田強寶，謝 冬

(安徽師范大學(xué)計算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

0 引言

傳統(tǒng)的信號獲取與處理過程包括采樣、壓縮、傳輸、解壓縮4個部分，其采樣過程遵循奈奎斯特采樣定理.這種方式采樣數(shù)據(jù)量大，先采樣后壓縮，浪費了大量的傳感元、時間和存儲空間.壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論是由D. Donoho、 E. Candes以及華裔科學(xué)家T. Tao等人提出[1-3].CS的優(yōu)勢在于在采樣信號的同時，就對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮處理.這種“少采樣，巧計算”的原則，用后端處理器的計算優(yōu)勢減輕前端采樣設(shè)備的負(fù)擔(dān)，使得超帶寬信號的處理更加有效.除了在信號處理領(lǐng)域以外，CS也被應(yīng)用于圖像加密[4]，無線傳感網(wǎng)絡(luò)[5]，遙感圖像處理[6]，圖像采集設(shè)備的開發(fā)[7]，光學(xué)成像系統(tǒng)設(shè)計[8]，數(shù)字水印[9]等領(lǐng)域.

多圖像加密作為一種新興多媒體安全技術(shù)，在信息安全領(lǐng)域更是一個重要的內(nèi)容.常用的圖像加密技術(shù)包括置亂[10]、混淆[11]與擴(kuò)散[12].但傳統(tǒng)的圖像加密方案并不能減少密文數(shù)據(jù)量，如采用數(shù)據(jù)加密標(biāo)準(zhǔn)(Data Encryption Standard, DES)或高級加密標(biāo)準(zhǔn)(Advanced Encryption Standard，AES)對像素點進(jìn)行加密.而壓縮感知加密實現(xiàn)了發(fā)送端采樣、壓縮和加密同時完成以及接收端解密、解壓、重構(gòu)同時完成；并且在此過程中能夠保證圖像傳輸?shù)膶崟r性和安全性.非常適合用于圖像這種大數(shù)據(jù)量和高冗余度的信號通信中.目前國內(nèi)外對壓縮感知與圖像加密相結(jié)合的研究也較多.吳小博等[13]等從圖像的像素級與位級設(shè)計了聯(lián)合加密技術(shù)，測試數(shù)據(jù)顯示了其加密方案有效性.唐等提出了一種基于位平面和混沌映射的多圖像加密算法[14].然而該算法每次只能加密4幅圖像.2005年，HE等[15]提出了基于相位匹配技術(shù)的多圖像加密和水印算法，實現(xiàn)了多圖像隱藏加密，顯著提高了數(shù)據(jù)傳輸?shù)男?

為提高多圖像內(nèi)容傳輸安全性，提出基于壓縮感知理論與隨機(jī)像素交換算法相結(jié)合的多圖像聯(lián)合加密方案，在降低密鑰的空間大小同時提高加密系統(tǒng)安全性.本文中對算法進(jìn)行了測試，證實了算法的有效性.

1 基礎(chǔ)知識

1.1 壓縮感知

圖1 壓縮感知理論基本過程圖Fig.1 Basic process of compressed sensing theory

傳統(tǒng)壓縮技術(shù)從信號本身特性來尋找和消除數(shù)據(jù)冗余，這種壓縮算法復(fù)雜消耗較大.而壓縮感知直接感知壓縮后的信息，信號采集和壓縮同時完成，只要一個信號在某個變換域中是可壓縮的或稀疏的，就可以利用測量矩陣將高維信號轉(zhuǎn)換為低維空間，進(jìn)而信號重構(gòu)問題也就轉(zhuǎn)換為一個優(yōu)化問題求解.其理論依據(jù)如下[16]： 1)假設(shè)有一個長度為N的信號X在某個正交基Ψ上是K稀疏的(即含有K個非零值)；2)找到一個與Ψ不相關(guān)的觀測基Φ；3)用觀測基Φ觀測原信號得到M維的觀測向量Y，其中K

1.2 隨機(jī)像素交換算法

隨機(jī)像素交換[17](random pixel exchanging, RPE)是對相同維度圖像中像素進(jìn)行交換的方法.假設(shè)I1與I2分別是兩個維度相同的矩陣,矩陣大小為M×N，R是一個與I1、I2維度相同的隨機(jī)矩陣(本文取同維的測量矩陣)，值范圍限于[0,1],‘’表示交換兩個矩陣位置的值，A1'和A2'表示完成隨機(jī)像素交換后的矩陣.隨機(jī)像素置換算法數(shù)學(xué)公式如下：

