朱 一 心

(首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100048)

1 弧度制教與學(xué)中的問(wèn)題

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,“使用弧度制的好處”常常被提及,文獻(xiàn)[1]對(duì)弧度制的好處作了介紹.然而,仍有學(xué)生甚至數(shù)學(xué)教師,對(duì)于弧度制及相關(guān)問(wèn)題的理解存在疑惑甚至誤解.主要集中在是否只有弧度制才能使得三角函數(shù)成為實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射,角度的數(shù)值是否是一個(gè)無(wú)量綱的比值,角度的數(shù)值是否是六十進(jìn)制數(shù)以及六十進(jìn)制數(shù)是否是實(shí)數(shù)等問(wèn)題上.有些還涉及到對(duì)函數(shù)、數(shù)量、數(shù)的進(jìn)制、角的大小與度量等概念的理解.

誤解既發(fā)生在重要文件中,如文獻(xiàn)[2]111頁(yè)中的案例3“引進(jìn)弧度制的必要性”,也發(fā)生在研究論著[3]中和專業(yè)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)討論場(chǎng)合．至于公眾流傳的“360 問(wèn)答”“百度知道”“作業(yè)幫”等,誤解更是比比皆是.

本文討論弧度制教學(xué)中相關(guān)的問(wèn)題,幫助教師和學(xué)生理清教學(xué)和學(xué)習(xí)中的疑惑和誤解.文中的設(shè)問(wèn),大多來(lái)自與師生的真實(shí)討論.文中所稱中學(xué)數(shù)學(xué)是通常理解的含義,所稱的教師和學(xué)生,分別指中學(xué)數(shù)學(xué)教師和中學(xué)生.問(wèn)答從“2017課程標(biāo)準(zhǔn)”中的相關(guān)案例入手,對(duì)教學(xué)中的疑惑和誤解逐一展開問(wèn)答式辨析.為方便討論,把文獻(xiàn)[2]108和111頁(yè)中的案例3和2的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行抄錄,并用下劃線標(biāo)明后面討論將涉及的概念或者問(wèn)題.

1.1 引入弧度制的必要性(案例3)

【目的】理解弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度度量角的大小,這樣的度量統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位;進(jìn)一步理解高中函數(shù)概念中為什么強(qiáng)調(diào)函數(shù)必須是實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng),因?yàn)橹挥羞@樣才能進(jìn)行基本初等函數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算、復(fù)合、求反函數(shù)等),使函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性.

【情境】對(duì)于三角函數(shù)的教學(xué),為什么初中數(shù)學(xué)通過(guò)直角三角形講述,而高中數(shù)學(xué)要通過(guò)單位圓講述?這是必要的嗎?

【分析】……初中三角函數(shù)是對(duì)直角三角形中的邊角關(guān)系的刻畫,其中自變量的取值是60進(jìn)制的角度，不是10 進(jìn)制的實(shí)數(shù),不符合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義.……在高中階段,借助單位圓建立角度與對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的關(guān)系,用對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)刻畫角的大小;因?yàn)殚L(zhǎng)度單位與實(shí)數(shù)單位一致,這就使得三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值的取值都是實(shí)數(shù),符合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義.

1.2 函數(shù)的概念(案例2)

【分析】……例如,勻速直線運(yùn)動(dòng)中(速度為v),路程(s)隨著時(shí)間(t)的變化而變化,因此路程是時(shí)間的函數(shù),記為s=vt.再如,在單價(jià)(n)、數(shù)量(p)、總價(jià)(S)的關(guān)系中,S隨著p的變化而變化,因此S是數(shù)量的函數(shù),記為S=pn,通常把這樣的表述稱為函數(shù)的“變量說(shuō)”.

但是,上述2個(gè)函數(shù)自變量的單位不同,不能進(jìn)行加、減等運(yùn)算.若舍去其具體背景進(jìn)一步抽象,可以得到一般的正比例函數(shù)y=kx(k為非零常數(shù)).于是,2個(gè)正比例函數(shù)就可以進(jìn)行運(yùn)算了,所得結(jié)果還是一般的函數(shù).

