+γσ(l-i+1)=1成立;

(3)E(hc)=E(h);

(4)E(h1)≤E(h2),如果對任意的i=1,2,…,l,

① 當(dāng)γ2σ(i)+γ2σ(l-i+1)≤1時,有γ1σ(i)≤γ2σ(i)成立;

② 當(dāng)γ2σ(i)+γ2σ(l-i+1)≥1時,有γ1σ(i)≥γ2σ(i)成立．

文獻(xiàn)[17]中的猶豫模糊熵是在假定所有的猶豫模糊數(shù)所含的元素個數(shù)相同的條件下給出的,這定義存在一定的不合理和缺陷．例如,倘若兩個猶豫模糊數(shù)所含的元素個數(shù)不同,則只能根據(jù)悲觀準(zhǔn)則和樂觀準(zhǔn)則,添加一些元素使這兩個猶豫模糊數(shù)的長度一致，具有相同的元素個數(shù),這樣操作本身就會影響?yīng)q豫模糊數(shù)的自身屬性,改變原始的決策信息．因此,文中在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上對猶豫模糊熵的定義進(jìn)行改進(jìn),使其能夠具有普適性,能處理猶豫模糊數(shù)具有不同元素個數(shù)的情形．

定義5設(shè)X為一給定的集合,令h(xi)={γi1,γi2,…,γili}為一個猶豫模糊數(shù),其中,γik(k=1,2,…,li)為xi∈X到另一給定集合的可能的隸屬度,li為h(xi)所含值的數(shù)目,則：

(5)

為猶豫模糊數(shù)h(xi)的猶豫模糊熵．

所以0≤E(h(xi))≤1．

證明E(h(xi))滿足猶豫模糊熵準(zhǔn)則(1～4).

準(zhǔn)則(1)的充分性證明：

因此,當(dāng)h(xi)={0,1}時結(jié)果顯然成立．

準(zhǔn)則(1)的必要性證明：

0≤| 2γik-1|≤1,則對?γik∈h(xi)都有|2γik-1|=1,從而當(dāng)γik=0或γik=1時,有:

h(xi)={0}或h(xi)={1}或h(xi)={0,1}．

準(zhǔn)則(2)的充分性證明:

準(zhǔn)則(2)的必要性證明:

綜上所述,E(h(xi))滿足猶豫模糊熵的4條準(zhǔn)則,從而得證．

因此,文中所定義的猶豫模糊熵E(h(xi))滿足文獻(xiàn)[17]中所給的猶豫模糊熵的所有準(zhǔn)則．

猶豫模糊集的指數(shù)熵是在模糊集指數(shù)熵的基礎(chǔ)上,將其拓展到猶豫模糊環(huán)境下,進(jìn)行新的熵的測度．本文在文獻(xiàn)[17]中出的猶豫模糊集指數(shù)熵定義的基礎(chǔ)上,對其進(jìn)行改進(jìn),提出一種新的猶豫模糊指數(shù)熵的公式．

定義6設(shè)X為一給定的集合,令h(xi)={γi1,γi2,…,γili}為一個猶豫模糊數(shù),其中,γik(k=1,2,…,li)為xi∈X到另一給定集合的可能的隸屬度,li為h(xi)所含值的數(shù)目,則猶豫模糊數(shù)h(xi)的猶豫模糊指數(shù)熵定義為:

(1-γik)eγik-1]

(6)

同樣,文中所定義的猶豫模糊指數(shù)熵E1(h(xi))滿足文獻(xiàn)[17]中所給的猶豫模糊熵的所有準(zhǔn)則．猶豫模糊指數(shù)熵相對猶豫模糊熵更能反映猶豫模糊數(shù)熵之間的差異,區(qū)分度更高．

下面通過一個例子來說明文中定義的猶豫模糊熵、猶豫模糊指數(shù)熵同文獻(xiàn)[17]中定義的猶豫模糊熵、猶豫模糊指數(shù)熵間的差別．

利用文獻(xiàn)[17]中定義的猶豫模糊熵和猶豫模糊指數(shù)熵公式分別來計算μ1、μ2的猶豫模糊熵和猶豫模糊指數(shù)熵,得E(μ1)=E(μ2)=1,E1(μ1)=E2(μ2)=1．然而,從直覺上看,μ2的熵應(yīng)該要大于μ1的熵,基于文獻(xiàn)[17]中給的定義和計算公式不能把μ1與μ2區(qū)分開來．利用文中提出的猶豫模糊熵和猶豫模糊指數(shù)熵公式計算可得E(μ1)=0.600 0,E(μ2)=0.933 3,E1(μ1)=0.767 2,E2(μ2)=0.993 6,μ2的猶豫模糊熵和猶豫模糊指數(shù)熵都比μ1大,能夠很好地把μ1、μ2區(qū)別開來．因此,當(dāng)猶豫模糊數(shù)同它的補集相等時,文中所提的猶豫模糊熵、猶豫模糊指數(shù)熵間的定義和計算公式比文獻(xiàn)[17]中所給的要優(yōu)越,更加合理,能夠很好地反映猶豫模糊數(shù)熵之間的差異．

