劉燕

在高中數(shù)學(xué)的公式教學(xué)中，教師應(yīng)以教材為本，立足學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)，著力提高學(xué)生在推導(dǎo)公式過程中的學(xué)力，培養(yǎng)學(xué)生對整個(gè)數(shù)學(xué)概念體系的把握，提升數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)一步完善和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。那么，如何合理有效地利用教材，使課堂的含金量更高呢？本文將從以下幾個(gè)方面進(jìn)行探討。

一、以生為本，確立認(rèn)知結(jié)構(gòu)

皮亞杰認(rèn)為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有三個(gè)特性：整體性、轉(zhuǎn)換性、自身調(diào)整性。學(xué)生學(xué)習(xí)新知的過程離不開其原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在學(xué)“兩角和與差的余弦公式”前，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了三角函數(shù)的各項(xiàng)性質(zhì)，周期性便是其中之一，從周期運(yùn)動(dòng)合成的角度提出變換的課題，不僅可以賦予三角變換以實(shí)際的意義，而且可以使三角函數(shù)變換的教學(xué)與“三角函數(shù)”“平面向量”的教學(xué)融于一體。

事實(shí)上，很多老師在教學(xué)的時(shí)候，認(rèn)為它的落腳點(diǎn)太高，思維跳躍過大，學(xué)生可能很難理解，便摒棄了這個(gè)引入，直接讓學(xué)生求cos（60°-30°）及cos60°，cos30°，sin60°，sin30°的值，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)值之間的聯(lián)系，再通過幾個(gè)特例驗(yàn)證，得到公式。這樣的引入看似非常自然和諧，課堂上你問我答，其樂融融，好不歡快，但實(shí)際的效果卻有待商榷。

從三角函數(shù)的周期運(yùn)動(dòng)提出周期運(yùn)動(dòng)的疊加，本身就是對知識的一個(gè)延續(xù)研究，符合新課標(biāo)對知識呈螺旋上升的編排規(guī)律，也可以培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)發(fā)展的觀點(diǎn)來看待數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)序列、完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升其數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。教師的教學(xué)不能以導(dǎo)入容易與否作為唯一標(biāo)準(zhǔn)，要以能否提高學(xué)生的綜合能力為目標(biāo)。再由向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，可知（1，1），另一方面，cosθ，其中，θ為向量與向量（1，1）的夾角，于是cosx+sinx=。這個(gè)式子既表明了周期運(yùn)動(dòng)的疊加仍是簡諧運(yùn)動(dòng)，又告訴我們可以用x的三角函數(shù)和的三角函數(shù)來表示，那么又可以進(jìn)一步啟發(fā)我們聯(lián)想到：cos（α-β）能否用α的三角函數(shù)與β的三角函數(shù)來表示？這是一個(gè)從特殊到一般的思想，可以培養(yǎng)學(xué)生的推理與化歸能力，也符合我們對問題的一般研究策略。這樣的學(xué)習(xí)可以使新舊知識結(jié)構(gòu)不斷交替融合，知識體系不斷豐富、擴(kuò)張，逐步形成一套新的更加完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這種基于“量力性原則”基礎(chǔ)上的對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至終身能力發(fā)展的培養(yǎng)都是具有深刻意義的。

二、以書為基，豐富課堂導(dǎo)入

教科書為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)提供了廣闊的空間，教材里呈現(xiàn)的每一處數(shù)學(xué)知識都有它的“固著點(diǎn)”，從而為學(xué)生數(shù)學(xué)知識的整體化做準(zhǔn)備。我們應(yīng)該在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)多維的課堂導(dǎo)入，滲透基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)文化，不妨選取以下案例：

案例1：20世紀(jì)90年代末，美國《數(shù)學(xué)雜志》開辟?zèng)]有文字證明的證明專欄，以數(shù)學(xué)史為背景的導(dǎo)入一下子受到了廣大數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注，右圖就是其中刊登的一個(gè)典型案例！思考：由圖，你能得到什么公式？

學(xué)生不難得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（0<α<，0<β<）。進(jìn)一步思考：若α，你能推導(dǎo)出什么公式來？