到了高中,……通常把這樣的表述稱為函數(shù)的“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”.不同的函數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘和除法等運(yùn)算,函數(shù)研究的內(nèi)涵和應(yīng)用的范圍得以擴(kuò)展.

2 函數(shù)的運(yùn)算結(jié)果

2.1 什么是函數(shù)

中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)是實(shí)數(shù)集合上的一元實(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)稱,是實(shí)數(shù)的子集合到實(shí)數(shù)的子集合的一個(gè)映射.即A和B是實(shí)數(shù)集合的子集合,則映射f：A→B稱作一個(gè)函數(shù),也稱f是A→B的函數(shù).更一般地,當(dāng)集合A和B是復(fù)數(shù)集合的子集合時(shí),f：A→B是復(fù)函數(shù).當(dāng)A不限于是數(shù)的集合,而B是數(shù)的集合時(shí),f：A→B是一般函數(shù).

上述定義中,集合與映射被當(dāng)作是已知的邏輯基本概念.公理體系下的映射定義,是集合A與B的一個(gè)關(guān)系,是直積A×B的一個(gè)子集合，參考文獻(xiàn)[4]的97頁(yè). 用關(guān)系來(lái)定義映射,能講清楚映射中對(duì)應(yīng)“法則”的確切含義,使函數(shù)意義更廣泛,函數(shù)運(yùn)算與復(fù)合的含義更清楚,多元函數(shù)定義更容易,此處不作深入講解.當(dāng)說(shuō)到函數(shù)f(x)時(shí),既指函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，也可以指具體的函數(shù)值運(yùn)算程序,見文獻(xiàn)[5]的283頁(yè).

2.2 函數(shù)運(yùn)算結(jié)果

函數(shù)的運(yùn)算結(jié)果不是一個(gè)數(shù),而是一個(gè)新的函數(shù),其函數(shù)值由函數(shù)值的運(yùn)算得到.例如,函數(shù)加法：對(duì)于2個(gè)A→B的函數(shù)

可以定義函數(shù)A→B的函數(shù)f+g為

即f+g將x映射到f(x)+g(x),或者(f+g)(x)=f(x)+g(x),簡(jiǎn)稱“和函數(shù)的值等于函數(shù)值的和”.對(duì)于函數(shù)f：A→B和g：C→D,當(dāng)A,B與C,D不完全相同時(shí),是不可以作加法運(yùn)算的,但這種情況下,有時(shí)默認(rèn)f+g是A∩C→B∩D上的函數(shù).類似的,當(dāng)B=C時(shí)可以對(duì)于函數(shù)f：A→B與g：C→D, 定義復(fù)合函數(shù)g°f：A→D,使得(g°f)(x)=g(f(x)),有時(shí)默認(rèn)g°f是C∩f(A)→D的函數(shù).

這樣函數(shù)s(t)=vt,S(t)=t2的和是函數(shù)h(t)=vt+t2,它們的一種復(fù)合是函數(shù)k(t)=(vt)2=v2t2.

3 數(shù)與量的區(qū)別

3.1 數(shù)與量

可以這樣理解數(shù)與量的關(guān)系,數(shù)是純粹的數(shù)學(xué)世界中的對(duì)象,數(shù)只服從于數(shù)學(xué)運(yùn)算、結(jié)構(gòu)和原理;量是數(shù)對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用工具,對(duì)這個(gè)工具的有效性的判斷與檢驗(yàn),需要回歸到現(xiàn)實(shí)世界的客觀存在中進(jìn)行.量是由度量得到的,是測(cè)量、度量的結(jié)果,度量基礎(chǔ)是測(cè)量.測(cè)量與度量的標(biāo)準(zhǔn)及方法可以有多種.

