周穎

【摘 要】本文通過基礎知識講解、優(yōu)選經(jīng)典例題、創(chuàng)設應用機會，加強應用訓練、鼓勵應用總結(jié)等方式探討如何優(yōu)化高中數(shù)學“概率與統(tǒng)計”教學方法，以提高學生對概率統(tǒng)計的應用意識與應用能力，為提高學生解題能力與數(shù)學成績奠定堅實基礎。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 概率統(tǒng)計 教學優(yōu)化

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）34-0144-02

統(tǒng)計學注重的是數(shù)據(jù)的收集、整理與分析，概率論是研究隨機現(xiàn)象的科學，它們都與我們的日常生活緊密相連。概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學的重要組成部分，也是最能反映數(shù)學應用性的課程之一。它包含的知識較多，如隨機事件的概率、傳統(tǒng)概率、抽樣方法等，對學生的記憶與理解能力要求較高。為使學生扎實掌握概率與統(tǒng)計的知識，并靈活用于解答相關(guān)數(shù)學問題，筆者在授課的過程中進行了多種優(yōu)化嘗試。

一、注重基礎講解，夯實應用基礎

為使學生牢固掌握概率統(tǒng)計知識，教師在授課中應做好基礎知識講解，使學生準確記憶相關(guān)概念的同時，理清知識點之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

一方面，概率與統(tǒng)計有很多相似的知識點，如簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣，教師在授課中，既要為學生認真講解對應的概念，又要通過列圖表的方式為學生講解三種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系，使學生能夠根據(jù)不同的情況進行準確的判斷，運用對應的抽樣方法進行解答。另一方面，教師要為學生認真講解不同事件概率的計算方法，傳授相關(guān)的計算技巧，如互斥事件，當從正面解答計算較為繁瑣時，可考慮從其反面入手，提高解題效率，使學生牢固掌握概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識，為更好的應用奠定堅實基礎。

為使學生掌握互斥事件的計算技巧，筆者為學生設計如下問題：

甲、乙兩人玩猜字游戲，甲先任意想一數(shù)字計作 a，乙猜測甲想到的數(shù)字計作 b。假設 a，b∈（1，2，3），若|a-b|≤1 則乙獲勝。請問乙在游戲的過程中獲勝的概率為（ ）。

A.? ? ? ? ? ?B.? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ?D.

該題目難度并不大，如應用常規(guī)思路解答，需要分別列出 a，b 數(shù)字，情況較多，不少學生容易考慮不全。如果從反面進行考慮，運用互斥事件概率計算方法，就能大大提高解題效率。由已知條件可知，甲猜想的數(shù)字有 3 種，乙猜想的數(shù)字也有 3 種，因此基本事件共有 3×3=9 種。計乙獲勝的事件為 A，乙失敗的事件為 B。不難求出 |a-b|>1 時僅有兩種可能，則 P（B）= ，則 P（A）=1-P（B）=1-=。

通過對這道題的講解，不僅加深學生對互斥事件的理解，而且還掌握了概率的技巧，為其正確應用概率知識解答數(shù)學問題，打下堅實的基礎。

二、優(yōu)選經(jīng)典例題，提高應用意識

高中數(shù)學概率統(tǒng)計試題類型復雜多樣，為提高學生的應用意識，教師應精選經(jīng)典例題為學生進行講解。這類題目的挑選標準可以是教師結(jié)合以往授課經(jīng)驗，掌握學生不易理解的知識點。

例如，筆者為避免學生因概念理解不清，應用概率統(tǒng)計解題出錯，為學生講解以下例題：

投擲一枚均勻的骰子，將“朝上一面為奇數(shù)”計作事件 A。將“朝上一面的點數(shù)不超過 3”計作事件 B。求 P（A+B）。

該題雖然難度不大，但部分學生對事件的性質(zhì)判斷錯誤，錯誤地認為 P（A+B）=P（A）+P（B），得出 P（A+B）=+=1 的錯誤結(jié)果。還有部分學生認為事件 A 朝上的點數(shù)為 1，3，5;事件 B 朝上的點數(shù)為 1，2，3。兩個事件的重復點數(shù)為 1，3，得出 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B）=+-×=。雖然這一解題思路是正確的，但認為 P（A·B）= 是不對的。事實上因為重復的點數(shù)為 1，3，因此 P（A·B）=。則正確的解題過程為 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B）=+-=。

