薛益民， 彭鐘琪

(徐州工程學(xué)院數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院， 徐州 221018)

隨著非線性問題研究的深入，學(xué)者們建立了比整數(shù)階微分方程模型更為精細(xì)的分?jǐn)?shù)階微分方程模型，以更好地解決復(fù)雜的實(shí)際問題，而其中的很多問題可以化為非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題. 關(guān)于非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的研究也已有許多重要成果[1-10].

BAI和LU[10]利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了非線性分?jǐn)?shù)階邊值問題

受文獻(xiàn)[10]的啟發(fā)，本文利用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理、Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和格林函數(shù)的性質(zhì)，得到如下的非線性Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

(1)

正解的存在性的充分條件，其中，2<α,β≤3,1<γ≤2,1<δ≤2,1+γ≤α,1+δ≤β,f,gC([0,1]×[0,∞),[0,∞)),D表示階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，{α,β,γ,δ}，并舉例說明了定理的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[11]函數(shù)f:+→的α>0階Riemann-Liouville積分為

定義2[11]函數(shù)f:+→的α>0階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)為

其中，n=[α]+1,[α]表示實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分，等式右邊在+上逐點(diǎn)定義.

引理1[11]若α,β>0,f(x)L(0,1),則：

(i)DβIαf(t)=Iα-βf(t)(α>β)；

(ii)DαIαf(t)=f(t)；

下面給出本文定理證明時(shí)所需要的引理.

引理2[12](Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理)假設(shè)P在Banach空間E中是一個(gè)錐,Ω1和Ω2是E的有界開子集，且0Ω1,1?Ω2. 如果A:P∩(2Ω1)→P是一個(gè)全連續(xù)算子，且下列條件之一成立:

(i)‖Ax‖≤‖x‖(xP∩?Ω1)且‖Ax‖≥‖x‖(xP∩?Ω2)；

(ii)‖Ax‖≥‖x‖(xP∩?Ω1)且‖Ax‖≤‖x‖(xP∩?Ω2),

引理3[13](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)假設(shè)U是Banach空間X的非空有界閉凸子集，T是U到其自身的全連續(xù)映射，則至少存在一個(gè)xU，使得Tx=x.

引理4[14]?y(t)C[0,1],2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α，分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

類似可得

引理5[15]假設(shè)G(t,s)=(Gα(t,s),Gβ(t,s))，則G(t,s)滿足：

(i)?t,s[0,1]，有G(t,s)C([0,1]×[0,1])；

(ii)?t,s[0,1]，有G(t,s)≥0，且?t,s(0,1)，有G(t,s)>0；

(iii)?s[0,1]，有

(iv)?s[0,1]，有

其中μ=min{μα=(1/2)α-1,μβ=(1/2)β-1}.

2 主要結(jié)論

令X={u(t)|u(t)C([0,1],[0,))}. ?uX，定義范數(shù)則(X,‖·‖)是Banach空間. 令Y={v(t)|v(t)C([0,1],[0,))}. ?vY，定義范數(shù)X×Y，定義范數(shù)‖(u,v)‖=‖u‖+‖v‖，則(X×Y,‖(u,v)‖)也是Banach空間. 定義錐U?X×Y為

U={(u(t),v(t))X×Y:u(t)≥0,v(t)≥0,t[0,1]}.

?(u,v)X×Y，定義算子T:X×Y→X×Y為

T(u,v)(t)=(Tαv(t),Tβu(t))=

(2)

由引理4知T的不動(dòng)點(diǎn)即為耦合系統(tǒng)(1)的解.

引理6[14]假設(shè)f,gC([0,1]×[0,),[0,))，則算子T:U→U為全連續(xù)的.

為敘述簡(jiǎn)潔，記

其中，μα和μβ由引理5的(iv)給出.