(1)

1≤m≤M, 1≤n≤N，其中M,N是隨機(jī)矩陣R的維度，‘round’表示四舍五入函數(shù).隨機(jī)矩陣R的平均值計算如下：

(2)

圖2 隨機(jī)矩陣置換過程圖Fig.2 Random permutation process

1.3 圖像解密算法

本文采用OMP[18]算法(正交匹配追蹤算法)來對密文圖像進(jìn)行解密重構(gòu).OMP算法沿用了MP算法中的原子選擇準(zhǔn)則，即通過求余量r與感知矩陣Φ中原子之間內(nèi)積的絕對值來選擇最佳原子組合，不同的是OMP在分解的每一步對所選擇的全部原子進(jìn)行正交化處理，這使得在精度要求相同的情況下，OMP算法的收斂速度更快.

2 基于壓縮感知和隨機(jī)像素置換的多圖像聯(lián)合加密方案

2.1 方案描述

對于n幅明文圖像，方案的加密過程首先利用Logistic混沌序列構(gòu)造測量矩陣進(jìn)行壓縮，然后對壓縮后每兩幅圖像之間利用RPE算法進(jìn)行多輪交換置亂，以此來提高密文的安全性(如圖3所示).對于解密過程，首先將密文圖像分割成n部分，按照RPE逆順序?qū)幅分割的圖像進(jìn)行隨機(jī)像素逆交換得到壓縮圖像，再利用OMP重構(gòu)算法依次進(jìn)行解密(如圖4所示).

圖3 加密過程Fig.3 Encryption process圖4 解密過程Fig.4 Decryption process

2.1.1 加密過程

Logistic混沌映射為：

Xn+1=μXn(1-Xn),Xn∈(0,1)

(3)

圖5 圖像間像素隨機(jī)置換Fig.5 Random replacement of pixels between images

其中μ∈[3.57,4].假設(shè)測量矩陣維度為M×N，首先利用初值為X1的Logistic混沌映射產(chǎn)生長度為M×N×q+1的序列，每隔q個元素取一個元素依次填充到測量矩陣中[20].其次將矩陣隨機(jī)像素交換與測量矩陣?yán)?具體加密過程如下： ①利用密鑰X1,X2,…, Xn構(gòu)造n個大小為M×N的測量矩陣Φ1,Φ2,…,Φn.分別使用Φ1,Φ2,…,Φn測量A,B,…,N，測量結(jié)果為A1,B1,…,N1.②按照圖5所示的順序?qū)y量后的圖像進(jìn)行像素交換.由于隨機(jī)矩陣R1,R2,…,Rn的元素值范圍都固定在[0,1]，測量矩陣的元素值范圍為[0,λ],且隨機(jī)矩陣和測量矩陣的維度相同，因此將隨機(jī)矩陣和測量矩陣?yán)?設(shè)定Rn=Φn/λ.如圖5所示圖像A1與圖像B1交換使用隨機(jī)矩陣R1，圖像B1與圖像C1交換使用隨機(jī)矩陣R2，以此類推.

2.1.2 解密過程

解密的執(zhí)行過程如下：①隨機(jī)像素逆置換.按照RPE的逆交換順序進(jìn)行像素交換，得到壓縮后的圖像.②OMP重構(gòu)算法對壓縮圖像進(jìn)行解密.

3 實驗分析

3.1 正確性

為驗證所提出加密方案的正確性，實驗首先用256*256灰度圖片Lena和Building作為第一組聯(lián)合加密的明文圖像.Logistic混沌映射的初值要求范圍在(0,1)，本組實驗分別取X1=0.11，X2=0.23，μ=3.792，q=2，M=192(將圖像加密壓縮為原圖的3/4).加密和解密結(jié)果如圖6所示.