3 權(quán)重完全未知猶豫模糊混合集成算子的群決策方法

3.1 決策問題描述

3.2 決策方法與步驟

權(quán)重完全未知猶豫模糊混合集成算子的群決策方法具體決策步驟如下:

②通過高分辨率衛(wèi)星數(shù)據(jù)在生態(tài)清潔小流域建設(shè)規(guī)劃審批中的應(yīng)用，初步構(gòu)建了遙感技術(shù)應(yīng)用技術(shù)流程，對規(guī)劃設(shè)計部門形成了有效的監(jiān)督機制，為專家評審提供了科學(xué)、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膮⒖家罁?jù)，規(guī)范了治理工程的規(guī)劃、設(shè)計、評審等技術(shù)環(huán)節(jié)，保障了生態(tài)清潔小流域治理工程設(shè)計的合理性。

步驟1:決策者和評價屬性權(quán)重向量的確定．

(7)

(8)

利用熵最小化原則和猶豫模糊指數(shù)熵確定評價屬性的權(quán)重向量[18],計算為:

(9)

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n

(10)

(11)

步驟4:計算各總體值zi(i=1,2,…,m)的得分函數(shù)值s(zi)[15]

(12)

式中：lhi為zi中所含元素的數(shù)目．通過比較得分函數(shù)值s(zi)的大小，對備擇方案Ai(i=1,2,…,m)進(jìn)行排序和優(yōu)選,得分函數(shù)值越大說明方案越優(yōu)．

4 算例分析

突發(fā)事件應(yīng)急管理是當(dāng)前有待深入研究的熱點問題．設(shè)某城市某地方突發(fā)大火,城市消防部門立馬派出若干消防車輛和救援人員前去火災(zāi)現(xiàn)場救援．現(xiàn)有3條救援線路Ai(i=1,2,3)可到達(dá)火災(zāi)現(xiàn)場,現(xiàn)對這3條救援線路進(jìn)行評價選擇,確定出最優(yōu)救援路線．所考慮的評價指標(biāo)包括車輛行駛路程C1、車輛平均速度C2和交通暢通可靠程度C3這3個最主要因素．假設(shè)有來自不同部門的3位專家參與火災(zāi)應(yīng)急救援決策,這里評價屬性權(quán)重和專家權(quán)重信息完全未知,每位專家根據(jù)自己的專業(yè)知識、經(jīng)驗和掌握的資料信息給出每條救援線路對評價指標(biāo)的猶豫模糊決策矩陣,結(jié)果如表1～3[19].

表1 第1位專家給出的猶豫模糊決策矩陣H(1)

注：C1為車輛行駛路程；C2為車輛平均速度；C3為車輛可靠程度.下同

表2 第2位專家給出的猶豫模糊決策矩陣H(2)

表3 第3位專家給出的猶豫模糊決策矩陣H(3)

分別利用式(5、6)求出3位專家給出的猶豫模糊決策矩陣中各救援路線下各屬性的猶豫模糊熵和猶豫模糊指數(shù)熵,計算結(jié)果如表4～6.

表4 猶豫模糊熵與猶豫模糊指數(shù)熵矩陣EH1

表5 猶豫模糊熵與猶豫模糊指數(shù)熵矩陣EH2

表6 猶豫模糊熵與猶豫模糊指數(shù)熵矩陣EH3

根據(jù)表4～6求得猶豫模糊熵矩陣,將它們代入式(7)即可求得猶豫模糊決策矩陣的均熵,其值分別為E1=0.711 1、E2=0.688 9和E3=0.688 9．將E1、E2與E3值代入式(8)可分別求出決策專家的權(quán)重,決策專家的權(quán)重向量為:

λ=(0.317 1,0.341 5,0.341 5)T

通過表4～6求得的猶豫模糊指數(shù)熵矩陣和求得的決策專家的權(quán)重向量可得到:

P1=0.927 4,P2=0.775 5,P3=0.901 0

將P1、P2和P3值代入式(9)可分別求出評價屬性的權(quán)重,評價屬性的權(quán)重向量為:

w=(0.183 3,0.566 8,0.249 9)T

分別計算群體猶豫模糊決策矩陣H=(hij)3×3中每行猶豫模糊數(shù)的得分函數(shù),進(jìn)而確定ε(ij)(i=1,2,3,j=1,2,3),依據(jù)猶豫模糊數(shù)得分函數(shù)式 (12)可得:

s(h11)=0.478 7,s(h12)=0.507 0,s(h13)=0.492 3

s(h21)=0.782 5,s(h22)=0.754 3,s(h23)=0.638 2

s(h31)=0.401 1,s(h32)=0.412 0,s(h33)=0.686 6

由上述可得:h12>h13>h11,h21>h22>h23,h33>h32>h31．于是有:ε(12)=1,ε(13)=2,ε(11)=3;ε(21)=1,ε(22)=2,ε(23)=3;ε(33)=1,ε(32)=2,ε(31)=3．