3.2 數(shù)的單位

回答是否定的.在數(shù)系的擴(kuò)張中,從沒(méi)有建立“實(shí)數(shù)的單位”這樣的概念;而當(dāng)數(shù)用于度量,表示具體物體的量,是有度量單位的.有時(shí)候沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分?jǐn)?shù)與量的差異,造成對(duì)概念的誤解.例如,后文將分析到,角的弧度制、角度制表示中,就沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分弧度數(shù)與弧度,角度數(shù)與角度.

在數(shù)軸上用點(diǎn)和線段表示數(shù)時(shí),為了數(shù)與線段之間建立對(duì)應(yīng),將固定間隔點(diǎn)之間線段作為一個(gè)度量單位,稱其為單位長(zhǎng)度.這個(gè)單位長(zhǎng)度是固定的,是這個(gè)數(shù)軸系統(tǒng)中的度量標(biāo)準(zhǔn)或者度量單位,即長(zhǎng)度單位.這個(gè)長(zhǎng)度單位,與“米、秒”的功能一樣,只是沒(méi)有寫出“米、秒”一樣的“單位符號(hào)”.對(duì)于這個(gè)做法,亞歷山大洛夫[6]具體描述了一段線段CD如何去度量一段線段AB,將AB對(duì)應(yīng)到一個(gè)數(shù).柯朗等[5],也類似地描述實(shí)數(shù)與線段的對(duì)應(yīng).也就是在這種意義下將實(shí)數(shù)看成線段,即由某一固定的線段的倍數(shù)對(duì)應(yīng)的線段.實(shí)際上需要對(duì)線段進(jìn)行運(yùn)算,細(xì)致的陳述可以在文獻(xiàn)[7]中看到.

可見,當(dāng)把實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)到數(shù)軸上的線段時(shí),需要給定一線段作為度量單位,而不是實(shí)數(shù)本身有單位.如果將實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的度量的單位混稱為“實(shí)數(shù)的單位”,那么,將實(shí)數(shù)用于長(zhǎng)度的度量,實(shí)數(shù)“單位”似乎應(yīng)該是米;將實(shí)數(shù)用于面積的度量,實(shí)數(shù)“單位”又應(yīng)該是平方米? 實(shí)際上眾所周知平方米是面積單位,而不是實(shí)數(shù)本身的單位.

當(dāng)將實(shí)數(shù)看成是一個(gè)運(yùn)算系統(tǒng)或運(yùn)算結(jié)構(gòu),那么,乘法運(yùn)算的單位元是1,加法運(yùn)算的單位元是0,運(yùn)算單位元也稱乘法單位和加法單位.這里,乘法單位1后面無(wú)法跟量詞,即乘法單位1只有數(shù)的運(yùn)算意義,不具有度量意義.

3.3 數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則是否依賴于數(shù)對(duì)應(yīng)的量的意義

3.4 物理學(xué)中的數(shù)學(xué)公式、函數(shù)關(guān)系是否帶量綱才成立

從兩方面來(lái)回答.一是數(shù)學(xué)公式、函數(shù)關(guān)系的成立與量綱無(wú)關(guān).二是這些公式、關(guān)系表達(dá)的物理意義與量綱有關(guān).

數(shù)學(xué)是舍棄了具體物體的物理屬性的抽象,在作數(shù)的運(yùn)算時(shí),運(yùn)用的是抽象的一般規(guī)律,執(zhí)行的是由數(shù)的大小與次序以及規(guī)定造成的運(yùn)算律,而不是按照一個(gè)具體物理量屬性進(jìn)行的.物理量之間的函數(shù)以及函數(shù)運(yùn)算和函數(shù)復(fù)合的物理意義,是物理學(xué)中的量綱問(wèn)題,即使有量綱分析,也并不需要依賴于量綱才可以進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算,只是在解釋物理意義時(shí)需要量綱分析.

3.5 路程的數(shù)值與時(shí)間的數(shù)值是否可以作運(yùn)算

函數(shù)模型中變量的運(yùn)算是數(shù)的運(yùn)算,并不需要帶量的單位,路程的數(shù)值與時(shí)間的數(shù)值當(dāng)然可以進(jìn)行運(yùn)算.路程是時(shí)間的函數(shù),S是p的函數(shù),這是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射.把這2個(gè)函數(shù)看成是一類函數(shù),都是一次函數(shù),二者之間的運(yùn)算與復(fù)合當(dāng)然可以進(jìn)行.