三、創(chuàng)設問題情境，提供應用機會

高中數(shù)學教學中，還應注重創(chuàng)設相關(guān)的問題情境，給學生提供應用概率與統(tǒng)計知識的機會，使其通過解答試題，提高概率與統(tǒng)計知識應用的靈活性，并能認識與及時彌補知識漏洞。一方面，注重概率與統(tǒng)計問題的積累，結(jié)合教學進度，在課堂上將相關(guān)的問題情境展示給學生，要求學生認真審題，充分理解題意，冷靜分析，根據(jù)自己的理解進行作答;另一方面，公布正確答案后，給學生預留一定的時間，要求學生認真對照自己的解題過程，并結(jié)合自身實際積極回歸課本，有針對性復習相關(guān)知識點，進一步深化對概率與統(tǒng)計知識的理解，時刻提醒自己解答類似題目時應注意的問題與細節(jié)，避免犯下類似錯誤。

講解系統(tǒng)抽樣知識時，為保證學生能夠正確地應用所學知識進行解題，課堂上筆者將以下問題情景展示給學生，要求學生作答：

某一大型運動活動，準備從 2009 名報名人員中抽取 50 名作為志愿者。若采用下面方法選?。簯煤唵坞S機抽樣，從報名者中剔除 9 人 ;而后應用系統(tǒng)抽樣方法，從剩余的人員中抽取 50 人，則在所有報名者中，每人入選的機會（ ）。

A.均相等，為? ? ? ? ?B.不全相等

C.均不相等? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.均相等，為

該題目具有一定的迷惑性，很多學生錯選為 B 和 D 兩項。在解答該題時，要求學生認真回顧系統(tǒng)抽樣知識，進行冷靜的分析，準確的判斷。事實上，剔除 9 人時每個人被剔除的機會是相等的，因此每個人被抽到需要經(jīng)過 2 個環(huán)節(jié)，第 1 個環(huán)節(jié)并保證不被剔除。第 2 個環(huán)節(jié)是能夠被選中。顯然兩個環(huán)節(jié)是相互獨立的，因此每個人入選的機會是相等的，為 ，正確選項為 A。結(jié)合該問題情境，要求學生回顧教材中有關(guān)系統(tǒng)抽樣的知識點，進一步加深學生對系統(tǒng)抽樣的認識，為其以后應用系統(tǒng)抽樣的知識帶來良好啟發(fā)。

四、加強應用訓練，積累應用經(jīng)驗

為使學生積累更多概率與統(tǒng)計的應用經(jīng)驗，掌握相關(guān)的應用技巧，真正做到以不變應萬變，教師應結(jié)合教學實際，積極組織學生開展相關(guān)的訓練活動。為保證獲得良好的訓練效果，教師一方面要做好近年來高考試卷的分析，把握概率與統(tǒng)計考查的知識點，并對試題分類，制定詳細的訓練計劃，按照試題類型逐一進行訓練。通過訓練使學生掌握高考中概率與統(tǒng)計的?？碱}型，并通過認真解答，積累概率與統(tǒng)計的應用經(jīng)驗。另一方面，為提高訓練效果，教師可要求學生建立專門的錯題本，專門摘抄在訓練中解答出錯的試題。在錯題本中不僅要詳細地寫出正確的解答過程，更要詳細地記錄自己的解題心得、解題思路與解題技巧等，尤其通過定期進行錯題重做，切實掌握相關(guān)的解題技巧。

通過對高考試題分析不難發(fā)現(xiàn)，直方圖、莖葉圖、離散型隨機變量及其分布列等是?？键c，因此，為使學生積累相關(guān)的應用經(jīng)驗，筆者在授課中為學生創(chuàng)設以下問題，對學生進行訓練：

某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學在連續(xù) 8 次的數(shù)學周練中，統(tǒng)計解答題失分的莖葉圖如下圖所示：

（1）請結(jié)合平均數(shù)以及方差知識，分析哪位同學解題較為穩(wěn)定？

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，將失分超過 15 分的頻率作為概率。周練中兩名學生失分互不影響。則在以后的兩次周練中，預測其失分均超過 15 分的次數(shù) X 的分布列與均值。