利用HFHWA算子對群體猶豫模糊決策矩陣H=(hij)3×3中每一行各不同屬性值進(jìn)行集結(jié),這里各屬性值集成相關(guān)的權(quán)重向量，記α=(0.4,0.3,0.3)T,根據(jù)式(11)計算各救援路線Ai(i=1,2,3)的總體值zi

z1={0.465 8,0.472 3,0.473 8, 0.480 2, 0.483 4,0.489 7, 0.491 2, 0.497 3, 0.503 4, 0.509 4, 0.510 9,0.516 8, 0.519 8, 0.525 6,0.527 0,0.532 7}

z2={0.679 6, 0.685 3,0.686 9, 0.692 5,0.695 4, 0.700 8,0.702 4, 0.706 1,0.707 7, 0.711 4,0.712 9, 0.718 0, 0.720 6, 0.725 6,0.727 0, 0.731 9, 0.756 1,0.760 4, 0.761 7,0.765 9,0.768 1, 0.772 2,0.773 4, 0.776 3, 0.777 5, 0.780 3,0.781 4, 0.785 3, 0.787 3, 0.791 1,0.792 2,0.795 9}

z3={0.463 6, 0.468 4, 0.468 8, 0.473 5, 0.480 8,0.485 4, 0.485 9, 0.490 4, 0.491 7, 0.496 2, 0.496 6, 0.501 1,0.508 0, 0.512 3,0.512 8, 0.514 6, 0.517 1,0.518 9, 0.519 4, 0.523 6, 0.530 2, 0.534 4, 0.534 8, 0.538 9, 0.540 0, 0.544 1, 0.544 5, 0.548 5, 0.554 8,0.558 8, 0.559 1,0.563 0}

分別計算zi(i=1,2,3)的得分函數(shù)值s(zi)(i=1,2,3),根據(jù)猶豫模糊數(shù)得分函數(shù)式 (12)可得:

s(z1)=0.500 0,s(z2)=0.741 5,s(z3)=0.515 0

由s(z2)>s(z3)>s(z1)可知,z2>z3>z1,因此,A2?A3?A1,救援線路A2為最優(yōu)路徑選擇,A3次之．

下面對表3中第3位專家給出的猶豫模糊決策矩陣H(3)中救援線路A2在屬性C1、C2、C3下的值做一下變動,對應(yīng)的屬性值分別變?yōu)閧0.6,0.8}、{0.7}、{0.6,0.7},其他各值不變,按照同樣的方法和步驟計算得到s(z1)=0.508 6,s(z2)=0.751 2,s(z3)=0.523 5．因為s(z2)>s(z3)>s(z1),所以可得A2?A3?A1,這與上面得出的結(jié)論完全一致．也就是說,雖然第3個決策者稍微改變了他的偏好,但是決策結(jié)果仍能保持一致,該算法在實際應(yīng)用中具有魯棒性．

采用文獻(xiàn)[16] 中提出的擬猶豫模糊有序加權(quán)算術(shù)平均算子得到的排序結(jié)果為A2?A3?A1,與文中結(jié)果一致.在決策信息集結(jié)過程中，文中提出的方法計算量比擬猶豫模糊有序加權(quán)算術(shù)平均算子?。捎梦墨I(xiàn)[20]中提出的最大一致性模型確定專家的權(quán)重信息,利用TOPSIS方法對方案排序擇優(yōu)的結(jié)果仍為A2?A3?A1．但最大一致性模型需要屬性權(quán)重已知,而文中得出的綜合評價值之間差異相對要小些,具有良好的區(qū)分度,更能體現(xiàn)決策者行為特征和決策過程中的柔性．

5 結(jié)論

文中旨在猶豫模糊環(huán)境下,針對評價屬性權(quán)重和專家權(quán)重信息完全未知的情形,提出一種合理有效的群決策方法,在決策方法及理論上有所創(chuàng)新,文中主要做了以下幾個方面的工作:

(1) 提出了一種新的猶豫模糊決策信息的混合加權(quán)集成算子,它能夠同時對猶豫模糊決策信息本身及其順序位置進(jìn)行加權(quán);

(2) 提出了一種新的猶豫模糊熵和猶豫模糊指數(shù)熵公式,分別用來確定決策者和評價屬性的權(quán)重向量．通過查閱文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn),通常在做群決策時,要么直接給出了屬性權(quán)重和專家權(quán)重,或者是屬性權(quán)重和專家權(quán)重只給出其中的一個,需要求出另外一個,主觀性比較強,相比文中求取權(quán)重方法更加合理,更加合理地描述決策者的偏好及屬性的相對重要性,適用性和應(yīng)用性更強;

(3) 將權(quán)重完全未知猶豫模糊混合集成算子的群決策方法應(yīng)用在應(yīng)急救援路徑選擇問題上,豐富和發(fā)展了應(yīng)急決策理論與方法．