羅帥,楊浩,沈吉寶,侯剛,楊秋偉,李博

(紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院, 浙江 紹興 312000)

0 引言

結(jié)構(gòu)損傷識別的基本問題是如何從給定的物理參數(shù)測量中確定結(jié)構(gòu)損傷的出現(xiàn)、位置和程度[1-2]。主流的損傷識別方法可分為基于動態(tài)響應(yīng)的損傷識別方法和基于靜態(tài)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法[3]，其中動態(tài)響應(yīng)的損傷識別方法通過測試振動參數(shù)的變化以檢測結(jié)構(gòu)損傷狀況[4]。但是在實際工程中需要采用昂貴的加速度傳感器以獲得結(jié)構(gòu)在動態(tài)激勵下的時程響應(yīng)參數(shù)[5]，并且動態(tài)信號的處理往往需要分析結(jié)構(gòu)的頻率和振型變化[6]，這需要同時用到結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣[7]。此方法較為復(fù)雜且容易受到噪聲干擾[8]，這給結(jié)構(gòu)的損傷識別帶來了困難。而基于靜態(tài)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷識別則只需要測試外部靜態(tài)荷載作用下的結(jié)構(gòu)變形信息，測試技術(shù)成熟。其主要的難點問題在于所測試數(shù)據(jù)的分析，因此基于靜態(tài)測試結(jié)果的結(jié)構(gòu)損傷識別受到了廣泛關(guān)注[9-10]。王藝霖等[11]基于位移影響線二次差值的概念提出了通過測量移動荷載下主梁跨中的豎向位移增量指標(biāo)進(jìn)行主梁結(jié)構(gòu)損傷定位方法，該方法不適用于具有桁架結(jié)構(gòu)的損傷識別。DOEBLING等[12]通過利用柔度矩陣分解的方法確定局部結(jié)構(gòu)剛度以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的損傷識別，該方法對超靜定結(jié)構(gòu)的分析結(jié)果誤差較大。周衛(wèi)東等[13]利用柔度矩陣求解公式，建立了結(jié)構(gòu)單元剛度擾動參數(shù)和柔度擾動參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷識別的理論研究。MASOUMI等[14-17]利用推導(dǎo)的廣義柔度矩陣進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷識別，但是這類柔度識別的方法目前主要應(yīng)用在具有單一類型構(gòu)件的結(jié)構(gòu)損傷識別上，對具有不同類型構(gòu)件的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的損傷識別尚需進(jìn)一步研究。

本文開展了結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷識別方法研究，引入靈敏度矩陣構(gòu)建結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷識別理論方法，建立結(jié)構(gòu)構(gòu)件損傷前后的變形差與損傷因子之間的函數(shù)關(guān)系，采用最小二乘法求解結(jié)構(gòu)分析模型得到結(jié)構(gòu)所有構(gòu)件的損傷因子，實現(xiàn)構(gòu)件的損傷定位和損傷程度定量分析。該方法主要針對結(jié)構(gòu)外觀檢查難以發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)構(gòu)件低水平損傷，識別精度高，方法簡便可靠，同時本研究通過組合梁橋模型驗證了所提出的構(gòu)件損傷識別方法。

1 靈敏度矩陣及損傷識別方法

對于一個具有N自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其靜力平衡方程為

Ka·{Ua}={F},

(1)

其中:Ka是一個N×N階的矩陣；{Ua}表示在靜力{F}的作用下未損傷結(jié)構(gòu)的N階位移列向量，通常可以用理論模型求得。當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時，損傷后的平衡方程為

Kd·{Ud}={F},

(2)

其中:Kd是結(jié)構(gòu)損傷后N×N階的矩陣；{Ud}表示在靜力{F}的作用下?lián)p傷結(jié)構(gòu)的N階位移列向量。

通常情況下，結(jié)構(gòu)損傷總是以局部構(gòu)件的剛度變化表現(xiàn)出來，因此可以將式(2)寫成如下形式:

