潘正剛

[摘要]尺規(guī)作圖是幾何教學(xué)的重要組成部分，是作圖能力的集中體現(xiàn)，是理性思維的重要代表。設(shè)計(jì)以夯實(shí)基礎(chǔ)、建構(gòu)體系為目標(biāo)的尺規(guī)作圖專題復(fù)習(xí)課，能讓學(xué)生在問題解決中熟悉五種基本作圖方法，能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]尺規(guī)作圖;理性思維;教學(xué)設(shè)計(jì)

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2020）08-0008-03

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。教師為未來而教，學(xué)生為未來而學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)也要跟隨時(shí)代的進(jìn)展而變化，其方法便是“精中求簡(jiǎn)”。精選必備知識(shí)、培養(yǎng)關(guān)鍵能力。尺規(guī)作圖是平面幾何的核心內(nèi)容。但是其內(nèi)容眾多，部分作圖難度較大?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》一方面保持了尺規(guī)作圖在平面幾何中的重要地位;另一方面精選了內(nèi)容，保留其精華。北師大版教材，以探索基本圖形的性質(zhì)和定理為主線編排幾何的內(nèi)容，尺規(guī)作圖的內(nèi)容分散于各章節(jié)之中。教學(xué)中，教師普遍重視性質(zhì)和定理的推理論證，對(duì)尺規(guī)作圖存在不同程度的忽視情況。因此，有必要在七年級(jí)下冊(cè)，以整體視角設(shè)計(jì)以尺規(guī)作圖為主題的復(fù)習(xí)課，以興趣為引領(lǐng)、問題為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生形成對(duì)相關(guān)內(nèi)容的新理解，建構(gòu)尺規(guī)作圖的體系。

一、教材分析

在北師大版教材中，學(xué)生分別在七年級(jí)上冊(cè)第四章《基本平面圖形》中學(xué)習(xí)用尺規(guī)作線段，在七年級(jí)下冊(cè)第二章《相交線與平行線》中學(xué)習(xí)用尺規(guī)作角，在第四章《三角形》中學(xué)習(xí)用尺規(guī)作三角形，在第五章《生活中的軸對(duì)稱》中學(xué)習(xí)作已知線段的垂直平分線和作已知角的平分線。

二、學(xué)情分析

學(xué)生掌握了四種基本作圖的方法，了解作圖的原理，并初步應(yīng)用基本尺規(guī)作圖。但由于知識(shí)比較分散，學(xué)生普遍還未將這部分知識(shí)納入自己的知識(shí)體系，欠缺綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.復(fù)習(xí)四種基本尺規(guī)作圖的方法和原理，應(yīng)用探索第五種基本作圖——過一點(diǎn)作已知直線的垂線，初步建構(gòu)尺規(guī)作圖知識(shí)體系;

2.在問題解決中，聯(lián)系已有幾何知識(shí)，靈活運(yùn)用基本作圖方法構(gòu)造圖形，積累操作經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展理性思維。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，賞尺規(guī)之美

《幾何原本》是由2000多年前的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的不朽之作，書中公理化的思想方法成為后世建立知識(shí)體系的典范。書中收錄了天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家伊諾皮迪斯所提出的兩個(gè)命題：給定直線外一點(diǎn)求作直線的垂線;求作一角等于已知角。明確提出只準(zhǔn)使用直尺和圓規(guī)兩種工具。從此尺規(guī)作圖逐漸成為一種公約。在古代，數(shù)學(xué)家利用尺規(guī)作圖解決了各種難題。如圖1，高斯證明了尺規(guī)作圖可以作出正十七邊形;在現(xiàn)代，人們借鑒尺規(guī)作圖進(jìn)行平面設(shè)計(jì)，如圖2為蘋果公司的Logo。

[設(shè)計(jì)意圖]聆聽數(shù)學(xué)故事，欣賞平面設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受尺規(guī)作圖之關(guān)，體會(huì)尺規(guī)作圖所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)文化。此環(huán)節(jié)既展現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)化的特點(diǎn)，又發(fā)揮數(shù)學(xué)教育化的功能，學(xué)生從感性的角度再度認(rèn)識(shí)尺規(guī)作圖，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（二）實(shí)踐操作，悟尺規(guī)之理

