毛莉, 趙東霞

(中北大學 理學院,山西 太原 030051)

1 引 言

在機器人技術中，最簡單的問題之一就是利用樞軸上的馬達來控制單鏈接旋轉(zhuǎn)接頭的位置，從數(shù)學角度來講，這可以看作是用一個外部扭矩來控制平面單擺的運動，這種運動可由如下二階非線性微分方程刻畫：

(1)

其中，θ表示偏離自然位置的角位移，L是擺長，g是重力加速度，m表示小球的質(zhì)量，ρ表示阻尼系數(shù)，u(t)表示施加的外部扭矩，即控制器.系統(tǒng)(1)平衡點處的穩(wěn)定性主要取決于線性化方程：

(2)

的動力學性能與控制器的選取[1-4].

Suh和Bien首次引入PDP(位置反饋和時滯位置反饋)控制器[5]：

(3)

其中φ表示反饋過程中的時滯.由于時滯現(xiàn)象是普遍存在的，即控制器本身亦可能含有時滯，因此本文考慮控制器(3)本身具有時滯τ,從而系統(tǒng)(2)(3)可轉(zhuǎn)化為如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(4)

化簡得如下雙時滯系統(tǒng)：

(5)

其特征方程為

λ2+kλ+c-ae-λτ-be-λσ=0

(6)

其中

(7)

近年來，關于受控無阻尼單擺系統(tǒng)(ρ=0)的穩(wěn)定性研究已經(jīng)取得了很多有價值的成果和方法[6-10].但是由于實際的工程系統(tǒng)中，經(jīng)常會存在阻尼項，則系統(tǒng)的特征方程中增加了一次項，采用特征根方法無法解決此類情形；而且，控制器本身的時滯和反饋過程的時滯通常是不同的[11]，因此本文結(jié)合指數(shù)型多項式的零點性質(zhì)及相關理論展開研究，討論了有阻尼單擺系統(tǒng)τ≠φ時參數(shù)值和系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關系，得出了充分性條件.

2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

首先給出以下結(jié)論.

引理1[12]考慮指數(shù)型多項式

(8)

本文所考慮的特征方程(6)是一個包含兩個時滯τ和σ的二階指數(shù)型多項式，特別地，當τ=0時，方程(6)退化為

λ2+kλ+c-a-be-λσ=0

(9)

引理2.已知k>0,則當σ=τ=0時，特征方程(6)的所有根均具有負實部當且僅當c-a-b>0.

證明：當τ=0,σ=0時，特征方程(6)退化為

λ2+kλ+c-a-b=0

(10)

根據(jù)一元二次方程求根公式得

顯然，λ1，2均具有負實部當且僅當c-a-b>0.引理得證.

下面討論τ=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定對于時滯σ的容許區(qū)間.為了方便后續(xù)討論，不妨先給出如下三個條件：

引理3.假設c-a-b>0,τ=0,則

(i)如果系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c還滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，則對于任意的σ∈[0，),特征方程(9)的所有根均具有負實部.

(ii)如果系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c不滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，則必存在某正數(shù)σ0>0,使得對任意的σ∈[0，σ0),特征方程(9)的所有根都具有負實部.

證明：假設λ=iω(ω∈R)是特征方程(9)的純虛根，則代入方程(9)得

-ω2+ikω+c-a-be-iωσ=0

(11)

即

-ω2+ikω+c-a-b(cosωσ-isinωσ)=0

分離實部虛部得

(12)

兩式左右兩邊平方和對應相加得

(c-ω2-a)2+k2ω2=b2

(13)

令ω2=d,化簡得

d2+(2a+k2-2c)d-b2+a2-2ca+c2=0

(14)

則

(15)

其中，Δ=k4+4k2(a-c)+4b2.

根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)可知，當且僅當如下三個條件

之一成立時，方程(14)無正實根.也就是說，當且僅當系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c滿足條件(P1)(P2)(P3)其中之一時，特征方程(9)不會產(chǎn)生純虛根.結(jié)合引理1和引理2可得結(jié)論(i)成立.

