孟憲玲

一、捕捉學(xué)生“錯(cuò)誤”之處促生成

案例1.在課堂上講評試卷。

考題：已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(]0,1上恒為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(2)當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)知識，研究函數(shù)的單調(diào)性，處理不等式恒成立問題，綜合性強(qiáng)，思想方法深刻，能力要求高。其中第(2)小題，難度較大。

常規(guī)解法學(xué)生難以掌握。于是引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑。

有位學(xué)生這樣解答：構(gòu)造函數(shù)g(t)=f(2t-1)-[2f(t)-3](t≥1)，注意到g(1)=0，所求問題轉(zhuǎn)化為g(t)≥g(1)對任意的t∈［1，+∞）恒成立。即g(t)在［1，+∞）上為增函數(shù)，從而g′(t)≥0在t∈［1，+∞）恒成立而g′(t)=2[f′(2t-1)-f′(t)]，故f(2t-1)≥f(t)在t∈［1，+∞）恒成立，由于(2t-1)-t=t-1 ≥0，即2t-1 ≥t，故f′(t)在［1，+∞）上為增函數(shù)。令h(t)=f′(t)，則h′(t)=。當(dāng)t∈［1，+∞）恒成立，即a≤2t2，從而a≤(2t2)min=2，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2。

解答結(jié)果與正確答案完全一致，表面看來，似乎簡潔明了，無懈可擊，但仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)其中的破綻，“由g(t)≥g(1)對任意的t∈[1,+∞)恒成立。直接推得g(t)在[1,+∞)上為增函數(shù)”。此推理顯然不一定成立，如圖所示

雖然此解法有錯(cuò)誤，但它為正確求解提供了有益的啟示。

師生合作共探的解法：構(gòu)造函數(shù)g(t)=f(2t-1)-[2f(t)-3](t≥1)，注意到g(1)=0，所求問題轉(zhuǎn)化為g(t)≥g(1)對任意的t ∈[)1,+∞恒成立。因?yàn)椋?dāng)a≤2時(shí)，由于t(2t-1)≥1，故g′(t)≥0，從而當(dāng)t ∈[1,+∞)時(shí)g(t)為增函數(shù)，g(t)≥g(1)對任意的t∈[1,+∞)恒成立。當(dāng)a＞2時(shí)，因時(shí)，g(t)是減函數(shù)，于是g(t)＜g(1)=0，與題設(shè)不符，舍去。

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2。

此種解法是在學(xué)生的錯(cuò)誤基礎(chǔ)上生成的，思路自然，過程清晰，與參考答案相比，容易被學(xué)生接受，對導(dǎo)數(shù)知識及其工具作用的考查達(dá)到了融會貫通的深度。

二、捕捉學(xué)生“思辨”之處促生成

概念教學(xué)時(shí)，重在把握關(guān)鍵詞的“內(nèi)核”，有時(shí)常常需要對關(guān)鍵詞進(jìn)行思辨。

案例2.如在“直線與平面垂直的判定”一課中，對于直線與平面垂直這一核心概念，教科書是通過引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際背景“觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子”出發(fā)來思考、分析，從中抽象概括出直線與平面垂直的定義。課前預(yù)設(shè)出三個(gè)小問題，進(jìn)行語言引導(dǎo)：1.陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子所成的角度是多少？2.隨著太陽移動，影子的位置也會移動，而旗桿AB與影子所成的角度是否會發(fā)生改變？(引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：旗桿AB所在的直線始終與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直)3.旗桿AB與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線的位置關(guān)系如何？依據(jù)是什么？(引導(dǎo)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)：旗桿AB所在的直線B1C1也與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線垂直)

從這個(gè)問題分析中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)旗桿與地面垂直，這就意味著直線與地面上的任意一條直線都垂直?？梢晃粚W(xué)生對直線與平面垂直的定義進(jìn)行抽象概括：如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α。

朱曉侖在工作中鐵面無私，但在具體的工作中他認(rèn)真貫徹落實(shí)以人為本，將人性化服務(wù)融入食品藥品監(jiān)管工作中。對內(nèi)，他關(guān)心同志，維護(hù)團(tuán)結(jié)，同事間相互幫助配合。對外，他關(guān)心弱勢群體。柳南區(qū)食品藥品監(jiān)管對象中有很多個(gè)體經(jīng)營者，其中不少是下崗失業(yè)人員、進(jìn)城務(wù)工人員。這些人員來辦理相關(guān)業(yè)務(wù)時(shí)，他都給予無微不至的關(guān)心和指導(dǎo)。

于是課堂生成新問題讓學(xué)生辨析：這個(gè)概念的核心詞“任意一條”能否用“無數(shù)條”來替換？為什么？

經(jīng)過與學(xué)生共同探討，一位學(xué)生回答：不能。并舉出一個(gè)例子。如圖：

直線l與平面α不垂直，原因是能在平面α內(nèi)找到一條與直線l不垂直的直線。但是卻能找到無數(shù)條與直線l垂直的直線。所以定義中的“任意一條”不能用“無數(shù)條”來替換。那么“任意一條”可用什么詞來替換呢？學(xué)生回答：“所有”或“每一條”。

通過“思辨”引發(fā)的生成，深化對“任意一條”的理解，凸顯定義中的核心詞，較原設(shè)計(jì)效果更好。

三、捕捉學(xué)生“意外”之處促生成

案例3.高中數(shù)學(xué)教材必修1的第79頁練習(xí)題：求方程x3+3x-1=0的近似解。(精確到0.1)

一位學(xué)生站起來，我每次將區(qū)間(0，1)分為三個(gè)小區(qū)間

∴x0≈0.3

他的解法讓筆者感到意外，經(jīng)過片刻思慮后，斷定是正確的，而且比二分法簡捷。

四、捕捉學(xué)生“膚淺”之處促生成

可以看出，兩種解法都試圖用基本不等式求函數(shù)最小值，但是對應(yīng)用此法必須具備三個(gè)條件：一正，二定，三相等的認(rèn)識不夠深刻。解法1只注意前兩個(gè)條件，忽視了“相等”的條件；解法2理解了三個(gè)條件，但是不等式兩次變換的等號不能同時(shí)成立。引導(dǎo)分析其中的錯(cuò)誤所在后，得出正確解法3：y=

為了讓學(xué)生真正明白怎樣合理拆分變形才能用基本不等式求函數(shù)最值，同時(shí)也引出解決求最值問題的另一種有效的解法——利用函數(shù)的單調(diào)性。

通過對學(xué)生認(rèn)識的“膚淺”之處，層層剖析，逐漸地引向深入，學(xué)生對于此問題有深刻的認(rèn)識，久而久之，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說過：“教育的技巧并不在于預(yù)見到課的所有細(xì)節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺之中作出相應(yīng)地變動。”因此，抓住教學(xué)契機(jī)，促進(jìn)有效生成，不僅是一種教育的科學(xué)，更是一種教育的藝術(shù)。