思考：1.作圖時(shí)，圓規(guī)的作用是什么？2.作圖的原理有什么區(qū)別和聯(lián)系？3.如果改變線段的長(zhǎng)度和角的角度，你還能按要求作圖嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]由于學(xué)習(xí)時(shí)間跨度較長(zhǎng)，不少學(xué)生對(duì)于尺規(guī)作圖的記憶是模糊的、零散的。故設(shè)計(jì)從基礎(chǔ)開始，有序回顧四種基本作圖，在作圖中復(fù)習(xí)方法，在說理中訓(xùn)練邏輯推理的能力，在操作中體會(huì)圓規(guī)的作用是截取相等的線段，在對(duì)比、反思中發(fā)現(xiàn)以其作圖原理都可以用全等三角形的判定定理“SSS”來解釋，從而建立起四種基本作圖的內(nèi)在聯(lián)系。在操作性教學(xué)活動(dòng)中，教師的現(xiàn)場(chǎng)示范更有利于學(xué)生熟練掌握作圖步驟。因此建議教師采用親自作圖演示為主、幾何畫板動(dòng)態(tài)演示為輔的教學(xué)方式。部分學(xué)生對(duì)于尺規(guī)作圖不能使用刻度尺和量角器難以理解，這成為學(xué)習(xí)道路上的攔路石。設(shè)計(jì)此教學(xué)環(huán)節(jié)的目的正是為了讓學(xué)生了解尺規(guī)作圖的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)尺規(guī)作圖的理性思維。筆者還希望幫助學(xué)生解開一個(gè)困惑：為什么在作圖中不能測(cè)量長(zhǎng)度和角度？如果僅僅說這是尺規(guī)作圖的規(guī)則，很難讓學(xué)生釋懷。經(jīng)歷充分操作、深入交流，從全等三角形的證明過程回到尺規(guī)作圖的每一個(gè)步驟，引導(dǎo)學(xué)生思考嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理可以解決由操作、測(cè)量誤差等導(dǎo)致的不確定性。

（三）問題驅(qū)動(dòng)，促尺規(guī)之用

[設(shè)計(jì)意圖]過一點(diǎn)作已知直線的垂線是第五個(gè)基本作圖。對(duì)學(xué)生而言，這是一個(gè)具有應(yīng)用意義的新問題。該作圖以例題形式出現(xiàn)，作為基本作圖的應(yīng)用，學(xué)生在操作中進(jìn)一步體會(huì)直尺和圓規(guī)的功能性作用，在說理中體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化的思想，促進(jìn)應(yīng)用基本作圖的意識(shí)的形成。

[設(shè)計(jì)意圖]這道開放性題目讓學(xué)生繼續(xù)積累將復(fù)雜作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖的經(jīng)驗(yàn)。較多學(xué)生采用作角的平分線和線段的垂直平分線的方法來完成作圖，不少學(xué)生欠缺作等線段和等角來解決問題的直覺。本題提出一題三解的要求，旨在拓展學(xué)生思維廣度，讓學(xué)生展開豐富聯(lián)想，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用各種基本作圖的意識(shí)。教師在講解申要提高要求，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系等腰三角形來陳述作圖原理，幫助學(xué)生找到思維起點(diǎn)，培養(yǎng)邏輯推理能力。

[例3]用尺規(guī)作一個(gè)30°的角（保留作圖痕跡，不寫作法）。

[設(shè)計(jì)意圖]本題旨在挖掘思維的深度，展現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)層次和能力水平。若學(xué)生無法聯(lián)想到熟悉的幾何模型，便難以建立與30°相關(guān)的圖形聯(lián)系。復(fù)雜作圖，不是基本知識(shí)的簡(jiǎn)單堆砌，需要相關(guān)幾何圖形和定理的銜接，綜合運(yùn)用幾何知識(shí)，模塊化建立幾何模型，再以基本作圖為工具解決問題。教學(xué)申，教師要力圖讓學(xué)生呈現(xiàn)出思維過程的不同層面：一是從數(shù)的層

（四）總結(jié)歸納，悟尺規(guī)之道

師生共同小結(jié)：（1）基本作圖有哪些？（2）課堂中所作的圖形有什么特點(diǎn)？（3）請(qǐng)舉例說明，在作圖過程中體會(huì)到什么數(shù)學(xué)思想方法？

[設(shè)計(jì)意圖]平行線是七年級(jí)下冊(cè)的重要內(nèi)容，本題將平行線的判定和基本尺規(guī)作圖聯(lián)系在一起。此題有多種巧妙的作圖法。直接法：作內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等;間接法：作垂直于同一條直線的兩直線、作全等三角形、先做角平分線后作等腰三角形、作正方形和作菱形。學(xué)生要找到思維起點(diǎn)，即回到平行線的判定定理，聯(lián)想幾何模型，再轉(zhuǎn)化為基本作圖來解決問題。

五、教學(xué)反思

尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)難得的操作性教學(xué)內(nèi)容，其源于操作，植根于結(jié)合圖形性質(zhì)的邏輯推理。即是聯(lián)系、重構(gòu)、內(nèi)化幾何知識(shí)的教學(xué)素材，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、促進(jìn)學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想方法、培育學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)載體。本課設(shè)計(jì)基于基本作圖的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、復(fù)雜作圖的分析建構(gòu)，力圖夯實(shí)基礎(chǔ)并建立與尺規(guī)作圖相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并將其融合于平面幾何的知識(shí)體系之中。本課例設(shè)計(jì)指向“問題解決”，選取基礎(chǔ)但能一題多解的例題。在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維，促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。