如果系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c不滿足條件(P1)(P2)(P3)中的任何一個，即特征方程(9)會產(chǎn)生純虛根.接下來討論產(chǎn)生純虛根時的時滯值σ的臨界情況.從(12)式可得：

(16)

即

(17)

由(14)可得，ω的取值最多有4個，則可設

σ0=min{σj:σj>0},1≤j≤4

(18)

顯然，σ0是特征方程(9)產(chǎn)生第一個純虛根時的臨界值.于是，結(jié)合引理1和引理2可知，當σ∈[0，σ0)時，方程(9)的所有根均有負實部.引理3的結(jié)論(ii得證.

下面分析時滯τ≠0的情形，即系統(tǒng)中同時存在兩個時滯.此時，對于特征方程(6)，假設有純虛根λ=iω(ω∈R),則

-ω2+ikω+c-ae-iωτ-be-iωσ=0

(19)

等價于

(20)

則方程(20)兩端平方和相加可得ω必須滿足

(21)

顯然，方程(21)的根為有限個，不妨設為ω1，ω2，…，ωn,從方程(20)的第一個式子可得

(22)

故可設

τ0=min{τj:τj>0},1≤j≤n

(23)

因此，結(jié)合引理1，引理2和引理3可得以下結(jié)論.

定理1.假定k>0,c-a-b>0.

(i)如果系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)無正根，則對于任意的σ≥τ≥0,方程(6)的根均有負實部，如圖1(a)所示;

(ii)如果系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)有正根，則存在τ0>0,使得當0≤τ≤τ0且σ≥τ時方程(6)的根均有負實部，如圖1(b)所示;

(iii)如果系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c不滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)無正根，則只要0≤τ≤σ<σ0,方程(6)的根均有負實部，如圖1(c)所示;

(iv)如果系統(tǒng)參數(shù)k,a,b,c不滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)有正根，則存在τ0>0,使得當0≤τ<τ0且τ≤σ<σ0時方程(6)的根均有負實部，如圖1(d)所示.

圖1 系統(tǒng)滯量τ-σ平面上的穩(wěn)定性區(qū)域

3 數(shù)值仿真

利用數(shù)值模擬來說明系統(tǒng)(4)在平衡點處的動力學性質(zhì).不妨取小球質(zhì)量m=1,則系統(tǒng)(4)可改寫為：

(24)

情形1:取系統(tǒng)參數(shù)值為:

則由(7)計算可得:a=3,b=1,k=2,c=6,σ=6 s .顯然，

c-a-b>0,Δ=k4+4k2(a-c)+4b2=-28<0

滿足引理1和條件(P1).此時，方程(21)變?yōu)椋?/p>

(25)

圖2方程(21)無實根 圖3系統(tǒng)(24)的狀態(tài)在時間區(qū)間(0，15s)上的收斂性

Fig.2 Equation (21) has no real roots Fig.3 Convergence of the state of the system (24) on the time interval (0,15 s)

情形2:取系統(tǒng)參數(shù)值為:

則由(7)計算可得:a=7,b=5,k=3,c=14.5,σ=1.25 s.容易驗證參數(shù)滿足引理1和條件(P1)，并且方程(21)變?yōu)?

(26)

圖4方程(21)根的分布情況 圖5系統(tǒng)(24)狀態(tài)在時間區(qū)間(0，15s)上的收斂性

Fig.4 Distribution of the roots of equation (21) Fig.5 Convergence of the state of the system (24) on the time interval (0,15 s)

4 結(jié) 語

建立了具有雙時滯單擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，并進行穩(wěn)定性分析.首先固定控制器本身的時滯τ=0,對系統(tǒng)的特征方程進行分析，得出特征根均具有負實部的參數(shù)條件；接著考慮兩個時滯同時存在的情形，通過討論特征方程產(chǎn)生純虛根的臨界點分析，得到了判斷系統(tǒng)零解漸近穩(wěn)定的充分性條件；最后，采用MATLAB數(shù)學軟件進行數(shù)值仿真，其結(jié)果很好的佐證了本文的理論結(jié)果.