楊 哲， 周小平， 王培培， 張 景

(上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院， 上海 200234)

毫米波大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)無線傳輸能夠拓展利用新頻譜資源，深度挖掘空間維度無線資源，大幅提升無線傳輸速率，是未來無線通信系統(tǒng)最具潛力的研究方向之一[1-3]。精確的信道估計(jì)是系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)良好性能的前提，但毫米波高衰減的天然特性以及在毫米波系統(tǒng)中超密集組網(wǎng)存在干擾問題，使得毫米波大規(guī)模MIMO信道估計(jì)的計(jì)算量變得巨大，這在一定程度上嚴(yán)重制約著毫米波大規(guī)模MIMO 無線傳輸技術(shù)研究工作的開展，為了突破這一局限，探索高性能的毫米波大規(guī)模MIMO的信道估計(jì)算法十分迫切[4-6]。

張量分解是高維數(shù)據(jù)分析的有力工具，可以有效降低數(shù)據(jù)維度，并從中挖取出有用信息。在通信系統(tǒng)中基于張量分解的毫米波大規(guī)模MIMO天線信道建模，不會(huì)破壞各天線間空間結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，能夠更加充分地利用信號(hào)的空間結(jié)構(gòu)信息，提高信道估計(jì)準(zhǔn)確性[7-9]。文獻(xiàn)[10]提出基于張量分解的DS-CDMA(direct sequence-code division multiple Access)系統(tǒng)中，在滿足唯一性定理的情況下能夠在多維接收信息中分解出信號(hào)特征，為信道估計(jì)提供了一個(gè)方向。文獻(xiàn)[11]提出基于張量分解的OFDM(orthogonal frequency division multiplexing)系統(tǒng)信道估計(jì)，構(gòu)建了空時(shí)頻三個(gè)維度的PARAFAC(parallel factor)系統(tǒng)模型，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)到達(dá)角和傳播時(shí)延的聯(lián)合估計(jì)，但其采用了截尾SVD(singular value decomposition)造成了接收信號(hào)部分損失，在低信噪比情況下的估計(jì)性能有所下降。文獻(xiàn)[12]提出基于張量分解的MIMO-FBMC(multiple input multiple output filter bank-based multi carrier)系統(tǒng)聯(lián)合信道估計(jì)和信號(hào)檢測(cè)，通過張量分解將多維度搜索問題轉(zhuǎn)化為獨(dú)立并行的單維度搜索問題，降低了系統(tǒng)計(jì)算的復(fù)雜度。因此，張量分解方法為提高毫米波大規(guī)模MIMO信道估計(jì)性能和降低計(jì)算復(fù)雜度提供了可行性，但隨著毫米波大規(guī)模MIMO超密集組網(wǎng)的實(shí)施，傳統(tǒng)的PARAFAC算法并不能處理大規(guī)模張量數(shù)據(jù)，因此提出Grid-PARAFAC張量分解來處理大尺度張量問題，通過Grid-PARAFAC張量分解能夠在保留原始空間信息的條件下深度挖掘數(shù)據(jù)隱藏因子，并對(duì)其處理而不是整個(gè)數(shù)據(jù)張量，減少了運(yùn)算量，增大了分辨粒度，減少了信號(hào)間的干擾。

針對(duì)在毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中超密集組網(wǎng)存在干擾的問題，提出了基于Grid-PARAFAC聯(lián)合信道估計(jì)方法。首先，通過對(duì)大規(guī)模天線的高維度接收信號(hào)映射到一個(gè)大尺度的張量空間，將大尺度張量空間的接收信號(hào)分塊張量分解轉(zhuǎn)化為獨(dú)立的子張量接收信號(hào)；然后，同時(shí)將子張量接收信號(hào)獨(dú)立并行張量分解得到符號(hào)、接收天線和子載波的子投影矩陣，降低接收信號(hào)維度，同時(shí)又保留著高維接收信號(hào)的空間結(jié)構(gòu)互相關(guān)信息；最后，通過ALS(alternate least squares)，準(zhǔn)確求得隱藏高維接收信號(hào)中的信道估計(jì)。

1 系統(tǒng)模型

在毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)超密集組網(wǎng)下，系統(tǒng)模型如圖1所示，考慮有NT根發(fā)射天線，NR根接收天線，每根發(fā)射天線傳送T個(gè)發(fā)送符號(hào)，每個(gè)符號(hào)由K個(gè)子載波進(jìn)行傳輸，在毫米波幾何信道模型下，不考慮信道的時(shí)變特性，則在第j根接收天線第i根發(fā)射天線的信道矢量為

圖1 毫米波大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of millimeter-wave massive MIMO system

(1)

式(1)中：P表示可分辨路徑個(gè)數(shù)；βj,i,p表示在第j根接收天線第i根發(fā)送天線的第p條路徑的傳輸增益；θj,i,p和φj,i,p分別表示在第j根接收天線第i根發(fā)送天線第p條路徑的到達(dá)角和離開角；αr(·)和αt(·)分別表示接收端和發(fā)射端的均勻天線陣列響應(yīng)，其表達(dá)式分別為：