(Ka-Δk)·{(Ua+Δu)}={F}，

(3)

式(3)中的Δu為結(jié)構(gòu)損傷后的結(jié)構(gòu)結(jié)點位移向量差，可以表示為

{Δu}={Ud-Ua}，

(4)

式(3)中的Δk為損傷后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣變化，可以表示為

Δk=Ka-Kd。

(5)

假定構(gòu)件單元在發(fā)生損傷時材料的剛度發(fā)生變化，損傷因子為βi，不妨將構(gòu)件單元剛度矩陣損傷前后的Δk可以表示為[18-19]

Δk=βi·ki，

(6)

其中：ki(i=1～N)為有限元數(shù)值模型中第i個單元體的單元剛度矩陣；βi(i=1～N)為該單元體的損傷系數(shù)(0≤βi≤1)。將式(6)代入式(3)并對兩邊對于損傷系數(shù)βi求導(dǎo)：

(7)

忽略高階項可得

(8)

整理式(8)得到

(9)

將式(1)代入式(9)中，可得

(10)

不妨將第i個結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣的靈敏度Bi表示為

Bi=Ka-1·ki·Ka-1·{F}，

(11)

當(dāng)結(jié)構(gòu)在發(fā)生損傷后，位移的變化量可以表示為

{Δu}={(Ua+Δu)}-{Ua}，

(12)

對式(12)進(jìn)行Taylor展開，并取線性一階微量，可得具有N個單元結(jié)構(gòu)的位移變化量{Δu}為

(13)

將式(10)代入式(13)，可以得到具有整體結(jié)構(gòu)損傷后位移變化關(guān)系

(14)

將式(11)代入式(14)中整理可得

(15)

將式(15)展開可以寫成

{Δu}=B1·β1+B2·β2+…BN·βN，

(16)

其中:

(17)

位移變化量{Δu}可以實際測得，B可以采用式(11)求得。對于

{Δu}=B·{β}，

(18)

由于組合結(jié)構(gòu)為超靜定系統(tǒng)，因此靈敏度矩陣B不是滿秩矩陣，可以利用最小二乘法求出其廣義逆以求得損傷向量{β}:

{β}=B⊕·{Δu}，

(19)

其中:B⊕為靈敏度矩陣B的廣義逆;{β}向量中的各元素即為結(jié)構(gòu)損傷后構(gòu)件的損傷系數(shù)。用靜力加載所得結(jié)構(gòu)基本響應(yīng)參數(shù)進(jìn)行損傷程度識別。

2 算例分析

2.1 結(jié)構(gòu)模型簡介

本文將所建立的損傷識別方法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的損傷識別中，針對如圖1所示的結(jié)構(gòu)模型開展基于剛度靈敏度矩陣的損傷理論研究。該結(jié)構(gòu)的材料物理屬性見表1。

圖1 現(xiàn)場結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Photo of bridge structural model in experimental site

表1 材料物理屬性Tab.1 Material properties

將結(jié)構(gòu)模型簡化為如圖2(a)所示的平面結(jié)構(gòu)模型，結(jié)點和單元編碼如圖中所示。該結(jié)構(gòu)模型幾何尺寸為3 000 mm×400 mm×400 mm，平均分成10跨；上下的縱向構(gòu)件為梁單元，其余構(gòu)件為二力桿，采用30 mm×18 mm×2 mm的雙角鋼制作。本文將結(jié)構(gòu)模型劃分為37個單元，其中①～⑩構(gòu)件為梁單元，單元長度為0.3 m；其余的19個單元為桿單元，豎桿長0.4 m，斜桿長0.5 m，試驗驗證中的測點布置如圖2(b)所示。