設(shè)計(jì)意圖：平面幾何是三角函數(shù)的“母體”，三角公式源自幾何命題，用平面幾何圖形的方法來研究三角運(yùn)算及運(yùn)動(dòng)學(xué)自古而有之。初中研究的三角函數(shù)就是放在直角三角形中研究的，到了高中，我們要研究更復(fù)雜的三角問題，依然可以回到“最初的起點(diǎn)”，依托知識本身一脈相承的體系去尋找答案，這種能力的培養(yǎng)對學(xué)生至關(guān)重要，也是教材引入的意義和精髓所在。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]的案例恰恰也佐證了這一點(diǎn)，特別是北京市第十中學(xué)的張麗娟老師的分蛋糕問題的構(gòu)造是十分有新意的。

不僅如此，此案例跟數(shù)學(xué)史有關(guān)，對學(xué)生的吸引力更大，在解決問題的同時(shí)，又滲透了對學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的培養(yǎng)。與此相關(guān)的一個(gè)證明便是托勒密定理：已知圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC。在利用三角形相似證出結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)，便可以得出兩角差的余弦公式。

這部分內(nèi)容可以讓學(xué)生課后自己查閱資料進(jìn)行研究，并可進(jìn)一步引發(fā)思考：若∠ABC=α，∠CBD=β，則可以得出什么公式？

通過一系列的研究，學(xué)生積極地思考、探索，定能較好地構(gòu)建邏輯框架結(jié)構(gòu)圖。

案例2：在高中階段研究三角函數(shù)，馬上應(yīng)想到其對應(yīng)的幾何意義——三角函數(shù)線，隨即聯(lián)想到可以放到單位圓中進(jìn)行研究，構(gòu)造出圖形，如右圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸正半軸為始邊分別作角α，α-β，，終邊分別與單位圓交于P，Q兩點(diǎn)，即∠POx=α，∠POQ=β，∠QOx=α-β，思考：cosα，cosβ，sinα，sinβ分別表示哪條線段？再聯(lián)系圖形中的幾何關(guān)系OF=OE+EF=OE+GO，即可得：。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)中的數(shù)與形是緊密相連的，三角函數(shù)也有與之對應(yīng)的“形”，借助單位圓這一有效載體，數(shù)形結(jié)合，充分發(fā)揮圖形的作用，讓學(xué)生在更加直觀的情境下研究，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)地發(fā)現(xiàn)、理性地思考，提高分析、解決問題的能力。

三、以做為證，檢驗(yàn)研究結(jié)果

愛因斯坦說過：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大成就為基礎(chǔ)，那就是希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何中）以及通過系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時(shí)期）?！笔穼幹薪淌谝脖硎荆骸拔覀儽仨毲宄澜缟嫌泻芏鄸|西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷。”智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運(yùn)用、依賴經(jīng)驗(yàn)，你只能讓學(xué)生在實(shí)際操作中磨煉，過程的教育不僅僅是指在授課時(shí)要講解或者讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式，而要注重對學(xué)生探究的過程、思考的過程、反思的過程的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)亦是如此，讓學(xué)生真正去“做”、真正參與“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，建立合理的、必然的數(shù)學(xué)知識、以“百科管理構(gòu)建法”構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。教師要注重學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)造的多維發(fā)展，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出“再創(chuàng)造”的思維空間，引申學(xué)生的無限創(chuàng)造性認(rèn)知，而不能僅僅重視教學(xué)活動(dòng)中知識的單向傳輸。

通過上述一系列的研究，請學(xué)生自己嘗試證明公式，由于cosαcosβ+sinαsinβ的形式與向量中的類似，因此可以在單位圓中聯(lián)想到向量的數(shù)量積，設(shè)，，將α-β看作是兩向量的夾角，則，另一方面，，通過“算兩次”，也稱作“富比尼原理”，即一個(gè)問題兩種角度考慮，可得兩角差的余弦公式。正如波利亞所說：“注意對特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果，也可以啟發(fā)出一般性的證明方法?！?/p>