αr(θj,i,p)

(2)

αt(φj,i,p)

(3)

式中：λ表示信號(hào)波長；d表示相鄰天線間距。因此，在接收天線和發(fā)射天線之間的信道傳輸矩陣表示為：

(4)

若假定在整個(gè)觀測(cè)時(shí)間內(nèi)，信道矩陣是靜態(tài)不變的，可得在第j根接收天線上的接收信號(hào)為

Yj=SDj(H)CT+Nj,Yj∈CK×T

(5)

式(5)中，S∈CK×NT是在K個(gè)子載波在NT根發(fā)送天線上所構(gòu)成的發(fā)射信號(hào)矩陣，Dj(H)表示對(duì)角化操作，取出信道傳輸矩陣H的第j行向量Hj，以Hj的元素作為主對(duì)角元素，其他元素記為零，Nj∈CK×T是噪聲矩陣，其元素為獨(dú)立同分布的加性高斯白噪聲。在發(fā)送端采用簡(jiǎn)化的Khatri-Rao空時(shí)編碼矩陣C∈CT×NT對(duì)發(fā)送信號(hào)進(jìn)行預(yù)編碼處理。

將NR個(gè)接收天線的接收信號(hào)進(jìn)行堆疊，則：

(6)

式(6)中：⊙表示Khatri-Rao積。式(6)可以視為三階張量y∈CNR×K×T沿著接收天線緯度展開的矩陣展開式。y的三個(gè)因子矩陣分別由S、H和C來表征，即：

y=INT×1H×2S×3C+N

(7)

式(7)中：INT是一個(gè)NT階的單位張量；N為對(duì)應(yīng)的噪聲張量，該模型還可以寫為標(biāo)量形式：

(8)

式(8)中：ynr,k,t和nnr,k,t分別表示張量y和N中的元素，hnr,nt、sk,nt、ct,nt分別表示因子矩陣H、S、C中的對(duì)應(yīng)元素。

2 Grid-PARAFAC模型信道估計(jì)

2.1 Grid-PARAFAC分解

從多天線理論分析可知，通過簡(jiǎn)單地增加收發(fā)端的發(fā)射天線數(shù)量就可增加通信容量，隨著天線數(shù)量的不斷增加，毫米波大規(guī)模 MIMO 系統(tǒng)的信道狀態(tài)系數(shù)矩陣為高維矩陣，而高維矩陣求逆、相乘需要大量的計(jì)算復(fù)雜度，因此給信道獲取及基帶信號(hào)處理實(shí)現(xiàn)帶來相當(dāng)高的復(fù)雜度[13-14]。傳統(tǒng)的PARAFAC張量分解需要計(jì)算大量Khatri-Rao乘積和高維矩陣的逆，這將需要大量的時(shí)間和內(nèi)存消耗。為此，提出了Grid-PARAFAC張量分解來處理大尺度張量問題，通過Grid-PARAFAC張量分解能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)信道估計(jì)性能造成的影響。

(9)

式(9)中每個(gè)子因子矩陣的維度為：Hu∈CU×NT,Sv∈CV×NTCw∈CW×NT，根據(jù)文獻(xiàn)[15]引理[2]：y=X×1A(1)×2A(2)…×NA(N)，在忽略噪聲的情況下可得到：

y(m)=INT×1Hu×2Sv×3Cw

(10)

(11)

針對(duì)Grid-PARAFAC模型，利用ALS算法最小化所有的低維度接收信號(hào)子張量y(m)的歐幾里德距離可以求得：

(12)

(13)

(14)

式中：?表示Hadamard乘積，因此可以得到子信道矩陣Hu和子信源矩陣Sv聯(lián)合估計(jì)，依次交替擬合式(13)、式(14)可得到更新因子矩陣分別為

(15)

(16)

2.2 復(fù)雜度分析

考慮用迭代算法達(dá)到收斂時(shí)所需要的乘法次數(shù)來分析比較傳統(tǒng)的PARAFAC和Grid-PARAFAC算法的復(fù)雜度。在單次迭代中，傳統(tǒng)的PARAFAC和Grid-PARAFAC算法估計(jì)H的復(fù)雜度分別為O[KTNTNR+2K2T2NT+K3T3] 和O[U2VWNT+U(NT)3]，估計(jì)S的計(jì)算復(fù)雜度分別為O[KTNTNR+2T2(NR)2NT+(NR)3T3]和O[UV2WNT+V(NT)3]，顯然可以看出，在單次迭代過程中，傳統(tǒng)的PARAFAC的算法復(fù)雜度高，并且每次計(jì)算的都是高維矩陣，求解高維矩陣將會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間和內(nèi)存，然而Grid-PARAFAC算法將高維矩陣的求解轉(zhuǎn)化為低維小矩陣的求解，可以通過在計(jì)算機(jī)內(nèi)并行快速迭代出最優(yōu)解，并且Grid-PARAFAC算法利用張量的空間結(jié)構(gòu)性，在子張量的求解中減少了錯(cuò)誤誤差的迭代累加，可以更快地達(dá)到收斂。因此，采用子張量作為基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行數(shù)據(jù)處理具有計(jì)算效率和性能上的巨大優(yōu)勢(shì)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