為擴(kuò)大聯(lián)合加密的樣本容量，并同時分析本文所提出的算法對奇數(shù)張和偶數(shù)張圖片是否都適用.本組實驗使用256*256的灰度圖像Lena、Peppers和Bear作為實驗樣本.實驗測量矩陣初值分別為X1=0.11、X2=0.23和X3=0.89.混沌序列的參數(shù)為μ=3.798，q=2，測量次數(shù)M=192.加解密效果如圖7所示.

a)明文Building; b)明文Lena; c)密文圖像; d)解密的Building; e)解密的Lena圖6 加解密效果示意圖(Ι)Fig.6 Effect demonstration of encryption and decryption(Ι) a)明文Building; b)明文Lena; c)明文Bear;d)密文圖像; e)解密的Building; f)解密的Lena; g)解密的Bear圖7 加解密效果示意圖 (Ⅱ)Fig.7 Effect demonstration of encryption and decryption(Ⅱ)

為分析方案的容錯率，本組實驗將采用4副256*256的灰度圖像Lena, Couple, Boat以及Plane作為實驗樣本.實驗測量矩陣的4個初值分別取X1=0.11，X2=0.23,X3=0.1，X4=0.3.混沌序列的參數(shù)為μ=3.99，q=2，測量次數(shù)M=192.加密解密效果如圖8所示.

為驗證奇數(shù)張圖片以及融合非標(biāo)準(zhǔn)測試圖片下方案是否可靠,本組實驗采用256*256的灰度圖像Boat，Lena,Camera,Terrace以及Peppers作為實驗樣本.測量矩陣的初值分別取X1=0.11,X2=0.23,X3=0.1,X4=0.3,X5=0.34，混沌序列參數(shù)為μ=3.1779，q=2，測量次數(shù)M=192.加密解密效果如圖9所示.

以上4組實驗表明本文方案提出的多圖像加密算法可以針對任意多副的明文圖像進(jìn)行聯(lián)合加密，且解密端重構(gòu)的圖像效果較好.

a)明文 Lena; b)明文 Building; c)明文 Bear; d)明文 Lady ; e)密文圖像; f)解密的Lena; g)解密的Building; h)解密的Bear; i)解密的Lady圖8 加密解密效果示意圖(Ⅲ) Fig.8 Effect demonstration of encryption and decryption(Ⅲ)a)明文Building; b)明文 Farmland; c)明文 Plane; d)明文Movie; e)明文 Ship; f)密文; g)解密的Building; h)解密的Farmland; i)解密的Plane; j)解密的Movie; k)解密的Ship圖9 加密解密效果示意圖(Ⅳ)Fig.9 Effect demonstration of encryption and decryption(Ⅳ)

3.2 加密解密結(jié)果相關(guān)性分析

表1 2幅圖像聯(lián)合加密不同方向的相關(guān)系數(shù)Tab.1 Two images jointly encrypt correlation coefficients in different directions

表2 3幅圖像聯(lián)合加密不同方向的相關(guān)系數(shù)Tab.2 Three images jointly encrypt correlation coefficients in different directions

表3 4幅圖像聯(lián)合加密不同方向的相關(guān)系數(shù)Tab.3 Four images jointly encrypt correlation coefficients in different directions

表4 5幅圖像聯(lián)合加密不同方向的相關(guān)系數(shù)Tab.4 Five images jointly encrypt correlation coefficients in different directions

表1至表4分別介紹了2副、3副、4副以及5副圖像聯(lián)合加密后所得出的明文圖像和密文圖像不同方向的相關(guān)性系數(shù).通過對比可以發(fā)現(xiàn)各個試驗中明文圖像的不同方向相關(guān)性系數(shù)接近于1而密文圖像不同方向的相關(guān)性系數(shù)均小于0.1，此結(jié)果說明明文圖像像素點之間相關(guān)性較高，而密文圖像像素點之間相關(guān)性較小.圖9 展示了5副圖像聯(lián)合加密的明文圖像以及密文圖像各個方向上的相關(guān)性.以上相關(guān)性分析可以得出本文所提出的算法具有較好的明文圖像置亂效果，算法安全性較高.

圖10 5幅圖像聯(lián)合加密明文圖像以及密文圖像各個方向上的相關(guān)性Fig.10 Five images combined with encrypted plaintext images and correlations in all directions of ciphertext images

4 結(jié)論

本文基于壓縮感知與隨機(jī)像素交換技術(shù),提出一種可以實現(xiàn)多幅圖像同時加密傳輸?shù)姆桨?將Logistic映射產(chǎn)生的測量矩陣與隨機(jī)像素交換矩陣相捆綁，提高了整個加密系統(tǒng)的安全性.實驗結(jié)果表明方案具有正確性，抗攻擊性較強特點.