(a) 結(jié)點及單元排列

(b) 測點布置

2.2 基于剛度靈敏度矩陣的結(jié)構(gòu)損傷分析

采用關(guān)聯(lián)表法[20-21]建立各單元在整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣ki并集總形成結(jié)構(gòu)在損傷前的整體剛度矩陣Ka，在跨中結(jié)點添加集中力為F=2 kN的豎向荷載。則由式(11)可得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度靈敏度矩陣B。由具體工程實際可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生大于20 %的損傷時，結(jié)構(gòu)基本破壞且其損傷狀況肉眼可見。故本文擬考慮4種觀察不到的較小損傷工況：(1)單元21損傷12.5 %；(2)單元21和35剛度損傷12.5 %；(3)單元10和14分別損傷5 %、15 %；(4)單元9、12、19分別損傷3 %、20 %、10 %。采用數(shù)值模型求解整體結(jié)構(gòu)的靜力響應(yīng)Ud。利用式(19)所推導(dǎo)的損傷識別方法求解結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷因子，得到各損傷工況下結(jié)構(gòu)的損傷因子如圖3～圖6所示。

圖3 單元21損傷12.5 %Fig.3 Element 21 damaged with 12.5 %

圖4 單元21、35損傷12.5 %Fig.4 Elements 21 and 35 damaged with 12.5 %

圖5 單元10、14分別損傷5 %和15 % Fig.5 Elements 10 and 14 damaged with 5 % and 15 %

圖6 單元9、12、19分別損傷3 %、20 %、10 %

圖3給出在工況(1)下單一構(gòu)件基于剛度靈敏度的損傷識別最小二乘解(即式(19)的計算結(jié)果)與實際損傷程度的對比；圖4和圖5給出了在工況(2)、(3)下2根構(gòu)件同時損傷時不同桿件損傷系數(shù)與實際情況的對比；圖6給出了在工況(4)下3根構(gòu)件同時損傷時基于剛度柔度靈敏度的損傷系數(shù)與實際情況的對比，具體數(shù)值誤差量見表2。

表2 實際與識別的損傷系數(shù)對比Tab.2 Comparison of damage coefficient between practice and recognition

從表2可知，在4種工況下的實際損傷系數(shù)與識別損傷系數(shù)存在較小的誤差量，造成的原因是在求解損傷系數(shù)時，式(18)對于求解m×n維的矩陣方程采用的最小二乘法是一個誤差最小的近似解，會對結(jié)果造成影響。通過實際和識別的損傷系數(shù)對比，也說明了這些微小誤差的存在。剛度靈敏度矩陣方法為實際工程中及時監(jiān)測構(gòu)件的損傷，為結(jié)構(gòu)安全提供良好的健康監(jiān)測保障提供了可靠的分析方法。

3 試驗驗證

3.1 數(shù)值模型驗證

為了驗證理論模型的分析結(jié)果，在實驗室中制作的結(jié)構(gòu)模型與數(shù)值模型一致。如圖7所示，結(jié)構(gòu)模型底部采用工字鋼將兩榀鋼桁架相連接，工字鋼頂部鋪設(shè)導(dǎo)軌，加載小車(質(zhì)量約20 kg)可沿導(dǎo)軌運動，通過在小車上添加配重塊加載，配重塊質(zhì)量：10 kg/件，施加與數(shù)值分析模型一致的荷載大小，放置18件配重塊在小車上，總質(zhì)量為200 kg。因結(jié)構(gòu)模型結(jié)構(gòu)是10跨對稱結(jié)構(gòu)，所以位移測點的布置是沿下部梁構(gòu)件的4、5、7、9、10號結(jié)點處布置百分表測量結(jié)點的豎向位移變化量，百分表量程為0～10 mm，精度為0.01 mm。測點布置圖如圖2(b)所示。