下面來驗(yàn)證所提出的Grid-PARAFAC 方法的估計(jì)性能。在所有的仿真中，系統(tǒng)噪聲矩陣和信道矩陣中的所有元素都是均值為0方差為1的獨(dú)立同分布復(fù)高斯隨機(jī)變量。編碼矩陣采用Khatri-Rao空時(shí)編碼矩陣，發(fā)送端的發(fā)送符號(hào)矩陣是由QPSK(quadrature phase shift keying)調(diào)制。信道矩陣H的估計(jì)性能由MSE(mean squared error)來權(quán)衡，并采用蒙特卡羅仿真1 000次。

圖2給出了所提方法和已有方法的MSE性能比較，已有方法選擇了傳統(tǒng)PARAFAC方法和基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)算法。其中，NT=64，NR=64，K=1024,T=64，子載波頻率為28 GHz，當(dāng)信噪比為0～30 dB時(shí)，如圖2所示，所提方法的信道估計(jì)算法性能是優(yōu)于基于導(dǎo)頻估計(jì)算法和傳統(tǒng)PARAFAC算法，特別是在低信噪比的情況下，基于導(dǎo)頻的估計(jì)算法的性能非常差，但所提方法依然具有較好的估計(jì)性能。此外，Grid-PARAFAC 算法受參數(shù)M的影響，從仿真圖2可以看出，當(dāng)M=4時(shí)的Grid-PARAFAC 算法性能略優(yōu)于M=2，因此合理設(shè)置Grid-PARAFAC 算法的參數(shù)可以提高其算法性能。

圖3比較了各種算法在不同信噪比下系統(tǒng)的誤碼率BER(bit error rate)，以此來比較不同算法的性能。從圖3中可以看出，無論在高信噪比還是低信噪比下，所提出方法的誤碼率相較于基于導(dǎo)頻訓(xùn)練與傳統(tǒng)PARAFC性能都有所提升，這是因?yàn)镚rid-PARAFAC算法利用張量的空間結(jié)構(gòu)性，在張量的求解中由于子張量的分級(jí)減少了錯(cuò)誤誤差的逐層迭代累加，減少了分級(jí)的子誤碼率，從而使整體系統(tǒng)的誤碼率性能得到了提升。

圖4對(duì)比了三種算法在天線端配備不同天線數(shù)時(shí)所需要的估計(jì)時(shí)間，以此來驗(yàn)證不同算法的時(shí)間復(fù)雜度。從圖4中可以看出，隨著接收端天線數(shù)不斷增多，信道估計(jì)的維度也隨之增大，不同算法所耗費(fèi)的估計(jì)時(shí)間也迅速增加。其中，Grid-PARAFAC算法所耗費(fèi)的時(shí)間最短，并且隨著天線維度增長緩慢變化，這是因?yàn)镚rid-PARAFAC算法對(duì)高維矩陣的求解轉(zhuǎn)化為低維小矩陣，并且通過并行工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行并行處理迭代出最優(yōu)解，而傳統(tǒng)的PARAFAC隨著天線數(shù)的不斷增加，需要對(duì)高維矩陣進(jìn)行迭代與求逆，信道估計(jì)的凸優(yōu)化問題復(fù)雜度變得非常巨大，其所耗費(fèi)的估計(jì)時(shí)間非常不理想，因此并不能應(yīng)用于解決實(shí)際大規(guī)模MIMO信道估計(jì)問題。

圖2 不同信道估計(jì)算法性能MSE比較Fig.2 MSE performance comparison of different channel estimation algorithms

圖3 不同算法BER比較Fig.3 BER comparison of different algorithm

圖4 接收端天線數(shù)與估計(jì)時(shí)間曲線Fig.4 The number of antennas at the receiving and estimated time curve

4 結(jié)論

針對(duì)在毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中超密集組網(wǎng)存在干擾的問題，提出了基于Grid-PARAFAC的聯(lián)合信道估計(jì)方法，首先，通過對(duì)大規(guī)模天線的高維度接收信號(hào)映射到一個(gè)大尺度的張量空間，將大尺度張量空間的接收信號(hào)分塊張量分解轉(zhuǎn)化為獨(dú)立的子張量接收信號(hào)；然后，同時(shí)將子張量接收信號(hào)獨(dú)立并行張量分解得到符號(hào)、接收天線和子載波的子投影矩陣，降低接收信號(hào)維度，同時(shí)又保留著高維接收信號(hào)的空間結(jié)構(gòu)互相關(guān)信息；最后，通過交替最小二乘準(zhǔn)確求得隱藏高維接收信號(hào)中的信道估計(jì)。仿真結(jié)果表明，所提算法減少了超密集組網(wǎng)所存在高維度信道干擾，降低了計(jì)算復(fù)雜，提高了系統(tǒng)性能。但本文目前只實(shí)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)仿真，應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)是未來研究的方向。