時(shí)統(tǒng)業(yè), 董芳芳

(海軍指揮學(xué)院, 江蘇 南京 211800)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) f(x)是[a,b]上的凸函數(shù), 則有

式(1)稱為Hermite-Hadamard 不等式[1].

文[2]將式(1)加權(quán)推廣為

其中 f(x) 是[a,b]上的凸函數(shù), g(x)是[a,b]上正的可積函數(shù), 并且 g(x)關(guān)于對(duì)稱.式(2)稱為Hermite-Hadamard-Fejér 不等式.

定理1[3](Iyengar 不等式) 設(shè)f是[a,b]上的可微函數(shù), 且存在常數(shù)M,使得對(duì)任意x∈[a,b]有|f′(x)|≤M, 則

文[4]將式(3)推廣為式(4).

定理2[4]設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo),f′(x)在[a,b]上可積, 且在[a,b]上滿足γ≤f′(x)≤Γ, 則有

其中S1=

定理3[5]設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo),f′ (x)在[a,b]上可積, 且滿足γ≤f′(x)≤Γ,g(x)是[a,b]上正的可積函數(shù), 且g(x)關(guān)于對(duì)稱, 則有

近年來, 分形理論在科學(xué)工程領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用.文[6, 7]系統(tǒng)闡述了建立在分形空間上的局部分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論.設(shè) ?α(0＜α≤1)是分形實(shí)線的α型集合,aα,bα,cα∈?α, 則在這個(gè)分形集中有如下運(yùn)算律:

1)aα+bα∈?α,aα bα∈?α;

2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α;

3)aα+ (bα+cα)=(aα+bα)+cα;

4)aα bα=bα aα=(ab)α=(ba)α;

5)aα(bα cα)=(aα bα)cα;

6)aα(bα+cα)=aα bα+aα cα;

7)aα+ 0α=0α+aα=aα,aα1α=1α aα=aα.

下面使用Gao-Yang-Kang 的方法來描述局部分?jǐn)?shù)階的導(dǎo)數(shù)和積分.

定義1[6,7]設(shè)f:? →?α是不可微函數(shù), 如果對(duì)任意ε＞ 0, 存在δ＞ 0, 使得當(dāng)|x-x0|＜δ時(shí), 有|f(x) -f(x0)|＜εα, 則稱f在點(diǎn)x0處局部分?jǐn)?shù)階連續(xù).若f在區(qū)間I?? 上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù), 則記為f∈Cα(I).

定義2[6,7]設(shè)f∈Cα(a,b), 則f在點(diǎn)x0處的局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

若對(duì)任意x∈I?? 時(shí)存在f(α)(x), 則記為f∈Dα(I).

定義3[6]設(shè)f∈Cα[a,b],f在點(diǎn)[a,b]上的α階局部分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中a=t0＜t1＜…＜tN-1＜tN=b, Δtj=tj+1-t j(j=0,1,…,N-1), Δt=max{ Δt1, Δt2,…, ΔtN-1}.

規(guī)定當(dāng)a=b時(shí),當(dāng)a＞b時(shí),若對(duì)任意x∈[a,b]存在則記為

在閉區(qū)間上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)的函數(shù)是局部分?jǐn)?shù)階可積的.局部分?jǐn)?shù)階定積分有與黎曼定積分類似的性質(zhì), 如線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、比較性質(zhì)、絕對(duì)不等式、牛頓-萊布尼茨公式、換元法、分部積分法等[6～8].

引理1[6](1) 設(shè)則特別地, 若f(x)恒為常數(shù)c, 則有

(2) 設(shè)f,g∈Dα[a,b]且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b], 則

引理2[8]設(shè)f∈Cα[a,b], 0＜α≤1, 積分上限函數(shù)定義為則Π∈Dα[a,b], 且對(duì)于任意x∈[a,b]有Π(α)(x)=f(x).

