鄧偉升, 王守峰

(云南師范大學 數學學院， 云南 昆明 650500)

1 引 言

在組合數學中，表示組合數之間的關系的恒等式稱為組合恒等式.Riordan在其著作中第一次系統地介紹了組合恒等式及其相關理論[1]，Gould在《Combinatorial Identities》[2]中收錄了500多個組合恒等式，到目前為止已知的組合恒等式不下千個.組合恒等式的證明是組合數學中的一個重要和活躍的研究課題之一，其證明方法多種多樣[3-6]，如利用組合數的定義和基本性質、數學歸納法、組合分析法、母函數法[7]、分類覆蓋法[8]、概率法[9]、微積分法[10]、遞推關系法等.

本文利用組合分析法、擋板法及母函數法等證明了組合恒等式

2 證明方法

2.1 組合分析法

組合分析法是證明組合恒等式的一種重要的方法，其思想是構造一個組合計數問題模型，先指出組合恒等式的一邊是此組合計數問題的解，然后利用基本的計數原理來證明組合恒等式的另一邊也是該組合計數問題的解.

…

由加法原理可得

2.2 擋板法

圖1 n+r個小球和n+r+1個位置*

…

由加法原理，可得

2.3 母函數法

母函數又稱為生成函數，它是求解組合計數問題的一種重要工具，其思想是借助于冪級數的求和形式，而不考慮冪級數的斂散性來解決相關的組合計數問題.

構造生成函數模型：設A={a1,a2,…,an+r+2}是一個n+r+2元集，則A的r可重復組合數為母函數F(x)=(1+x+x2+…)n+2的展開式中xr的系數，而

又

F(x)=(1+x+x2+…)n+2=(1+x+x2+…)(1+x+x2+…)n+1=

比較左右兩邊xr的系數，可得

2.4 利用不定方程的非負整數解的個數來進行證明

2.5 利用多重集的組合意義

2.6 路徑法

圖2 從(0，0)點到(m,n)點的路徑 圖3 從(0，0)點到(r,n+1)點的路徑

3 小 結

利用組合分析法、擋板法、母函數法、不定方程的非負整數解的個數、多重集的組合意義及路徑法給出了組合恒等式

的組合描述，這些方法直觀、富有啟發(fā)性，對提高數學思維能力以及理解和掌握組合恒等式的證明具有一定的幫助.