對(duì)于一元函數(shù)而言,自變量的數(shù)值與因變量的數(shù)值相加是可以進(jìn)行的,雖然與如何將其應(yīng)用到具體的量的意義無(wú)關(guān).然而,對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō),不應(yīng)該要求自變量的數(shù)值與因變量的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算而且具有具體物理意義.對(duì)于一般函數(shù)而言,沒(méi)有任何企圖要將自變量與因變量的數(shù)進(jìn)行相加,其數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)都可能不是一樣的.例如,一維數(shù)與二維數(shù)組怎么相加,為什么要求其相加呢?

4 十進(jìn)制表示數(shù)

4.1 什么是十進(jìn)制

十進(jìn)制是數(shù)的十進(jìn)制(位)表示、十進(jìn)制(位)記數(shù)的簡(jiǎn)稱,也稱阿拉伯記數(shù)法[8]. 對(duì)于一個(gè)自然數(shù),將其按照10的方冪分組求和,用0,1,2,…,9這10個(gè)字符表示10方冪的個(gè)數(shù)(最高位不能為0),按照方冪大小次序在對(duì)應(yīng)的位置寫出方冪個(gè)數(shù)的字符,用這組有序字符來(lái)表示這個(gè)數(shù),稱為十進(jìn)制記數(shù)法.整數(shù)通過(guò)添加正負(fù)號(hào),從而借助自然數(shù)的十進(jìn)制得以表示.十進(jìn)制記數(shù)法還可以拓展到小數(shù)的表示,

其整數(shù)部分是有限的,小數(shù)部分可以有無(wú)限項(xiàng)(最后1位小數(shù)不能為0).

4.2 什么是位值制記數(shù)法

4.3 實(shí)數(shù)是否是十進(jìn)制

5 角的大小與度量

5.1 角的大小是否是角的度量

角的大小與角的度量(或者叫角的大小的度量)是不同的概念.角的大小是一個(gè)幾何客觀,角的度量是角的一個(gè)度量化.角的大小是角的集合上的一個(gè)序(任意2個(gè)角之間的次序,一個(gè)包含另一個(gè)的比較關(guān)系),這個(gè)序的公理化定義,是通過(guò)直線上點(diǎn)的序公理造成的線段的序來(lái)描述的.文獻(xiàn)[9]先描述了角的相等關(guān)系,然后指出可以進(jìn)一步通過(guò)公理建立角的“大于”“小于”次序.角的度量是由角的集合上的一個(gè)非負(fù)單調(diào)廣義函數(shù)產(chǎn)生的,函數(shù)的遞增性與角的大小次序一致,因此也可以說(shuō)是角的大小的量化.進(jìn)一步講,角的度量是角的集合上的一個(gè)測(cè)度,給每個(gè)角規(guī)定一個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)值,這個(gè)數(shù)值是非負(fù)單調(diào)的,且這個(gè)對(duì)應(yīng)具有可列可加性.這一點(diǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)是不容易、因而也不必嚴(yán)格講清楚的,更不需要按照公理來(lái)講.

人民教育出版社1963年教材[10]把角的大小與角的度量當(dāng)成2個(gè)獨(dú)立的概念分開講.現(xiàn)行教材[11-12]說(shuō)“要準(zhǔn)確測(cè)量一個(gè)角的大小,應(yīng)該用一個(gè)合適的角作單位來(lái)量”和“我們常用量角器量角”，將角的大小次序直接用角的度量值的大小來(lái)替代.

