王昌林 李濤 羅萍雙

[摘要]將知識與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，最后達(dá)到學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，是研究性學(xué)習(xí)的最終目的。文章以2019年全國卷I文科第16題為例對數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)進(jìn)行說明。

[關(guān)鍵詞]研究性學(xué)習(xí);2019年全國卷I;高考;文科

[中圖分類號]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）08-0001-03

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程包括：觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明。研究性學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，樹立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出和解決數(shù)學(xué)問題的能力;有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。研究性學(xué)習(xí)的一般步驟是：提出問題（起點(diǎn)）;解決問題（重點(diǎn)）;推廣問題（難點(diǎn)）;應(yīng)用結(jié)論（升華點(diǎn)）。筆者將以2019年全國卷I文科第16題為例對數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)進(jìn)行說明。

一、提出問題

數(shù)學(xué)家波利亞指出，問題是數(shù)學(xué)的心臟。對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，在研究性學(xué)習(xí)時提出問題主要是指對某些數(shù)學(xué)問題的深入探討。所提問題不能過偏過難，要是學(xué)生通過努力可以解決的。研究性學(xué)習(xí)問題要滿足以下五個課題選取的原則：

1.問題題材選取的典型性;

2.問題開展研究的可行性;

3.問題解決路徑的多樣性;

4.問題拓展方向的多向性;

5.問題研究成果的應(yīng)用性。

二、解決問題

評注：在立體幾何問題中，運(yùn)用投影、等體積，建立空間直角坐標(biāo)系等方法是解決問題的常用方法。找準(zhǔn)問題的本質(zhì)以及所要求的量，利用已知條件建立等量關(guān)系可以有效地解決問題。解法1通過已知邊的長度以及各線段所處的位置，運(yùn)用“勾股定理”“三角函數(shù)”以及“正弦定理”等將其之間的關(guān)系等式化，求出P到平面ABC的距離就相對輕松。

三、推廣問題

評注：解法2涉及最小角定理，最小角定理也稱三余弦定理，在解決立體幾何二面角問題中有著重要的作用。

推廣2：三正弦定理

評注：觀察圖1發(fā)現(xiàn)，將點(diǎn)E與點(diǎn)F放在同一條直線上，將其與點(diǎn)0連線的夾角改變度數(shù)，自然就看到了三正弦定理的影子，將三余弦定理與三正弦定理聯(lián)立求解立體幾何中與角有關(guān)的部分試題，在不用作輔助線的情況下就可以對問題進(jìn)行求解，十分的方便快捷。

推廣3：等和線

推廣4：外接球（墻角模型）

評注：在解法3中，利用外接球知識將P到平面

ABC的距離求解出來，本質(zhì)就是外接球的“墻角模型”申對角線的求解，在3條不相等的棱與體對角線（球直徑）構(gòu)建等式，知三求一，可以快速解決求解外接球體積和表面積一類的高考題。

四、應(yīng)用結(jié)論

在研究性學(xué)習(xí)的過程中，發(fā)現(xiàn)與之相關(guān)聯(lián)的知識或者方式方法，對其進(jìn)行知識和方式方法上的遷移，做到研究一個知識就會運(yùn)用這個知識，研究出一種方法就會運(yùn)用這種方法去解決同類的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題。在研究性學(xué)習(xí)過程中，將知識與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，最后達(dá)到學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》所提倡的，也是研究性學(xué)習(xí)的最終目的。