深入思考：前面是通過向量的數(shù)量積的兩種表示得出了公式，既然已經(jīng)聯(lián)想到向量，那能否直接在單位圓中表示出P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos （α-β），sin （α-β）），如上圖，設(shè)單位圓與x軸正半軸交于，觀察圖形，可知△P1OP2與△P3OP0全等，即，因此，化簡即可得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

通過這樣層層遞進(jìn)式的探究，可以幫助學(xué)生更好地感受向量與三角函數(shù)的緊密聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識體系的博大精深。

四、以問為引，優(yōu)化思維過程

以問題引導(dǎo)思考為教學(xué)之常態(tài)，數(shù)學(xué)問題本身的魅力才是引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探索的關(guān)鍵，教師必須“以生為本”，充當(dāng)一個(gè)“陪跑者”，盡可能幫助學(xué)生找到問題的“生長點(diǎn)”，構(gòu)建更加清晰、完整的知識板塊，強(qiáng)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如教師可以設(shè)置以下問題：

問題1：前面研究的角α、β有什么要求？

問題2：-β與的夾角有何關(guān)系、如何處理？教材上為什么說只需考慮的情況？

問題3：有了兩角差的余弦，如何得到兩角和的余弦、兩角和與差的正弦？為什么可以用-β直接換β？如何理解用-β代替β的幾何意義？

問題4：前面學(xué)的誘導(dǎo)公式與兩角和與差的余弦公式有何關(guān)系？

問題5：如何記憶這幾組公式？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題串的形式，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的求知欲望，絲絲緊扣，對前面的研究進(jìn)行“打補(bǔ)丁”，得到更一般的、科學(xué)的結(jié)論，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法，提高對問題的整合能力。

五、以思為歸，提升核心素養(yǎng)

教材是實(shí)施新課程的重要資源，教材的編寫凝聚著大量專家、學(xué)者的心血，是科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、迎合時(shí)代發(fā)展要求的。教師應(yīng)充分挖掘教材的設(shè)計(jì)意圖，選擇有效的教學(xué)策略，使學(xué)生在最有內(nèi)涵的課堂中汲取養(yǎng)分，發(fā)展自己的學(xué)習(xí)能力。

江蘇省數(shù)學(xué)教研員李善良博士亦說過：“要想做一名優(yōu)秀的教師，就要學(xué)會(huì)定期反思，并把心得寫下來，以此來時(shí)常勉勵(lì)自己?！币虼耍行У姆此紤?yīng)是教學(xué)的最后一個(gè)步驟，也是至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，“反思”是當(dāng)代心理學(xué)中屬于元認(rèn)知的概念范疇，反思性教學(xué)不僅僅是對前面知識點(diǎn)的一個(gè)簡單回顧，更是要深究學(xué)習(xí)活動(dòng)中所涉及的知識、方法、思路、策略等，要從新的層次、更高的角度看到現(xiàn)實(shí)的不足，引領(lǐng)學(xué)生一起對所學(xué)的知識進(jìn)行“重新組織”或轉(zhuǎn)換，使得學(xué)習(xí)者成為構(gòu)造主義者。以本堂課為例，課中探討的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程并不是盡善盡美的，肯定還有不足或是有更符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、更能提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的導(dǎo)入。一堂課的時(shí)間只有40分鐘，但是同樣的40分鐘賦予學(xué)生的意義卻是不盡相同的，教師需要親近學(xué)生、了解學(xué)生，多維度、多角度地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的“四基”“四能”及“六個(gè)關(guān)鍵能力”。

【參考文獻(xiàn)】

[1]魏韌.追求自然樸實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)——以兩角和與差的余弦公式教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（11）：16-18.

[2]戴圩章.“以生為本”從新課程導(dǎo)入開始——以兩角和與差的余弦公式教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（9）：38-41.

[3]劉斌.從構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)看高中數(shù)學(xué)教材的編寫[J].課程·教材·教法，1998（5）：25-28.

[4]柳榕.基于《兩角差的余弦公式》的同課異構(gòu)案例評析[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（11）：25-28.