5.2 什么是“角的角度制”度量

由于歷史的習(xí)慣省略了弧度的單位“radian”(也叫“弳”,現(xiàn)在多不用此詞,簡(jiǎn)記為rad,或r),但保留了角度制的單位“度”或“°”.文獻(xiàn)[1]稱“在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)書籍與文獻(xiàn)中,角一律用弧度為單位,無(wú)須用符號(hào)加以特別標(biāo)注”“如不特別說(shuō)明,有關(guān)三角函數(shù)的自變量一律認(rèn)為以弧度為其單位”.柯朗等[5]明確說(shuō),“為避免混淆,今后角x就是指角的弧度是x,而一個(gè)度數(shù)是x的角將寫為x°”.因此,人們錯(cuò)以為“弧度制下角對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，而角度制下角對(duì)應(yīng)角度”的原因,是弧度制省略了單位“rad”而角度制沒(méi)有省略單位“°”.具體教學(xué)中,通常可以在開始時(shí)先將弧度單位寫上,熟悉以后再省略.

一周360°是英國(guó)的角度制,法國(guó)的角度制曾將圓周分成400°,即百分制[14];除此之外還有將圓周分成6 000份的密位制[14].也用較粗糙的方法來(lái)度量角,例如,“周、圈、轉(zhuǎn)”等,這些“角的度量”在實(shí)際應(yīng)用時(shí)仍不可避免.

5.3 怎樣理解“平角=π”

5.4 怎樣理解“弧度值是弧長(zhǎng)與半徑的比值”

弧度制下,角的度量值是對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值,所以沒(méi)有單位,或者無(wú)量綱,是一個(gè)實(shí)數(shù). 這些理解可以照樣搬到角度制上,見文獻(xiàn)[7].因此角度的數(shù)值與弧度的數(shù)值一樣,也是實(shí)數(shù).單位rad或者°,是為了說(shuō)明這個(gè)數(shù)值是角的一個(gè)度量而加上的,用于區(qū)別數(shù)與量.

5.5 怎樣理解“角度值是角與周角的比值”

按照角度制定義,將一個(gè)周角平均分成360 份,其中1份對(duì)應(yīng)的角為1°,一個(gè)角占有幾份就是幾度,因此角度的數(shù)值是“角與周角的三百六十分之一的比”. “角與圓心角的比”的含義是將角看成是圓心角,根據(jù)圓心角與圓弧的一一對(duì)應(yīng),由對(duì)應(yīng)的圓弧之比得到2個(gè)角的比.值得注意的是,弧度制度量角和角度制度量角,都需要在圓弧長(zhǎng)的求法,即弧長(zhǎng)積分.這表明,角的度量不是獨(dú)立于長(zhǎng)度的度量.

5.6 單位圓中角的度量是弧長(zhǎng)

把角的度量看成弧長(zhǎng),顯然是混同了度量的數(shù)值與度量.在單位圓中,的確可以得到角的弧度數(shù)對(duì)應(yīng)到相應(yīng)的弧長(zhǎng).這種對(duì)應(yīng),不僅在單位圓中,在半徑為2的圓中,也作類似處理,使得每一個(gè)角對(duì)應(yīng)于一個(gè)弧長(zhǎng),只是這個(gè)新的對(duì)應(yīng)是習(xí)慣的那種的2倍而已,這樣做并不改變弧度制的任何本質(zhì).

5.7 角度制中角度數(shù)是否是用六十進(jìn)制表示

6 單位圓上的三角函數(shù)

6.1 怎樣理解直角三角形的三角比與單位圓中三角函數(shù)線的一致性

對(duì)于銳角三角函數(shù),可以通過(guò)直角三角形對(duì)應(yīng)邊的比值來(lái)定義,也可以通過(guò)單位圓中三角函數(shù)線來(lái)定義,這是2個(gè)不同的定義方法.因?yàn)橐粋€(gè)是靜態(tài)的比值,另一個(gè)是動(dòng)態(tài)的對(duì)應(yīng),然而二者的區(qū)別并不那么大.

直角三角形中,給定一個(gè)角就得到一個(gè)確定的三角比(邊的比).在單位圓中,角對(duì)應(yīng)的直角三角形斜邊長(zhǎng)是1,三角比從數(shù)值上看有明顯的幾何意義(數(shù)值而已,例如,正弦函數(shù)值等于正弦線段的長(zhǎng)度值).三角函數(shù)定義的仍然是邊的比值,與通過(guò)直角三角形的定義一樣,僅僅是在2個(gè)相似的直角三角形中定義而已.