該題目立足莖葉圖考查學生統(tǒng)計知識應用情況。解題的關(guān)鍵在于能夠讀懂莖葉圖。對于問題（1），由莖葉圖不難看出，甲同學的失分數(shù)分別為 7，9，11，13，13，16，23，28;乙同學的失分數(shù)分別為 7，8，10，15，17，19，21，23。不難求出兩位同學的平均分數(shù)均為 15。分別代入方差計算公式可求得 S甲2=44.75，S乙2=32.25。因為 S甲2>S乙2，因此，乙同學解題相對穩(wěn)定。對于問題（2），由問題（1）可知，甲乙兩位同學失分超過 15 的概率分別為 P1=，P2=，兩人失分數(shù)均超過 15 的概率為 P1P2=。則 X 的所有可能取值為 0，1，2，X～B（2，），P（x～k）=

C2k（）k（）2-k，k=0，1，2，則 X 的分布列為：

X 0 1 2

P

則 X 的均值 E（X）=×2=。通過上述問題的訓練，學生不僅鍛煉了應用統(tǒng)計知識分析數(shù)學問題的能力，也積累了相關(guān)的應用經(jīng)驗。

五、鼓勵應用總結(jié)，提升應用能力

為更好地提高學生應用概率與統(tǒng)計解題的能力，教師在教學中應鼓勵學生做好總結(jié)，一方面，通過總結(jié)學生能認識到相關(guān)試題常設置的“陷阱”，在以后的解題中能夠繞開這些“陷阱”。另一方面，引導學生總結(jié)不同題型高效的解題方法，還能給以后的解題帶來良好指引。學生養(yǎng)成經(jīng)?？偨Y(jié)的良好習慣，不僅有利于構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡，在解題中做好題型以及解題方法的總結(jié)，遇到熟悉的題目能夠快速找到正確的解題思路。在課堂上教師要給學生提供總結(jié)、交流的機會，通過交流使學生糾正對概率與統(tǒng)計認識的誤區(qū)。同時，鼓勵學生積極與其他同學分享概率與統(tǒng)計應用技巧，并抱著虛心學習的態(tài)度，注重借鑒他人的解題經(jīng)驗，不斷提升概率統(tǒng)計知識應用能力。

筆者在講解統(tǒng)計知識時，發(fā)現(xiàn)學生在解答應以下試題時出錯率較高：

小明準備利用周末去當?shù)氐木包c游覽，其去 A，B，C 三個景點的概率分別為 0.4，0.5，0.6。去哪個景點游覽互不影響。用 =3 表示游覽的和未游覽景點數(shù)之差的絕對值。（1）求? 的分布與數(shù)學期望。（2）若函數(shù) f（x）=x2-3x+1 在[2，+∞）上單調(diào)遞增為事件 A，求 A 的概率。

授課中要給學生留下一定的時間，要求學生總結(jié)自己的錯誤，并相互交流討論，分析錯誤原因。經(jīng)過分析與討論，學生得出 =3 表示的事件為兩個互斥事件，但部分學生錯誤地理解為一個事件。學生找到錯誤之后立即改正，重新作答，最終大多數(shù)學生都得出了正確結(jié)果。通過鼓勵學生總結(jié)交流，使學生認識到應用概率與統(tǒng)計解題時，應明確隨機變量的取值對應哪些事件，避免張冠李戴，才能更好地提高應用能力。

在“概率與統(tǒng)計”的教學中不僅要傳授概率統(tǒng)計知識，更要注重概率統(tǒng)計知識應用講解，因此應做好教學經(jīng)驗總結(jié)，尋找高效的應用教學策略，使學生扎實掌握概率統(tǒng)計知識的同時，不斷提高應用水平與應用能力。

【參考文獻】

[1]王志衛(wèi).新課標下的高中數(shù)學概率統(tǒng)計教學方法研究[J].數(shù)理化學習（教研版），2018（8）.

[2]陸秀良.高中數(shù)學概率統(tǒng)計在生活中的應用[J].數(shù)理化解題研究，2019（9）.

（責編 馬群耀）