劉哲

前蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)?！倍Z言學(xué)習(xí)是離不開閱讀的，可見數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也離不開閱讀。隨著社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)的進(jìn)步，以及社會(huì)數(shù)字化程度的不斷提高，數(shù)學(xué)閱讀能力的重要性日益凸顯。數(shù)學(xué)閱讀是掌握數(shù)學(xué)語言的前提，是有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是正確解題的重要途徑。有效的閱讀可以幫助學(xué)生提高判斷、分析和推理能力?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)，注重學(xué)生各種能力的培養(yǎng)，其中包括數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)探究能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行閱讀能力的培養(yǎng)，是提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的一個(gè)重要方向。

因此，如何處理高中數(shù)學(xué)教材中的閱讀內(nèi)容就顯得尤為重要?，F(xiàn)行的高中人教版教材中每個(gè)章節(jié)結(jié)束后，都有相應(yīng)的閱讀內(nèi)容，教材這樣安排，是對(duì)教材正文的拓寬、引申，學(xué)習(xí)閱讀內(nèi)容對(duì)理解教材正文內(nèi)容的實(shí)質(zhì)是非常重要的，閱讀內(nèi)容具有完善知識(shí)體系、銜接后續(xù)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用。教材中很多閱讀內(nèi)容都有深刻的數(shù)學(xué)意義和背景，以及源遠(yuǎn)流長的數(shù)學(xué)歷史，是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、豐富數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑之一，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和認(rèn)識(shí)再上一個(gè)新臺(tái)階。下面以祖暅原理與幾何體的體積閱讀內(nèi)容為例，與大家一起探討如何借助網(wǎng)絡(luò)和多媒體使閱讀效果更好。

借助網(wǎng)絡(luò)拓展學(xué)生閱讀內(nèi)容

祖暅原理與幾何體的體積閱讀內(nèi)容部分，對(duì)祖暅的介紹寥寥幾句，上課前我給學(xué)生布置學(xué)習(xí)任務(wù)，上網(wǎng)查閱資料，了解祖暅的成長與成就。

學(xué)生很容易通過網(wǎng)絡(luò)查找到我國古代科學(xué)家祖暅的相關(guān)信息。上課時(shí)，我將學(xué)生收集的資料匯總展示出來。祖暅字景爍，又名祖暅之，是祖沖之之子，范陽郡薊縣（今河北省淶源縣）人，自小對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有突出貢獻(xiàn)，祖暅修補(bǔ)編輯了祖沖之的《綴術(shù)》。他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，在5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖暅原理。祖暅原理也稱祖氏原理，一個(gè)涉及幾何求積的著名命題：冪勢既同，則積不容異?！皠荨奔锤?，“冪”是面積。祖暅原理在17世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里重新發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚了一千余年。這些信息的呈現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)祖暅及祖暅原理有了初步的了解，也能使學(xué)生對(duì)這一時(shí)期的中國古代數(shù)學(xué)史產(chǎn)生了興趣，對(duì)數(shù)學(xué)史閱讀產(chǎn)生了興趣。

利用幾何畫板助力學(xué)生理解內(nèi)容

祖暅原理原文翻譯過來就是，如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩個(gè)幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表述是夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，如圖1。

我們先用一個(gè)簡單的例子來理解祖暅原理：取一摞A4紙堆放在桌面上組成一個(gè)幾何體，將它改變一下形狀，得到另一個(gè)幾何體，但兩個(gè)幾何體的高度沒有改變，如圖2。每頁紙的面積沒有改變，用任意平行于桌面的平面所截得的兩個(gè)截面都是A4紙，因而兩個(gè)幾何體的體積相等。

通過上述例子，學(xué)生理解在特定情況下祖暅原理是成立的，然后我們可以利用幾何畫板做一個(gè)動(dòng)態(tài)的演示，幫助學(xué)生理解一般情形下祖暅原理也是成立的。做一個(gè)動(dòng)態(tài)平面與已有的兩個(gè)平面平行，并且同時(shí)截兩個(gè)幾何體，計(jì)算并顯示兩個(gè)截面面積，隨著動(dòng)態(tài)平面的運(yùn)動(dòng)兩個(gè)截面形狀隨之改變，但是兩個(gè)截面面積一直保持相等的狀態(tài)。

當(dāng)動(dòng)態(tài)平面從一個(gè)位置平行運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)位置時(shí)，如果我們把夾在兩個(gè)平面之間的兩個(gè)幾何體都分割成很多塊數(shù)相等的小幾何體，當(dāng)動(dòng)態(tài)平面運(yùn)動(dòng)的距離足夠小且分割的小幾何體足夠多時(shí)，這些小幾何體幾乎就是全等的小長方體，把這些小長方體的體積加起來，就分別得到夾在兩個(gè)平面之間的兩個(gè)幾何體的體積，不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)體積是相等的關(guān)系，如圖3。這種分割方式，像極了利用積分求曲邊梯形的面積的方法。由此在動(dòng)態(tài)演示過程中完成了知識(shí)的遷移。

利用動(dòng)畫視頻直觀展示原理應(yīng)用

祖暅原理的應(yīng)用有很多方面，如推導(dǎo)柱體、球體的體積公式。課本對(duì)這部分內(nèi)容有所呈現(xiàn)，但是敘述比較簡潔，不易學(xué)生理解。我將這些內(nèi)容制作成動(dòng)畫視頻，將推導(dǎo)過程展示出來，有助于學(xué)生形象直觀地感受原理的應(yīng)用。如我們已經(jīng)知道長方體的體積公式，可以將底面積和高分別相等的任意棱柱、圓柱和長方體，放在兩個(gè)平面之間，根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等，因此得到柱體的體積公式。同理可以得到椎體的體積公式。對(duì)于球的體積的研究，應(yīng)用祖暅原理，我們先找到一個(gè)不但能夠求體積，還使它和半球一樣高度，并且用任何一個(gè)水平的平面去截它們時(shí)，得到的兩個(gè)截面的面積都相等的幾何體，然后通過半球的體積得到球體的體積。在研究過程中還可以讓學(xué)生了解劉徽的“牟合方蓋”圖形，劉徽曾證明了《九章算術(shù)》中球體的體積公式是不正確的，并指出了推算球體體積公式的正確途徑，也成為了祖沖之父子在球體體積問題上取得突破的先導(dǎo)。這也有助于在教學(xué)過程中啟發(fā)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行質(zhì)疑。

把教材中的閱讀內(nèi)容融入課堂教學(xué)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的很好途徑。利用網(wǎng)絡(luò)拓展相應(yīng)的閱讀內(nèi)容，利用多媒體手段還可以很好地助力感知。學(xué)生除了學(xué)習(xí)教材中的主要知識(shí)以外，一定要重視教材中閱讀內(nèi)容的學(xué)習(xí)，閱讀內(nèi)容也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、豐富數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑之一。

作者單位：河北承德市興隆縣第一中學(xué)