在直角三角形中,從三角比過(guò)渡到三角函數(shù),并不是簡(jiǎn)單的.例如,對(duì)于角的取值,并不能如期待的那樣,在R上任意連續(xù)變化取值;角連續(xù)變化取值時(shí),如何判斷對(duì)應(yīng)的三角比值是連續(xù)變化的.若在單位圓上將角的變量x等同于對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng),似乎x連續(xù)變化就解決了;然而要說(shuō)明一個(gè)實(shí)數(shù)等同于一段弧長(zhǎng),需要弧長(zhǎng)積分的概念與技術(shù),需要弧長(zhǎng)對(duì)于角的決定,再由角決定正弦線,從而得到函數(shù).那么,又如何說(shuō)明弧長(zhǎng)連續(xù)變化使得正弦線長(zhǎng)是連續(xù)變化的呢?以至于一本教師教學(xué)用書不得不困難而牽強(qiáng)地解釋[15],“把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線,原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A(1,0),數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上,負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上,那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)(點(diǎn))t被纏繞到單位圓上的點(diǎn)(cost,sint).”

這些問(wèn)題與三角函數(shù)的連續(xù)性究竟如何定義有關(guān).Cauchy[16]證明了以下結(jié)論：“若f(x)是在R上的連續(xù)函數(shù),滿足任給x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), 則f(x)=cosax或f(x)=coshax”.對(duì)于三角函數(shù)的多種定義,需要討論它們的一致性,高夯[17]列舉了利用函數(shù)方程的公理化定義、冪級(jí)數(shù)定義和積分定義. 在中學(xué)數(shù)學(xué)中,通過(guò)直角三角形和單位圓2種定義,都不可能嚴(yán)格講清楚所定義的三角函數(shù)具有連續(xù)性,在一般大學(xué)教材中也沒(méi)有講清楚,甚至就沒(méi)有試圖講清楚.

通過(guò)單位圓來(lái)定義三角函數(shù),可以推廣到任意角,容易過(guò)渡到在直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù),容易表示三角函數(shù)周期性的物理意義.

7 三角函數(shù)引起的集合對(duì)應(yīng)

文獻(xiàn)[1]說(shuō)明弧度制的便利時(shí),其中并沒(méi)有列示：使用弧度制的必要性是“使三角函數(shù)成為實(shí)數(shù)集合到實(shí)數(shù)集合映射”,事實(shí)上使用弧度制并不由于“這個(gè)”必要性.為說(shuō)明此,要了解三角函數(shù)引起了哪些集合上的對(duì)應(yīng).

7.1 三角函數(shù)到實(shí)數(shù)集合的映射

三角函數(shù)到實(shí)數(shù)集合的映射見圖1,角的集合、角度的集合、角度數(shù)的集合、弧度的集合、弧度數(shù)的集合和實(shí)數(shù)集合,這6個(gè)集合之間有一一對(duì)應(yīng).一般地,不需要嚴(yán)格區(qū)分三角函數(shù)是從上述5個(gè)集合中的哪一個(gè)出發(fā)到實(shí)數(shù)集R的映射,只強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).文獻(xiàn)[18]稱“我們認(rèn)為三角函數(shù)是角的函數(shù),或是弧的函數(shù),或是數(shù)的函數(shù),其中變數(shù)由我們處理,可以解釋為角或解釋為弧,或解釋為數(shù)”.文獻(xiàn)[15]稱“無(wú)論用角度制還是弧度制,都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”.

圖1 三角函數(shù)到實(shí)數(shù)集合的映射

7.2 弧度制與三角函數(shù)圖像

是否因?yàn)榛《戎剖沟萌呛瘮?shù)圖像中的橫軸、縱軸上數(shù)值都是十進(jìn)制,長(zhǎng)度單位一致,所以從函數(shù)圖像上容易理解函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性、對(duì)稱性等.