定理1假設(shè)f,gC([0,1]×[0,),[0,))，若存在常數(shù)Ri>ri>0(i=1,2)，使得下列不等式成立：

(H1)f(t,v)≤M1R1((t,v)[0,1]×[0,R1])；

(H2)f(t,v)≥N1r1((t,v)[0,1]×[0,r1])；

(H3)g(t,u)≤M2R2((t,u)[0,1]×[0,R2])；

(H4)g(t,u)≥N2r2((t,u)[0,1]×[0,r2])；

(H5)0

則耦合系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正解.

證明由引理6可知算子T:U→U是全連續(xù)的. 令

‖(u(t),v(t))‖

?(u,v)U∩?ΩR，有‖(u,v)‖=R. ?t[0,1]，由(H1)、(H5)和引理5的(ii)、(iii)，有

即

‖Tαv(t)‖≤R1.

(3)

由(H3)、(H5)和引理5的(ii)、(iii)，有

即

‖Tβu(t)‖≤R2.

(4)

由式(3)、(4)，可得

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≤R1+R2=R=‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≤‖(u,v)‖ ((u,v)U∩?ΩR).

令Ωr={(u(t),v(t))|(u(t),v(t))X×Y,‖(u(t),v(t))‖

即

‖Tαv(t)‖≥r1.

(5)

由(H4)、(H5)和引理5的(ii)、(iv)，有

即

‖Tβu(t)‖≥r2.

(6)

由式(5)、(6)，可得

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≥r1+r2=r=‖(u,v)‖，

即

‖T(u,v)‖≥‖(u,v)‖ ((u,v)U∩?Ωr*).

由引理2，算子T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(u,v)U∩(RΩr)，即耦合系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正解. 證畢.

定理2假設(shè)f,gC([0,1]×[0,),[0,))，若存在常數(shù)ai,bi>0(i=1,2)，使得下列不等式成立：

(I1)f(t,v)≤a1+b1vρ1,?(t,v)[0,1]×[0,),ρ1(0,1)；

(I2)g(t,u)≤a2+b2uρ2,?(t,u)[0,1]×[0,),ρ2(0,1)，

則耦合系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正解.

證明取定常數(shù)r*，使得

(7)

Ωr*={(u,v)(t)|(u,v)(t)X×Y,‖(u,v)(t)‖≤r*,

t[0,1]},

(8)

則Ωr*是Banach空間X×Y的非空有界閉凸子集，下面證明T:Ωr*→Ωr*. ?(u,v)Ωr*，由式(2)、(7)、(8)和(I1)，有

r*/4+r*/4=r*/2,

即

‖Tαv(t)‖≤r*/2.

(9)

由式(2)、(7)、(8)和(I2)，有

r*/4+r*/4=r*/2,

即

‖Tβu(t)‖≤r*/2.

(10)

由式(9)、(10)，可得

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≤r*

(?(u,v)Ωr*),

即T：Ωr*→Ωr*.

由引理6，知算子T：Ωr*→Ωr*是全連續(xù)的. 由引理3，耦合系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正解. 證畢.

3 應(yīng)用舉例

本節(jié)給出2個(gè)例子以驗(yàn)證定理的有效性.

例1考慮如下耦合系統(tǒng)邊值問題

(11)

其中，2<α=5/2,β=7/3≤3,1<γ=3/2,δ=5/4≤2，滿足1+γ≤α,1+δ≤β，而且

易知f,gC([0,1]×[0,),[0,)). 經(jīng)計(jì)算，可得

因此

由于

因此

選取R1=4,r1=1/12，R2=3,r2=1/9，則有

((t,v)[0,1]×[0,R1])，

((t,v)[0,1]×[0,r1])，

((t,u)[0,1]×[0,R2])，

((t,u)[0,1]×[0,r2])，

且滿足0

例2考慮如下耦合系統(tǒng)邊值問題

(12)

其中，0

易知f,gC([0,1]×[0,),[0,))，且

|f(t,v)|≤0.683 940v3/7+0.857 143,

|g(t,u)|≤21.085 537u2/3+1.571 429.

定理2的條件均被滿足，故耦合系統(tǒng)(12)在[0,1]上至少有1個(gè)正解.