圖7 實驗室結(jié)構(gòu)靜力加載試驗Fig.7 Structure model static loading tests in laboratory

測試完好結(jié)構(gòu)在靜力荷載下結(jié)點的豎向位移，添加外荷載時將小車移動至6號結(jié)點施加靜載，讀取的結(jié)點位移變化值見表3。

表3 理論值與實測值對比表Tab.3 Comparison table of theoretical and experimental data

對比表3中理論值與實測值可知，選定結(jié)點的測試位移比理論模型的計算結(jié)果存在不到3 %的相對誤差，說明理論模型的分析結(jié)果能準(zhǔn)確反映實際情況。實測位移總是比理論模型的結(jié)果要大，造成的原因可能是實際結(jié)構(gòu)中單元間的連接不能達(dá)到理想的剛性連接狀態(tài)，因此數(shù)值模型的剛度大一些，造成實測的位移較理論值略大。

3.2 損傷分析結(jié)果驗證

利用結(jié)構(gòu)模型分別進(jìn)行數(shù)值分析中工況(1)和工況(2)試驗驗證，單元的損傷程度通過改變構(gòu)件的截面以確定其實際的損傷系數(shù)。由于結(jié)構(gòu)模型構(gòu)件都采用角鋼拼接，因此可以在試驗過程中，采用不同厚度的角鋼組合以實現(xiàn)損傷程度的改變，替換的角鋼如圖8所示(損傷后構(gòu)件雙角鋼采用(2 mm+1.5 mm)組合)，通過改變角鋼厚度使替換后的構(gòu)件剛度矩陣減少12.5 %，即損傷因子取為0.125。

圖8 角鋼對比圖Fig.8 Comparison of angle steels

參考工況(1)，進(jìn)行21號桿單元剛度損失12.5 %的損傷測試，荷載值及加載點與理論模型相同，如圖9所示，貼紙?zhí)幈硎緭p傷構(gòu)件。

圖9 損傷結(jié)構(gòu)靜力加載試驗Fig.9 Damaged structure static loading tests

表4為加載后結(jié)點豎向位移讀數(shù)與采用數(shù)值模型理論分析的位移結(jié)果，對比可知，對于單一構(gòu)件的損傷情況，理論模型能夠?qū)崿F(xiàn)損傷后的變形分析與實際情況保持一致。

表4 理論與實測值對比表Tab.4 Comparison table of theoretical and experimental data

參考工況(2)，進(jìn)行21號和35號桿單元剛度同時損失12.5 %的靜載試驗，位移測點保持不變，結(jié)果見表5，對比可知，對于多根構(gòu)件同時損傷的情況，理論模型能夠用來分析實際的損傷情況，因此所建立的數(shù)值模型是合理可行的。

表5 理論與實測值對比表

通過對工況(1)、(2)的損傷試驗，總體上試驗的結(jié)果能較好的驗證理論推導(dǎo)結(jié)果。不論是單一構(gòu)件還是多個構(gòu)件發(fā)生損傷，都能夠?qū)p傷程度有一個較好的識別結(jié)果，且其中實驗實測值與理論計算值誤差都基本低于4 %，這說明了剛度靈敏度矩陣識別損傷在實際工程中的可應(yīng)用性。

4 結(jié)論

本文基于靜態(tài)響應(yīng)參數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷定位和損傷程度定量識別，利用所建立的剛度靈敏度矩陣與結(jié)構(gòu)變形之間的函數(shù)關(guān)系求解構(gòu)件的損傷因子，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的構(gòu)件損傷定位和損傷程度定量識別。可以得到如下結(jié)論：

① 本文所提基于結(jié)構(gòu)剛度靈敏度矩陣的損傷識別方法，可以較好地分析結(jié)構(gòu)在發(fā)生不易觀測損傷時的損傷程度，實現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的損傷精確定位和損傷程度定量識別。

② 通過對結(jié)構(gòu)模型的損傷試驗驗證，測得的結(jié)構(gòu)損傷后靜力響應(yīng)與理論分析情況基本吻合，試驗結(jié)果驗證了本文所提方法的有效性和實用性。

③ 對于難以通過外觀檢查發(fā)現(xiàn)的微小損傷識別計算過程簡明，不需要求解非線性方程或迭代運算即可獲得良好的結(jié)果，適用于具體實踐中。