圖2 三角函數(shù)圖像(a)弧度制;(b)角度制

圖3 弧度制和角度制三角函數(shù)圖像

8 “2017課程標(biāo)準(zhǔn)”案例中的誤解

討論至此可以看到，“2017課程標(biāo)準(zhǔn)”案例3中對(duì)于引進(jìn)弧度制必要性的陳述多有誤解和前后不一致之處,主要有：把自變量和函數(shù)值看成是有“單位”的量,提出了函數(shù)運(yùn)算可能“不能進(jìn)行”的說(shuō)法,混淆了數(shù)學(xué)運(yùn)算與運(yùn)算結(jié)果的物理意義之間的區(qū)別,混淆了數(shù)與量的不同;把實(shí)數(shù)混同于實(shí)數(shù)表示的量,稱“長(zhǎng)度單位與實(shí)數(shù)單位一致,這就使得三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值的取值都是實(shí)數(shù)”,引導(dǎo)理解實(shí)數(shù)就是長(zhǎng)度;誤解了角度制與弧度制的共性,忽視了弧度制中弧度單位的省略;稱“60進(jìn)制的角度、不是10進(jìn)制的實(shí)數(shù)”,把角度數(shù)引導(dǎo)理解為非實(shí)數(shù),把六十進(jìn)制數(shù)引導(dǎo)理解為不是實(shí)數(shù);存在前后不一致的表述,一方面稱不同“單位”的量“不能進(jìn)行加、減等運(yùn)算”,另一方面稱“舍去具體背景”就“可以進(jìn)行運(yùn)算”;一方面說(shuō)三角函數(shù)自變量的“單位”要取“長(zhǎng)度”,另一方面稱可以是“時(shí)間或其他量”.

文獻(xiàn)[20]的126頁(yè)中稱,“用弧度制來(lái)度量角,實(shí)際上是在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了這樣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過(guò)來(lái),每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(角的弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù))與它對(duì)應(yīng)”.在第二章“小結(jié)”時(shí)又對(duì)此作了重復(fù)強(qiáng)調(diào).這些表述,突出了在弧度制下,一個(gè)角對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù),引導(dǎo)理解在角度制下做不到一個(gè)角對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù);指明了用弧度制度量角得到三角函數(shù)定義域是實(shí)數(shù),可能引導(dǎo)理解用角度制度量角得不到實(shí)數(shù).

以上教材中,三角函數(shù)后面例題的編排中既有角度又有弧度,即對(duì)于三角函數(shù)的定義域或者變量的取值,都沒(méi)有特別限定是角度還是弧度.這與通常應(yīng)用是一致的,也說(shuō)明了沒(méi)有必要區(qū)分三角函數(shù)的變量是角度數(shù)還是弧度數(shù),總之都是實(shí)數(shù).

只要認(rèn)真思考,數(shù)學(xué)結(jié)論可以在相同的邏輯基礎(chǔ)上說(shuō)清楚,不存在由于概念理解模糊而造成的“商榷”.相信認(rèn)真閱讀上面討論的人,可以減少對(duì)于“角度制不能使得三角函數(shù)變?yōu)閷?shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射”的堅(jiān)持.弧度制能做到的事,角度制同樣能做到,至于是否習(xí)慣或者方便,是另一個(gè)問(wèn)題.

上述討論的結(jié)論,在學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)具體執(zhí)行中,可能帶來(lái)困難,因?yàn)椴豢赡芡耆绻戆銍?yán)格地演繹數(shù)學(xué)概念.但不嚴(yán)格不等于可以作錯(cuò)誤解釋,因此教師要對(duì)這些問(wèn)題認(rèn)真理解,而學(xué)生要做到了解.

致謝：文章的起因得益于保繼光教授的鼓勵(lì).修改過(guò)程中,與王安教授、魯自群教授進(jìn)行了討論,得到了有益建議.張英伯教授、李克正教授瀏覽了初稿.張曉聲教授、范興亞博士以及其他研究生提供了修訂意見.