引理3[9](局部分?jǐn)?shù)階微分中值定理) 設(shè)函數(shù)F(x)在[a,b]上連續(xù), 在(a,b)上α階局部分?jǐn)?shù)階可微, 則對(duì)于任意x0,x∈[a,b],x0＜x, 存在ξ∈[x0,x], 使得

文[10]給出分形集上的廣義凸函數(shù)的概念, 并建立了廣義凸函數(shù)的Hermite-Hadamard 型不等式, 推廣了凸函數(shù)的Hermite-Hadamard 型不等式.

定義4[10]設(shè)區(qū)間I??, 函數(shù)f:I→?α, 若對(duì)任意u,v∈I和任意λ∈[0,1], 有

則稱f是I上的廣義凸函數(shù).

定理4[10](廣義凸函數(shù)的Hermite-Hadamard 型不等式) 設(shè)f:[a,b]→?α是[a,b]上的廣義凸函數(shù),則有

文[11]給出了式(6)的加權(quán)推廣.

定理5[11](廣義凸函數(shù)的Hermite-Hadamard-Fejér型不等式) 設(shè)是[a,b]上的廣義凸函數(shù),g:[a,b]→?α是非負(fù)的局部分?jǐn)?shù)階可積函數(shù)且關(guān)于對(duì)稱, 則有

有關(guān)局部分?jǐn)?shù)階的不等式還可參閱文[12～15].本文仿照文[16]的方法, 將Iyengar 不等式(4)推廣到分形集上.為證明本文的主要結(jié)論, 需要下面引理:

引理4[17]設(shè)f∈Dα[a,b],g∈Cα[a,b].若對(duì)任意x∈[a,b], 有則有

2 主要結(jié)果

定理6 設(shè)區(qū)間I??,I°是I的內(nèi)部,f:I°→?α,a,b∈I°,a＜b,f∈Dα[a,b], 對(duì)任意x∈[a,b]有且存在常數(shù)γ,?！??α,γ＜Γ, 使得γ≤f(α)≤Γ,g∈Cα[a,b], 則對(duì)任意x∈[a,b]有

其中

證明對(duì)任意ε∈[a-x,b-x], 利用引理4, 有

利用引理1 和引理2 得

類似得

綜合式(9)～(11), 得

其中

于是有

其中

因?yàn)?/p>

而且由引理3 有γ≤Γ(1 +α)Sα≤Γ, 于是有從而有ε0∈[a-x,b-x].又因當(dāng)a-x≤ε＜ε0時(shí),當(dāng)ε0＜ε≤b-x時(shí),φ(α)(ε) ＞ 0, 故φ(ε)在點(diǎn)ε=ε0處取得最小值, 且

其中

綜合式(12)～(16), 則式(8)的右邊兩個(gè)不等式得證.

當(dāng)γ≤f(α)≤Γ時(shí), -?！?-f)(α)≤-γ, 對(duì)-f應(yīng)用上面結(jié)果, 則式(8)的左邊兩個(gè)不等式得證.

推論1 設(shè)區(qū)間I??,I°是I的內(nèi)部,f:I°→?α,a,b∈I°,a＜b,f∈Dα[a,b], 對(duì)任意x∈[a,b]有且存在常數(shù)γ,Γ∈ ?α,γ＜Γ, 使得γ≤f(α)≤Γ, 則對(duì)任意x∈[a,b]有

證明在定理6 中取 1g≡即可得證.

推論2 設(shè)區(qū)間I??,I°是I的內(nèi)部,f:I°→?α,a,b∈I°,a＜b,f∈Dα[a,b], 對(duì)任意x∈[a,b]有且存在常數(shù)γ,?！??α,γ＜Γ, 使得γ≤f(α)≤Γ, 則有

證明在推論1 中取即可得證.

注1 式(17)給出了式(4)在分形空間上的推廣.

推論3 設(shè)區(qū)間I??,I°是I的內(nèi)部,f:I°→?α,a,b∈I°,a＜b,f∈Dα[a,b], 對(duì)任意x∈[a,b]有且存在常數(shù)γ,?！??α,γ＜Γ, 使得γ≤f(α)≤Γ,g∈Cα[a,b],g關(guān)于對(duì)稱, 則有

特別是, 當(dāng) 1g≡時(shí), 有

證明在定理6 中取則式(18)得證.

注2 式(18)給出了式(5)在分形空間上的推廣.